Toán 12 [Đấu trường toán 12_ver2] Tích phân

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi congchuaanhsang, 26 Tháng năm 2014.

Lượt xem: 6,238

  1. Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Hi all :khi (176):

    Tích phân là một phần quan trọng trong toán cấp 3 đấy nhỉ :)

    Vậy nên topic này ra đời nhằm tạo một đấu trường để các thành viên thử sức và thi đấu với nhau :khi (35):

    Đặc biệt pic có nút xác nhận :). Mong mọi người ủng hộ :khi (24):
     
  2. trước tiên cảm ơn congchuaanhsang lặp topic này nhá
    với tư cách là chủ topic này tôi có quy định sau không được spam dưới mọi hình thức mở đầu là 2 câu tích phấn khá dễ để khởi động nhá
    $I=\int_0^1 \frac{(x^2+x)e^x}{x+e^{-x}}dx$
    $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2+sin^2x-sinx}{x+cosx}dx$
    lưu ý thành viên khác có thể post đề để các mem khác vào chém gió nhá
     
    Last edited by a moderator: 26 Tháng năm 2014
  3. $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x^2+sin^2x-sinx}{x+cosx}dx$
    =$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x^2+1-cos^2x-sinx}{x+cosx}dx$
    =$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x^2-cos^2x}{x+cosx}dx +\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-sinx}{x+cosx}dx$
    =$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x-cosx)dx +\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{x+cosx}d(x+cosx)$
    =$(\frac{x^2}{2}-sinx)|_0^\frac{\pi}{2}+ln(x+cosx)|_0^\frac{\pi}{2} $
    =$\frac{\pi^2}{8}-1+ln(\frac{\pi}{2})$
     
  4. Tính
    $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin2x}{1+sin^4x}dx .$
     
  5. bài này ta làm như sau
    $t=sin^2x \rightarrow dt=2sinxcosxdx=sin2xdx$
    đổi cận
    $x=0 \rightarrow t=0$
    $x=\frac{\pi}{2} \rightarrow t=1$
    ta có
    $I=\int_0^1 \frac{dt}{1+t^2}$
    tới đây ta lại đặt
    $t= tanu \rightarrow dt=(1+tan^2u)du$
    đổi cận
    $t=0 \rightarrow u=0$
    $t=1 \rightarrow u=\frac{\pi}{4}$
    ta có
    $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1+tan^2udu}{1+tan^2u}$
    $=\int_0^{\frac{\pi}{4}} du=\frac{\pi}{4}$
     
  6. cách khác
    $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin2x}{1+sin^4x}dx$
    $=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{2sinxcosx}{1+sin^4x}dx$
    đặt $t=sinx \rightarrow dt=cosxdx$
    đổi cận
    $x=0 \rightarrow t=0$
    $x=\frac{\pi}{2} \rightarrow t=1$
    ta có
    $I=\int_0^1 \frac{2tdt}{1+t^4}$
    đặt $u=t^2 \rightarrow du=2tdt$
    đổi cận
    $t=0 \rightarrow u=0$
    $t=1 \rightarrow u=1$
    ta có
    $I=\int_0^1 \frac{du}{1+u^2}$
    dùng lượng giác hoá nữa là xong
    còn một bài ở trên chưa giải kìa, mời các cao thủ tích phân vào giải
     
  7. cách 3
    $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin2x}{1+sin^4x}dx$
    $=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin2x}{1+(sin^2x)^2}dx$
    $=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin2x}{1+(\frac{1-cos2x}{2})^2}dx$
    $=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{4sin2x}{4+(cos2x-1)^2}dx$
    đặt $t=cos2x \rightarrow dt=-2sin2xdx$
    không biết chị nhokdangyeu gì đó còn có cách nào khác không
    bài mới
    $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{sinx}}{\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}}dx$
    $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{sin4x}{sin^6x+cos^6x}dx$
     
  8. forum_

    forum_ Guest

    Anh ơi , em có 1 ý kiến nho nhỏ thế này . Xem xong anh chuyển nó về thùng rác hộ em :)

    +Em nghĩ nên đưa mấy bài Spam xuống thùng rác chứ đừng xóa mà mất thẩm mĩ anh ạ

    +Mỗi topic nên có phần lí thuyết để đọc hiểu rồi mới áp bài tập thì hay hơn :D

    p/s: có gì ko thích thì anh bỏ qua, em chỉ góp ý thế thôi :D
     
  9. Đặt x= $\frac{\pi}{2}-t$ \Rightarrow dx=-dt
    Đổi cận: x=0 \Rightarrow t=$\frac{\pi}{2}$
    x=$\frac{\pi}{2}$ \Rightarrow t=0
    \Rightarrow I=$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt[]{sin(\frac{\pi}{2}-t)}}{\sqrt[]{sin(\frac{\pi}{2}-t)}+\sqrt[]{cos(\frac{\pi}{2}-t)}}dt$
    =$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt[]{cost}}{\sqrt[]{cost}+\sqrt[]{sint}}dt$
    =$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt[]{cosx}}{\sqrt[]{sinx}+\sqrt[]{cosx}}dx$
    Mặt khác: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt[]{sinx}}{\sqrt[]{sinx}+\sqrt[]{cosx}}dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt[]{cosx}}{\frac{}{\sqrt[]{sinx}}+\sqrt[]{cosx}}dx =\frac{\pi}{2}$
    \Rightarrow $2I=\frac{\pi}{2}$ \Rightarrow $I=\frac{\pi}{4}$
     
    Last edited by a moderator: 28 Tháng năm 2014
  10. =$\int_{0}^{1}\frac{(x^2+x)e^x}{x+\frac{1}{e^x}}dx$
    =$\int_{0}^{1}\frac{e^(2x).x^2+e^(2x).x}{x.e^x+1}dx$
    =$\int_{0}^{1}\frac{x.e^x.(x.e^x+e^x)}{x.e^x+1}dx$
    Đặt $x.e^x+1=t$ \Leftrightarrow $x.e^x=t-1$ \Leftrightarrow $(e^x+ x.e^x)dx=dt$
    Đổi cận: x=1 \Rightarrow t=e+1
    x=0 \Rightarrow t=1
    \Rightarrow I= $\int_{1}^{e+1}\frac{t-1}{t}dt= \int_{1}^{e+1}(1-\frac{1}{t})dt$
    =e-ln(e+1)
     
    Last edited by a moderator: 29 Tháng năm 2014
  11. Có: $sin^6x+cos^6x= (sin^2x)^3 + (cos^2x)^3$
    =$(sin^2x+cos^2x)(sin^4x-sin^2x.cos^2x+ cos^4x)$
    =$(sin^4x+ 2.sin^2x.cos^2x+ cos^4x)-3.sin^2x.cos^2x$
    = $(sin^2x+cos^2x)^2 -\frac{3}{4}sin^2(2x)$
    =$1-\frac{3}{4}sin^2(2x)$
    \Rightarrow I=$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{2sin2x.cos2x}{1-\frac{3}{4}sin^2(2x)}dx$
    Đặt sin2x= t \Leftrightarrow 2cos2xdx=dt \Rightarrow $cos2x=\frac{dt}{2}$
    Đổi cận: $x=\frac{\pi}{4}$ \Rightarrow t=1
    x=0 \Rightarrow t=0

    \Rightarrow I=$\int_{0}^{1}\frac{2t}{2.(1-\frac{3}{4}t^2)}dt$
    =$\int_{0}^{1}\frac{t}{1-\frac{3}{4}t^2}dt$
    =$\int_{0}^{1}\frac{-2}{3}.\frac{1}{1-\frac{3}{4}t^2}d(1-\frac{3}{4}t^2)$
    =$\frac{-2}{3}ln(1-\frac{3}{4}t^2)|_0^1$
    =$\frac{-2}{3}ln(\frac{1}{4})$
     
    Last edited by a moderator: 29 Tháng năm 2014
  12. cách 4
    $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin2x}{1+sin^4x}dx$
    $=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin2x}{1+(sin^2x)^2}dx$
    $=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin2x}{1+(\frac{1-cos2x}{2})^2}dx$
    $=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{4sin2x}{4+(cos2x-1)^2}dx$
    đặt $t=tanx \rightarrow dt=(1+t^2)dx \rightarrow dx=\frac{dt}{1+t^2}$
    ta có
    $sin2x=\frac{2t}{1+t^2}$
    $cos2x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$
    thay vào và tính tiếp tuy nhiên trong trường hợp này thì cách này không hiệu quả hơn 3 cách kia
    bài mới nhá
    $A=\int_{-2}^2 ln(x+\sqrt{x^2+1})dx$
    $B=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} cosx.ln(\frac{1-x}{1+x})dx$
     
  13. Đặt u=$ln(x+\sqrt[]{x^2+1})$ \Leftrightarrow du=$\frac{1}{\sqrt[]{1+x^2}}$
    dv=dx \Leftrightarrow v=x
    \Rightarrow I=$x.ln(x+\sqrt[]{x^2+1})|_{-2}^2 -\int_{-2}^{2}\frac{x}{\sqrt[]{1+x^2}}dx$
    =$2ln(2+\sqrt[]{5})+2ln(-2+\sqrt[]{5})-\int_{-2}^{2}x.(1+x^2)^{\frac{-1}{2}}dx$
    =$2ln[(2+\sqrt[]{5})(-2+\sqrt[]{5})] -\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}(1+x^2)^{\frac{-1}{2}}d(1+x^2)$
    =$\frac{-1}{2}.\frac{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}|_{-2}^2$
    =$-(1+x^2)^{\frac{1}{2}}|_{-2}^2$
    =0
     
  14. Đặt u= $ln(\frac{1-x}{1+x})$ \Leftrightarrow du=$\frac{-2}{1-x^2}dx$
    dv=cosxdx \Leftrightarrow v=sinx
    \Rightarrow I=$sinx.ln(\frac{1-x}{1+x})|_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}+\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{2sinx}{1-x^2}dx$
    =$sin(\frac{1}{2}).ln(\frac{1}{3})-sin(\frac{-1}{2}).ln3 +J$
    Xét J:
    Có $\frac{1}{1-x^2}=\frac{1}{2.(1-x)}+\frac{1}{2.(1+x)}$
    \Rightarrow J=$\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{sinx}{1-x}dx+\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{sinx}{1+x}dx$
    Đến đây tự tích phân từng phần các biểu thức, sau đó cộng các kết quả lại là xong
    bài này chị ra kết quả là mấy em chưa nhấn nút xác nhận đâu
     
    Last edited by a moderator: 29 Tháng năm 2014
  15. 1. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin2x}{\sqrt[]{cos^2x+4sin^2x}}dx$
    2. $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{tan^4x}{cos2x}dx$
    3. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(cos^3x-1)cos^2xdx$
     
  16. $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin2x}{\sqrt{cos^2x+4sin^2x}}dx$
    đặt $t=\sqrt{cos^2x+4sin^2x} \rightarrow t^2=cos^2x+4sin^2x \rightarrow 2tdt=(-2sinxcosx+8sinxcosx)dx=3sin2xdx \rightarrow \frac{2}{3}tdt=sin2xdx$
    đổi cận
    $x=0 \rightarrow t=1$
    $x=\frac{\pi}{2} \rightarrow t=2$
    ta có
    $I=\frac{2}{3} \int_1^2 \frac{tdt}{t}=\frac{2}{3} \int_1^2dt=\frac{2}{3}$
     
  17. câu thứ 2
    $I=\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{tan^4x}{cos2x}dx$
    đặt $t=tanx \rightarrow dt=(1+t^2)dx \rightarrow \frac{dt}{1+t^2}=dx$
    đổi cận
    $x=0 \rightarrow t=0$
    $x=\frac{\pi}{6} \rightarrow t=\frac{\sqrt{3}}{3}$
    ta có
    $cos2x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$
    thay vào
    $I=\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{t^4dt}{1-t^2}$
    $=\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{t^4-1}{1-t^2}dt+\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{3}}\frac{dt}{1-t^2}$
    $=-\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{3}} (1+t^2)dt+\frac{1}{2}.ln\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$
    $=-\frac{10\sqrt{3}}{27}+\frac{1}{2}.ln\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$
     
  18. $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (cos^3x-1)cos^2xdx$
    $=\int_0^{\frac{\pi}{2}} cos^5xdx-\int_0^{\frac{\pi}{2}} cos^2xdx$
    $=I_1+I_2$
    $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (1-sin^2x)^2.cosxdx$
    $=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (1-sin^2x)^2d(sinx)$
    $=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (sin^4x-2sin^2x+1)d(sinx)$
    $=\frac{1}{5}sin^5x-\frac{2}{3}sin^3x+sinx|_0^{\frac{\pi}{2}}$
    $=\frac{8}{15}$
    $I_2=\int_0^{\frac{\pi}{2}} cos^2xdx$
    $=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x)dx$
    $=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}sin2x|_0^{\frac{\pi}{2}}$
    $=\frac{\pi}{4}$
    đến lượt em ra đề nhá
    $I=\int_0^2 [\sqrt{x(2-x)+ln(4+x^2)}]dx$
    $I=\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{x+sin^2x}{1+cos2x}dx$
    $I=\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{sinx}{cosx\sqrt{3+sin^2x}}dx$
     
    Last edited by a moderator: 30 Tháng năm 2014
  19. $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{sinxdx}{cosx.\sqrt{3+sin^2x}}$
    Đặt $t = cosx \Rightarrow dt=-sinxdx$ hay $sinxdx=-dt$

    đổi cận:
    $x=0 \Rightarrow t = 1$
    $x= \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow t=\dfrac{1}{2}$

    Khi đó $I=\int_{\frac{1}{2}}^{1} \dfrac{dt}{t.\sqrt{4-t^2}}$

    đặt $t=2sinu (u \in [0; \dfrac{\pi}{2}])\Rightarrow dt=2cosu.du$
    đổi cận hơi lẻ ...

    khi đó biểu thức này sẽ là $\int_{}^{}\dfrac{2cosu.du}{2.sinu.2cosu} = \int_{}^{}\dfrac{1}{2sinu}du = \dfrac{1}{2}.ln|tan\dfrac{u}{2}|$


     
  20. Mình không có bài khó tích phân nên đưa bài này cho mọi người thử sức nhé !

    Tính tích phân sau :

    $\int_{- \dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{x^2sinx+1}{1+2cos^2x}dx$
     
    Last edited by a moderator: 30 Tháng năm 2014
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->