Toán 12 [Đấu trường toán 12_ver2] Tích phân

[congchuaanhsang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Hi all :khi (176):

Tích phân là một phần quan trọng trong toán cấp 3 đấy nhỉ

Vậy nên topic này ra đời nhằm tạo một đấu trường để các thành viên thử sức và thi đấu với nhau :khi (35):

Đặc biệt pic có nút xác nhận . Mong mọi người ủng hộ :khi (24):

 

[trantien.hocmai]

trước tiên cảm ơn congchuaanhsang lặp topic này nhá
với tư cách là chủ topic này tôi có quy định sau không được spam dưới mọi hình thức mở đầu là 2 câu tích phấn khá dễ để khởi động nhá
$I=\int_0^1 \frac{(x^2+x)e^x}{x+e^{-x}}dx$
$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2+sin^2x-sinx}{x+cosx}dx$
lưu ý thành viên khác có thể post đề để các mem khác vào chém gió nhá

 

[nhokdangyeu01]

$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2+sin^2x-sinx}{x+cosx}dx$

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x^2+sin^2x-sinx}{x+cosx}dx$
=$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x^2+1-cos^2x-sinx}{x+cosx}dx$
=$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x^2-cos^2x}{x+cosx}dx +\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-sinx}{x+cosx}dx$
=$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x-cosx)dx +\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{x+cosx}d(x+cosx)$
=$(\frac{x^2}{2}-sinx)|_0^\frac{\pi}{2}+ln(x+cosx)|_0^\frac{\pi}{2} $
=$\frac{\pi^2}{8}-1+ln(\frac{\pi}{2})$

 

[nhokdangyeu01]

Tính
$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin2x}{1+sin^4x}dx .$

 

[trantien.hocmai]

bài này ta làm như sau
$t=sin^2x \rightarrow dt=2sinxcosxdx=sin2xdx$
đổi cận
$x=0 \rightarrow t=0$
$x=\frac{\pi}{2} \rightarrow t=1$
ta có
$I=\int_0^1 \frac{dt}{1+t^2}$
tới đây ta lại đặt
$t= tanu \rightarrow dt=(1+tan^2u)du$
đổi cận
$t=0 \rightarrow u=0$
$t=1 \rightarrow u=\frac{\pi}{4}$
ta có
$I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1+tan^2udu}{1+tan^2u}$
$=\int_0^{\frac{\pi}{4}} du=\frac{\pi}{4}$

 

[trantien.hocmai]

cách khác
$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin2x}{1+sin^4x}dx$
$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{2sinxcosx}{1+sin^4x}dx$
đặt $t=sinx \rightarrow dt=cosxdx$
đổi cận
$x=0 \rightarrow t=0$
$x=\frac{\pi}{2} \rightarrow t=1$
ta có
$I=\int_0^1 \frac{2tdt}{1+t^4}$
đặt $u=t^2 \rightarrow du=2tdt$
đổi cận
$t=0 \rightarrow u=0$
$t=1 \rightarrow u=1$
ta có
$I=\int_0^1 \frac{du}{1+u^2}$
dùng lượng giác hoá nữa là xong
còn một bài ở trên chưa giải kìa, mời các cao thủ tích phân vào giải

 

[trantien.hocmai]

cách 3
$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin2x}{1+sin^4x}dx$
$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin2x}{1+(sin^2x)^2}dx$
$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin2x}{1+(\frac{1-cos2x}{2})^2}dx$
$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{4sin2x}{4+(cos2x-1)^2}dx$
đặt $t=cos2x \rightarrow dt=-2sin2xdx$
không biết chị nhokdangyeu gì đó còn có cách nào khác không
bài mới
$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{sinx}}{\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}}dx$
$I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{sin4x}{sin^6x+cos^6x}dx$

 

[forum_]

Anh ơi , em có 1 ý kiến nho nhỏ thế này . Xem xong anh chuyển nó về thùng rác hộ em

+Em nghĩ nên đưa mấy bài Spam xuống thùng rác chứ đừng xóa mà mất thẩm mĩ anh ạ

+Mỗi topic nên có phần lí thuyết để đọc hiểu rồi mới áp bài tập thì hay hơn

p/s: có gì ko thích thì anh bỏ qua, em chỉ góp ý thế thôi

 

[nhokdangyeu01]

$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{sinx}}{\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}}dx$

Đặt x= $\frac{\pi}{2}-t$ \Rightarrow dx=-dt
Đổi cận: x=0 \Rightarrow t=$\frac{\pi}{2}$
x=$\frac{\pi}{2}$ \Rightarrow t=0
\Rightarrow I=$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt[]{sin(\frac{\pi}{2}-t)}}{\sqrt[]{sin(\frac{\pi}{2}-t)}+\sqrt[]{cos(\frac{\pi}{2}-t)}}dt$
=$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt[]{cost}}{\sqrt[]{cost}+\sqrt[]{sint}}dt$
=$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt[]{cosx}}{\sqrt[]{sinx}+\sqrt[]{cosx}}dx$
Mặt khác: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt[]{sinx}}{\sqrt[]{sinx}+\sqrt[]{cosx}}dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt[]{cosx}}{\frac{}{\sqrt[]{sinx}}+\sqrt[]{cosx}}dx =\frac{\pi}{2}$
\Rightarrow $2I=\frac{\pi}{2}$ \Rightarrow $I=\frac{\pi}{4}$

 

[nhokdangyeu01]

$I=\int_0^1 \frac{(x^2+x)e^x}{x+e^{-x}}dx$

=$\int_{0}^{1}\frac{(x^2+x)e^x}{x+\frac{1}{e^x}}dx$
=$\int_{0}^{1}\frac{e^(2x).x^2+e^(2x).x}{x.e^x+1}dx$
=$\int_{0}^{1}\frac{x.e^x.(x.e^x+e^x)}{x.e^x+1}dx$
Đặt $x.e^x+1=t$ \Leftrightarrow $x.e^x=t-1$ \Leftrightarrow $(e^x+ x.e^x)dx=dt$
Đổi cận: x=1 \Rightarrow t=e+1
x=0 \Rightarrow t=1
\Rightarrow I= $\int_{1}^{e+1}\frac{t-1}{t}dt= \int_{1}^{e+1}(1-\frac{1}{t})dt$
=e-ln(e+1)

 

[nhokdangyeu01]

$I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{sin4x}{sin^6x+cos^6x}dx$

Có: $sin^6x+cos^6x= (sin^2x)^3 + (cos^2x)^3$
=$(sin^2x+cos^2x)(sin^4x-sin^2x.cos^2x+ cos^4x)$
=$(sin^4x+ 2.sin^2x.cos^2x+ cos^4x)-3.sin^2x.cos^2x$
= $(sin^2x+cos^2x)^2 -\frac{3}{4}sin^2(2x)$
=$1-\frac{3}{4}sin^2(2x)$
\Rightarrow I=$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{2sin2x.cos2x}{1-\frac{3}{4}sin^2(2x)}dx$
Đặt sin2x= t \Leftrightarrow 2cos2xdx=dt \Rightarrow $cos2x=\frac{dt}{2}$
Đổi cận: $x=\frac{\pi}{4}$ \Rightarrow t=1
x=0 \Rightarrow t=0

\Rightarrow I=$\int_{0}^{1}\frac{2t}{2.(1-\frac{3}{4}t^2)}dt$
=$\int_{0}^{1}\frac{t}{1-\frac{3}{4}t^2}dt$
=$\int_{0}^{1}\frac{-2}{3}.\frac{1}{1-\frac{3}{4}t^2}d(1-\frac{3}{4}t^2)$
=$\frac{-2}{3}ln(1-\frac{3}{4}t^2)|_0^1$
=$\frac{-2}{3}ln(\frac{1}{4})$

 

[trantien.hocmai]

cách 4
$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin2x}{1+sin^4x}dx$
$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin2x}{1+(sin^2x)^2}dx$
$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin2x}{1+(\frac{1-cos2x}{2})^2}dx$
$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{4sin2x}{4+(cos2x-1)^2}dx$
đặt $t=tanx \rightarrow dt=(1+t^2)dx \rightarrow dx=\frac{dt}{1+t^2}$
ta có
$sin2x=\frac{2t}{1+t^2}$
$cos2x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$
thay vào và tính tiếp tuy nhiên trong trường hợp này thì cách này không hiệu quả hơn 3 cách kia
bài mới nhá
$A=\int_{-2}^2 ln(x+\sqrt{x^2+1})dx$
$B=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} cosx.ln(\frac{1-x}{1+x})dx$

 

[nhokdangyeu01]

$A=\int_{-2}^2 ln(x+\sqrt{x^2+1})dx$

Đặt u=$ln(x+\sqrt[]{x^2+1})$ \Leftrightarrow du=$\frac{1}{\sqrt[]{1+x^2}}$
dv=dx \Leftrightarrow v=x
\Rightarrow I=$x.ln(x+\sqrt[]{x^2+1})|_{-2}^2 -\int_{-2}^{2}\frac{x}{\sqrt[]{1+x^2}}dx$
=$2ln(2+\sqrt[]{5})+2ln(-2+\sqrt[]{5})-\int_{-2}^{2}x.(1+x^2)^{\frac{-1}{2}}dx$
=$2ln[(2+\sqrt[]{5})(-2+\sqrt[]{5})] -\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}(1+x^2)^{\frac{-1}{2}}d(1+x^2)$
=$\frac{-1}{2}.\frac{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}|_{-2}^2$
=$-(1+x^2)^{\frac{1}{2}}|_{-2}^2$
=0

 

[nhokdangyeu01]

$B=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} cosx.ln(\frac{1-x}{1+x})dx$

Đặt u= $ln(\frac{1-x}{1+x})$ \Leftrightarrow du=$\frac{-2}{1-x^2}dx$
dv=cosxdx \Leftrightarrow v=sinx
\Rightarrow I=$sinx.ln(\frac{1-x}{1+x})|_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}+\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{2sinx}{1-x^2}dx$
=$sin(\frac{1}{2}).ln(\frac{1}{3})-sin(\frac{-1}{2}).ln3 +J$
Xét J:
Có $\frac{1}{1-x^2}=\frac{1}{2.(1-x)}+\frac{1}{2.(1+x)}$
\Rightarrow J=$\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{sinx}{1-x}dx+\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{sinx}{1+x}dx$
Đến đây tự tích phân từng phần các biểu thức, sau đó cộng các kết quả lại là xong
bài này chị ra kết quả là mấy em chưa nhấn nút xác nhận đâu

 

[nhokdangyeu01]

1. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin2x}{\sqrt[]{cos^2x+4sin^2x}}dx$
2. $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{tan^4x}{cos2x}dx$
3. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(cos^3x-1)cos^2xdx$

 

[trantien.hocmai]

$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin2x}{\sqrt{cos^2x+4sin^2x}}dx$
đặt $t=\sqrt{cos^2x+4sin^2x} \rightarrow t^2=cos^2x+4sin^2x \rightarrow 2tdt=(-2sinxcosx+8sinxcosx)dx=3sin2xdx \rightarrow \frac{2}{3}tdt=sin2xdx$
đổi cận
$x=0 \rightarrow t=1$
$x=\frac{\pi}{2} \rightarrow t=2$
ta có
$I=\frac{2}{3} \int_1^2 \frac{tdt}{t}=\frac{2}{3} \int_1^2dt=\frac{2}{3}$

 

[trantien.hocmai]

câu thứ 2
$I=\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{tan^4x}{cos2x}dx$
đặt $t=tanx \rightarrow dt=(1+t^2)dx \rightarrow \frac{dt}{1+t^2}=dx$
đổi cận
$x=0 \rightarrow t=0$
$x=\frac{\pi}{6} \rightarrow t=\frac{\sqrt{3}}{3}$
ta có
$cos2x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$
thay vào
$I=\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{t^4dt}{1-t^2}$
$=\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{t^4-1}{1-t^2}dt+\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{3}}\frac{dt}{1-t^2}$
$=-\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{3}} (1+t^2)dt+\frac{1}{2}.ln\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$
$=-\frac{10\sqrt{3}}{27}+\frac{1}{2}.ln\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$

 

[trantien.hocmai]

$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (cos^3x-1)cos^2xdx$
$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} cos^5xdx-\int_0^{\frac{\pi}{2}} cos^2xdx$
$=I_1+I_2$
$I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (1-sin^2x)^2.cosxdx$
$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (1-sin^2x)^2d(sinx)$
$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (sin^4x-2sin^2x+1)d(sinx)$
$=\frac{1}{5}sin^5x-\frac{2}{3}sin^3x+sinx|_0^{\frac{\pi}{2}}$
$=\frac{8}{15}$
$I_2=\int_0^{\frac{\pi}{2}} cos^2xdx$
$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x)dx$
$=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}sin2x|_0^{\frac{\pi}{2}}$
$=\frac{\pi}{4}$
đến lượt em ra đề nhá
$I=\int_0^2 [\sqrt{x(2-x)+ln(4+x^2)}]dx$
$I=\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{x+sin^2x}{1+cos2x}dx$
$I=\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{sinx}{cosx\sqrt{3+sin^2x}}dx$

 

[noinhobinhyen_nb]

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{sinxdx}{cosx.\sqrt{3+sin^2x}}$
Đặt $t = cosx \Rightarrow dt=-sinxdx$ hay $sinxdx=-dt$

đổi cận:
$x=0 \Rightarrow t = 1$
$x= \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow t=\dfrac{1}{2}$

Khi đó $I=\int_{\frac{1}{2}}^{1} \dfrac{dt}{t.\sqrt{4-t^2}}$

đặt $t=2sinu (u \in [0; \dfrac{\pi}{2}])\Rightarrow dt=2cosu.du$
đổi cận hơi lẻ ...

khi đó biểu thức này sẽ là $\int_{}^{}\dfrac{2cosu.du}{2.sinu.2cosu} = \int_{}^{}\dfrac{1}{2sinu}du = \dfrac{1}{2}.ln|tan\dfrac{u}{2}|$

lâu lâu mới vào lại 4r xem thế nào mà viết công thức toàn bây giờ ngu quá

 

[endinovodich12]

Mình không có bài khó tích phân nên đưa bài này cho mọi người thử sức nhé !

Tính tích phân sau :

$\int_{- \dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{x^2sinx+1}{1+2cos^2x}dx$