Toán 12 Đấu trường toán 12

[consoinho_96]

chúng ta bắt đầu tiếp bài tập nào :
chứng minh rằng : [tex]\frac{1}{2}C_{2n}^1+\frac{1}{4}C_{2n}^3+\frac{1}{6}C_{2n}^5+...+ \frac{1}{2n}C_{2n}^{2n-1}=\frac{2^{2n-1}-1}{2n+1}[/tex]

 

[nguyenvancuong1225@gmail.com]

chúng ta bắt đầu tiếp bài tập nào :
chứng minh rằng : [tex]\frac{1}{2}C_{2n}^1+\frac{1}{4}C_{2n}^3+\frac{1}{6}C_{2n}^5+...+ \frac{1}{2n}C_{2n}^{2n-1}=\frac{2^{2n-1}-1}{2n+1}[/tex]

Hên là vẫn còn giữ lại ít bí kíp của năm ngoái:

Ta thấy các số trên đều có dạng: $\dfrac{1}{2k}C^{2k-1}_{2n}$. Cơ bản của dạng này là biến đổi công thức trên thành 1 công thức khác có đặc điểm là đưa được n từ trong chữ C ra ngoài:

$\dfrac{1}{2k}C^{2k-1}_{2n}
= \dfrac{1}{2k}.\dfrac{2n!}{(2k-1)(2n-2k+1)}
= \dfrac{2n!}{2k!(2n+1-2k)}
= \dfrac{1}{2n+1}.\dfrac{(2n_1)!}{(2k)!(2n+1-2k)!}
= \dfrac{1}{2n+1}C^{2k}_{2n+1}$

Việc tiếp theo là thay k=1,2,3,4,..n vào biểu thức mới:

$\dfrac{1}{2n+1}(C^2_{2n+1}+C^4_{2n+1}+C^6_{2n+1}+...+C^{2n}_{2n+1}) = $

 

[ha_nb_9x]

Bài tập nữa này
1)$log_{2}(1+\sqrt{x})=log_{3}x$
2)$\int_{\pi}^{0} sin^{5}xdx$
Cho nhiều dạng bài tập vậy cho đa dạng hóa

 

[nednobita]

Bài tập nữa này
1)$log_{2}(1+\sqrt{x})=log_{3}x$
2)$\int_{\pi}^{0} sin^{5}xdx$
Cho nhiều dạng bài tập vậy cho đa dạng hóa

bài 2 cho dễ nhá
$\int_{\pi}^{0} sin^{5}xdx$
\Leftrightarrow $\int_{\pi}^{0} sin^{4}xsinxdx $
\Leftrightarrow $\int_{\pi}^{0} (({1-cos^{2}x})^{2})sinxdx $
đổi cận ra rồi tính nha cái này dễ quá
bài 1 chắc đặt ẩn phụ t=$log_{2}(1+\sqrt{x})$
rồi dễ rồi nhá giải 1 hồi ta được
$t$=$2log_{3}({2^t-1})$
\Leftrightarrow $2^t-3^{t/2}$ =1
nhận xét t=2 là 1 nghiệm rồi đạo hàm 2 vế lên 1cái đồng biến 1 cái =0 vậy
t=2 là nghiệm duy nhất của pt trên . giải x thôi nhá
xin lỗi các bạn và trantien.hocmai mải ôn thi đại học nên quên mất

 

[nednobita]

câu này bạn nào thử xem cái này mình vừa học được
$\int \frac {(x^2 +1)dx}{x^4 -2x^3 +2x^2 +1}$
đề này hơi khó nếu ko biết làm

 

[nednobita]

bạn nào cho ý kiến cái nếu không giải được để mình giải . bài để 1 ngày rồi

 

[consoinho_96]

câu này bạn nào thử xem cái này mình vừa học được
$\int \frac {(x^2 +1)dx}{x^4 -2x^3 +2x^2 +1}$
đề này hơi khó nếu ko biết làm

$ \int \frac {(x^2 +1)dx}{x^4 -2x^3 +2x^2 +1}$
$= \int \frac{ x^2+1}{(x^2+2x \sqrt{x}+1)(x^2-2x\sqrt{x}+1}dx$
sau đó đặt $\sqrt{x}=u$
... làm tiếp là ra

 

[nednobita]

bài này làm theo cách của bạn cũng được nhưng rất dài và rối lên
cách làm bài này khá đơn giản nhận thấy pt bậc 4 trên là dạng đặc biệt chỉ cần chia cả tử và mẫu cho $x^2$
là xong kha đơn giản nếu biết làm
consoinho_96 ra đề đi

 

[ha_nb_9x]

1)$I=\int_{ln2}^{e}\frac{xlnx+ln(xe^2)}{xlnx}dx$

2)$I=\int_{0}^{ln2}\frac{x}{e^x+e^{-x}+2}dx$

 

[henry.le]

1)$I=\int_{ln2}^{e}\frac{xlnx+ln(xe^2)}{xlnx}dx$

$I=\int_{ln2}^{e}\frac{xlnx+ln(xe^2)}{xlnx}dx$
=$\int_{ln2}^{e}dx$+$\int_{ln2}^{e}\frac{ln(x.e^2)}{xlnx}dx$
=e-ln2+$\int_{ln2}^{e}\frac{ln(x.e^2)}{xlnx}dx$
=e-ln2+$\int_{ln2}^{e}\frac{lnx+lne^2}{xlnx}dx$
=e-ln2+$\int_{ln2}^{e}\frac{dx}{x}$+[TEX]\int_{ln2}^{e}\frac{2dx}{xlnx}[/TEX]
Đến đây dễ rồi nhá

 

[vivietnam]

2)$I=\int_{0}^{ln2}\frac{x}{e^x+e^{-x}+2}dx$

$I=\int_0^{ln2} \dfrac{xe^xdx}{(e^x+1)^2}$
$I=\int_0^{ln2} x.d(\dfrac{e^x}{e^x+1})$
$I=x.\dfrac{e^x}{e^x+1}|_0^{ln2}-\int_0^{ln2} \dfrac{e^xdx}{e^x+1}$
$I=..........$