- 20 Tháng chín 2013
- 5,018
- 7,484
- 941
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Bách Khoa TPHCM


Bài viết này đóng góp cho kho tàng tài liệu chất lượng của diễn đàn tại đây: https://diendan.hocmai.vn/threads/t...o-ban-hoan-toan-mien-phi.827998/#post-4045397 
-----
Dạng bài tìm GTLN, GTNN vốn muôn hình vạn trạng, nhưng trong đó có hai dạng bài quan trọng mà bạn cần phải biết đến
Bài viết này đề cập hai dạng bài mà bạn cần phải biết.
Dạng 1: Hàm số dạng $y = a \sin x + b \cos x$
Ở đây, hàm số có thể ở dạng khác và bạn cần phải đưa hàm số đó về dạng này.
Phương pháp:
Ví dụ 1. Tìm GTNN và GTLN của hàm số $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x + 3$
Cách 1: $y = 2 \sin\left( x + \dfrac{\pi}6 \right) + 3$ nên $1 = -2 + 3 \leqslant y \leqslant 2 + 3 = 5$
Cách 2: Theo điều kiện có nghiệm, ta có $(y - 3)^2 = \left( \sqrt{3} \right)^2 + 1^2$, suy ra $1 \leqslant y \leqslant 5$ (nhớ chuyển số $3$ qua bên $y$)
Như vậy trong cả cách, GTNN là $1$ và GTLN là $5$.
Ví dụ 2. Tìm GTNN và GTLN của hàm số $y = 2 \sin^2 x + \sin 2x + 1$
Trước hết, ta biến đổi về dạng hàm: $y = (1 - \cos 2x) + \sin 2x + 1 = \sin 2x - \cos 2x + 2$
Tới đây bạn có thể áp dụng một trong hai cách:
Dạng 2: Hàm số chỉ xuất hiện $\sin$ hoặc $\cos$ một lần
Phương pháp:
Ở đây, ta sẽ đưa $y = (\sin x + 2)^2 + 1$. Như bạn thấy, sự xuất hiện của $\sin x$ trong biểu thức chỉ còn là 1 lần thôi.
Tiếp theo, ta sẽ ghi như sau:
$-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$
$\implies 1 \leqslant \sin x + 2 \leqslant 3$
$\implies 1 \leqslant (\sin x + 2)^2 \leqslant 9$
$\implies 2 \leqslant y = (\sin x + 2)^2 + 1 \leqslant 10$.
Khá là dễ hiểu nhỉ
Ví dụ 2. Tìm GTNN và GTLN của hàm số $y = 4 \cos^2 x + 4 \sin x + 2$
Tương tự, ta cũng đưa về dạng chuẩn: $y = 4 - 4 \sin^2 x + 4 \sin x + 2 = -(2 \sin x - 1)^2 + 7$
Ta ghi tiếp:
$-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$
$\implies -3 \leqslant 2 \sin x - 1 \leqslant 1$
Đến đây các bạn phải làm cẩn thận. Sẽ có nhiều bạn nhầm bước tiếp theo là $1 \leqslant (2 \sin x - 1)^2 \leqslant 9$ nhưng không phải vậy đâu nhé. Lưu ý rằng, khi bình phương lên, ta quan tâm đến giá trị tuyệt đối.
Như ở đây, từ $-3$ đến $1$ thì giá trị tuyệt đối chạy từ $0$ đến $3$, do đó ta ghi tiếp là:
$\implies 0 \leqslant (2 \sin x - 1)^2 \leqslant 9$
$\implies 7 \geqslant y = -(2 \sin x - 1)^2 + 7 \geqslant -2$
Nếu chưa quen thì các bạn nên ghi cụ thể từng bước để tránh nhầm lần nhé
Mở rộng
Chẳng hạn, nếu không phải $\sin$ hoặc $\cos$ mà là $\tan$ thì làm thế nào nhỉ? Nếu đề cho $x$ thuộc một đoạn cố định thì ta làm như thế nào?
Trả lời: Tương tự thôi nhé, bạn cũng tìm điều kiện của $\tan$ hoặc của $\sin, \cos$ để kẹp hai đầu như phương pháp ở trên
Bạn có thể xem thử tại đây: https://diendan.hocmai.vn/threads/tim-gtln-gtnn-p.832844/
Luyện tập

(bài tập lấy từ https://diendan.hocmai.vn/threads/tim-min-max-cua-ham-so.831784/)
11. $y = 4 \sin^2 \dfrac{x}2 + \sin x + \cos x$
12. $y = -4 \cos^3 x + \sin 3x + 3\cos x + 3$
13. $y = \sqrt{3 - 4 \sin^2 x \cdot \cos^2 x}$
Chúc các bạn học tốt nhé
-----
Dạng bài tìm GTLN, GTNN vốn muôn hình vạn trạng, nhưng trong đó có hai dạng bài quan trọng mà bạn cần phải biết đến
Dạng 1: Hàm số dạng $y = a \sin x + b \cos x$
Ở đây, hàm số có thể ở dạng khác và bạn cần phải đưa hàm số đó về dạng này.
Phương pháp:
- Cách 1: Biến đổi $y = \sqrt{a^2 + b^2} \left( \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin x + \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x \right) = \sqrt{a^2 + b^2} \sin (x + \alpha)$, trong đó $\alpha$ thỏa mãn $\cos \alpha = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ và $\sin \alpha = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
Từ đó, $-\sqrt{a^2 + b^2} \leqslant y \leqslant \sqrt{a^2 + b^2}$
- Cách 2: Tóm gọn những ý trên thành một công thức gọi là "điều kiện có nghiệm": $$y^2 \leqslant a^2 + b^2$$
Công thức này khá là hữu ích cho một số bài toán liên quan đến dạng hàm này. Nếu được thì bạn có thể nhớ luôn, nhưng các bạn vẫn phải hiểu là nó suy ra từ cách 1 nhé.
Ví dụ 1. Tìm GTNN và GTLN của hàm số $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x + 3$
Cách 1: $y = 2 \sin\left( x + \dfrac{\pi}6 \right) + 3$ nên $1 = -2 + 3 \leqslant y \leqslant 2 + 3 = 5$
Cách 2: Theo điều kiện có nghiệm, ta có $(y - 3)^2 = \left( \sqrt{3} \right)^2 + 1^2$, suy ra $1 \leqslant y \leqslant 5$ (nhớ chuyển số $3$ qua bên $y$)
Như vậy trong cả cách, GTNN là $1$ và GTLN là $5$.
Ví dụ 2. Tìm GTNN và GTLN của hàm số $y = 2 \sin^2 x + \sin 2x + 1$
Trước hết, ta biến đổi về dạng hàm: $y = (1 - \cos 2x) + \sin 2x + 1 = \sin 2x - \cos 2x + 2$
Tới đây bạn có thể áp dụng một trong hai cách:
- $y = \sqrt{2} \sin \left( 2x - \dfrac{\pi}4 \right) + 2$
- $(y - 2)^2 \leqslant 1^2 + 1^2$
Dạng 2: Hàm số chỉ xuất hiện $\sin$ hoặc $\cos$ một lần
Phương pháp:
- Đưa hàm ban đầu về hàm chỉ xuất hiện $\sin$ hoặc $\cos$ một lần bằng hằng đẳng thức.
- Đi từ $-1 \leqslant \sin, \cos \leqslant 1$ đến biểu thức đề cho.
- Lưu ý hai đầu khi bình phương hai vế. Qua ví dụ các bạn sẽ hiểu.
Ở đây, ta sẽ đưa $y = (\sin x + 2)^2 + 1$. Như bạn thấy, sự xuất hiện của $\sin x$ trong biểu thức chỉ còn là 1 lần thôi.
Tiếp theo, ta sẽ ghi như sau:
$-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$
$\implies 1 \leqslant \sin x + 2 \leqslant 3$
$\implies 1 \leqslant (\sin x + 2)^2 \leqslant 9$
$\implies 2 \leqslant y = (\sin x + 2)^2 + 1 \leqslant 10$.
Khá là dễ hiểu nhỉ
Ví dụ 2. Tìm GTNN và GTLN của hàm số $y = 4 \cos^2 x + 4 \sin x + 2$
Tương tự, ta cũng đưa về dạng chuẩn: $y = 4 - 4 \sin^2 x + 4 \sin x + 2 = -(2 \sin x - 1)^2 + 7$
Ta ghi tiếp:
$-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$
$\implies -3 \leqslant 2 \sin x - 1 \leqslant 1$
Đến đây các bạn phải làm cẩn thận. Sẽ có nhiều bạn nhầm bước tiếp theo là $1 \leqslant (2 \sin x - 1)^2 \leqslant 9$ nhưng không phải vậy đâu nhé. Lưu ý rằng, khi bình phương lên, ta quan tâm đến giá trị tuyệt đối.
Như ở đây, từ $-3$ đến $1$ thì giá trị tuyệt đối chạy từ $0$ đến $3$, do đó ta ghi tiếp là:
$\implies 0 \leqslant (2 \sin x - 1)^2 \leqslant 9$
$\implies 7 \geqslant y = -(2 \sin x - 1)^2 + 7 \geqslant -2$
Nếu chưa quen thì các bạn nên ghi cụ thể từng bước để tránh nhầm lần nhé
Mở rộng
Chẳng hạn, nếu không phải $\sin$ hoặc $\cos$ mà là $\tan$ thì làm thế nào nhỉ? Nếu đề cho $x$ thuộc một đoạn cố định thì ta làm như thế nào?
Trả lời: Tương tự thôi nhé, bạn cũng tìm điều kiện của $\tan$ hoặc của $\sin, \cos$ để kẹp hai đầu như phương pháp ở trên
Bạn có thể xem thử tại đây: https://diendan.hocmai.vn/threads/tim-gtln-gtnn-p.832844/
Luyện tập

(bài tập lấy từ https://diendan.hocmai.vn/threads/tim-min-max-cua-ham-so.831784/)
11. $y = 4 \sin^2 \dfrac{x}2 + \sin x + \cos x$
12. $y = -4 \cos^3 x + \sin 3x + 3\cos x + 3$
13. $y = \sqrt{3 - 4 \sin^2 x \cdot \cos^2 x}$
Chúc các bạn học tốt nhé
Last edited: