Toán 11 [Dạng bài] Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác

[iceghost]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài viết này đóng góp cho kho tàng tài liệu chất lượng của diễn đàn tại đây: https://diendan.hocmai.vn/threads/t...o-ban-hoan-toan-mien-phi.827998/#post-4045397
-----

Dạng bài tìm GTLN, GTNN vốn muôn hình vạn trạng, nhưng trong đó có hai dạng bài quan trọng mà bạn cần phải biết đến Bài viết này đề cập hai dạng bài mà bạn cần phải biết.

Dạng 1: Hàm số dạng $y = a \sin x + b \cos x$

Ở đây, hàm số có thể ở dạng khác và bạn cần phải đưa hàm số đó về dạng này.

Phương pháp:

• Cách 1: Biến đổi $y = \sqrt{a^2 + b^2} \left( \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin x + \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x \right) = \sqrt{a^2 + b^2} \sin (x + \alpha)$, trong đó $\alpha$ thỏa mãn $\cos \alpha = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ và $\sin \alpha = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
  
  Từ đó, $-\sqrt{a^2 + b^2} \leqslant y \leqslant \sqrt{a^2 + b^2}$
  
  
• Cách 2: Tóm gọn những ý trên thành một công thức gọi là "điều kiện có nghiệm": $$y^2 \leqslant a^2 + b^2$$
  Công thức này khá là hữu ích cho một số bài toán liên quan đến dạng hàm này. Nếu được thì bạn có thể nhớ luôn, nhưng các bạn vẫn phải hiểu là nó suy ra từ cách 1 nhé.

Ở đây, nếu thích thì các bạn có thể tìm thêm dấu bằng nhé. Do chắc chắn xảy ra dấu bằng rồi nên mình không đề cập đến nữa.

Ví dụ 1. Tìm GTNN và GTLN của hàm số $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x + 3$

Cách 1: $y = 2 \sin\left( x + \dfrac{\pi}6 \right) + 3$ nên $1 = -2 + 3 \leqslant y \leqslant 2 + 3 = 5$

Cách 2: Theo điều kiện có nghiệm, ta có $(y - 3)^2 = \left( \sqrt{3} \right)^2 + 1^2$, suy ra $1 \leqslant y \leqslant 5$ (nhớ chuyển số $3$ qua bên $y$)

Như vậy trong cả cách, GTNN là $1$ và GTLN là $5$.

Ví dụ 2. Tìm GTNN và GTLN của hàm số $y = 2 \sin^2 x + \sin 2x + 1$

Trước hết, ta biến đổi về dạng hàm: $y = (1 - \cos 2x) + \sin 2x + 1 = \sin 2x - \cos 2x + 2$

Tới đây bạn có thể áp dụng một trong hai cách:

• $y = \sqrt{2} \sin \left( 2x - \dfrac{\pi}4 \right) + 2$
• $(y - 2)^2 \leqslant 1^2 + 1^2$

Ở cả hai cách, ta đều thu được $-\sqrt{2} + 2 \leqslant y \leqslant \sqrt{2} + 2$

Dạng 2: Hàm số chỉ xuất hiện $\sin$ hoặc $\cos$ một lần

Phương pháp:

• Đưa hàm ban đầu về hàm chỉ xuất hiện $\sin$ hoặc $\cos$ một lần bằng hằng đẳng thức.
  
• Đi từ $-1 \leqslant \sin, \cos \leqslant 1$ đến biểu thức đề cho.
• Lưu ý hai đầu khi bình phương hai vế. Qua ví dụ các bạn sẽ hiểu.

Ví dụ 1. Tìm GTNN và GTLN của hàm số $y = \sin^2 x + 4 \sin x + 5$

Ở đây, ta sẽ đưa $y = (\sin x + 2)^2 + 1$. Như bạn thấy, sự xuất hiện của $\sin x$ trong biểu thức chỉ còn là 1 lần thôi.

Tiếp theo, ta sẽ ghi như sau:
$-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$
$\implies 1 \leqslant \sin x + 2 \leqslant 3$
$\implies 1 \leqslant (\sin x + 2)^2 \leqslant 9$
$\implies 2 \leqslant y = (\sin x + 2)^2 + 1 \leqslant 10$.

Khá là dễ hiểu nhỉ

Ví dụ 2. Tìm GTNN và GTLN của hàm số $y = 4 \cos^2 x + 4 \sin x + 2$

Tương tự, ta cũng đưa về dạng chuẩn: $y = 4 - 4 \sin^2 x + 4 \sin x + 2 = -(2 \sin x - 1)^2 + 7$

Ta ghi tiếp:
$-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$
$\implies -3 \leqslant 2 \sin x - 1 \leqslant 1$

Đến đây các bạn phải làm cẩn thận. Sẽ có nhiều bạn nhầm bước tiếp theo là $1 \leqslant (2 \sin x - 1)^2 \leqslant 9$ nhưng không phải vậy đâu nhé. Lưu ý rằng, khi bình phương lên, ta quan tâm đến giá trị tuyệt đối.

Như ở đây, từ $-3$ đến $1$ thì giá trị tuyệt đối chạy từ $0$ đến $3$, do đó ta ghi tiếp là:
$\implies 0 \leqslant (2 \sin x - 1)^2 \leqslant 9$
$\implies 7 \geqslant y = -(2 \sin x - 1)^2 + 7 \geqslant -2$

Nếu chưa quen thì các bạn nên ghi cụ thể từng bước để tránh nhầm lần nhé

Mở rộng

Chẳng hạn, nếu không phải $\sin$ hoặc $\cos$ mà là $\tan$ thì làm thế nào nhỉ? Nếu đề cho $x$ thuộc một đoạn cố định thì ta làm như thế nào?

Trả lời: Tương tự thôi nhé, bạn cũng tìm điều kiện của $\tan$ hoặc của $\sin, \cos$ để kẹp hai đầu như phương pháp ở trên

Bạn có thể xem thử tại đây: https://diendan.hocmai.vn/threads/tim-gtln-gtnn-p.832844/

Luyện tập


(bài tập lấy từ https://diendan.hocmai.vn/threads/tim-min-max-cua-ham-so.831784/)

11. $y = 4 \sin^2 \dfrac{x}2 + \sin x + \cos x$

12. $y = -4 \cos^3 x + \sin 3x + 3\cos x + 3$

13. $y = \sqrt{3 - 4 \sin^2 x \cdot \cos^2 x}$

Chúc các bạn học tốt nhé

 

[iceghost]

Dạng 3: Hàm số $y = \sin^n x + \cos^n x$

Đây là một dạng bổ sung. Do cũng gặp khá nhiều nên mình ghi ra nhé

Ví dụ 1: Tìm GTNN, GTLN của $y = \sin^9 x + \cos^9 x$ (hoặc mũ lẻ)

Ta tách như sau:

$-1 \leqslant \sin^7 x \leqslant 1 \implies -\sin^2 x \leqslant \sin^9 x \leqslant \sin^2 x$

$-1 \leqslant \cos^7 x \leqslant 1 \implies -\cos^2 x \leqslant \cos^9 x \leqslant \cos^2 x$

Cộng hai bpt lại, để ý rằng $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ nên ta có $-1 \leqslant y \leqslant 1$

Dấu '=' bên phải xảy ra khi $\sin x = 1, \cos x = 0$ hoặc $\sin x = 0, \cos x = 1$.

Dấu '=' bên trái xảy ra khi $\sin x = -1, \cos x = 0$ hoặc $\sin x = 0, \cos x = -1$.

Ví dụ 2: Tìm GTNN, GTLN của $y = \sin^8 x + \cos^8 x$ (hoặc mũ chẵn)

Đối với những bài đơn giản như thế này, bạn có thể sử dụng liên tục bất đẳng thức quen thuộc: $a^2 + b^2 \geqslant \dfrac{(a + b)^2}2$

Khi đó: $y \geqslant \dfrac{(\sin^4 x + \cos^4 x)^2}2 \geqslant \dfrac{(\sin^2 x + \cos^2 x)^4}8 = \dfrac{1}8$

Dấu '=' xảy ra khi $\sin x = \cos x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

Đôi khi bài toán có thể mũ cao hơn, phức tạp hơn thì bạn nên dùng bđt tổng quát: $\dfrac{a^{2n} + b^{2n}}2 \geqslant \left( \dfrac{a^2 + b^2}2 \right)^n$ (bạn có thể dùng quy nạp để chứng minh lại nhé)

À mình quên mất phần GTLN nữa Để tìm được GTLN thì các bạn sử dụng kỹ thuật như trên phần mũ lẻ nhá:

$\sin^6 x \leqslant 1$ nên $\sin^8 x \leqslant \sin^2 x$

$\cos^6 x \leqslant 1$ nên $\cos^8 x \leqslant \cos^2 x$

Cộng vế theo vế ta có $y \leqslant 1$.

 

[Mori Ran 680]

í dụ 1. Tìm GTNN và GTLN của hàm số y=sin2x+4sinx+5y=sin2⁡x+4sin⁡x+5y = \sin^2 x + 4 \sin x + 5

Ở đây, ta sẽ đưa y=(sinx+2)2+1

Ad ơi, chỗ này ta biến cái trên thành cái dưới như thế nào ạ

 

[iceghost]

Ad ơi, chỗ này ta biến cái trên thành cái dưới như thế nào ạ

Bạn tách hằng đẳng thức giống như ở lớp 8 nhé:

$y = \sin^2 x + 4 \sin x + 5 = (\sin^2 x + 4 \sin x + 4) + 1 = (\sin x + 2)^2 + 1$