Toán 10 [Đại số 10]PT và HPT Nhóm thảo luận-Starlove

[hocmaitlh]

bài 30 : bài này nghiêm đẹp : bìng phương hai vế cũng được đặc ẩn phụ cũng đk
có 2 nghiêm [TEX]x=-1[/TEX] và [TEX]x=\frac{-1}{2}[/TEX]
hi hi

 

[jelouis]

Bài 32:
$$\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8=0$$
$$\Longleftrightarrow (\sqrt{3x+1}-4)+(1-\sqrt{6-x})+3x^2-14x-5=0$$
$$\Longleftrightarrow \frac{3(x-5)}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{x-5}{1+\sqrt{6-x}}+(x-5)(x+\frac{1}{3})=0$$
$$\Longleftrightarrow (x-5)(\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{1+\sqrt{6-x}}+x+\frac{1}{3})=0$$
-Chiếu theo điều kiện xác định $\frac{-1}{3}$ \leq $x$ \leq $6$ $\Longrightarrow x+\frac{1}{3}$ \geq $0$ , vì vậy phương trình tương đương
$$x-5=0$$
$$\Longleftrightarrow x=5$$

 

[jelouis]

Bài 33:
$$\left\{\begin{matrix}
\sqrt[3]{x-y}=\sqrt{x-y}\\x+y=\sqrt{x+y+2}
\end{matrix}\right.$$
Bài 34:
$$\left\{\begin{matrix}
xy+x+y=x^2-2y^2\\x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y
\end{matrix}\right.$$
Bài 35:
$$x^3+2=3\sqrt[3]{3x-2}$$
Đổi không khí tí nhé , tìm m :">

Bài 36:Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
$$\left\{\begin{matrix}
x+y+2=2(x+1)(y+1)\\x+y+xy=m
\end{matrix}\right.$$
Bài 37:Tìm m để hệ phương trình có đúng hai nghiệm
$$\left\{\begin{matrix}
x+y+xy=m\\x^2+y^2+xy=1-2m
\end{matrix}\right.$$

 

[dongminh_96]

Bài 34:[TEX]\left{\begin xy+x+y=x^2-2y^2\\{x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y[/TEX]
xy+x+y=[TEX]x^2[/TEX]-[TEX]2y^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^2[/TEX]-x(1+y)-y-[TEX]2y^2[/TEX]
[TEX]\triangle[/TEX]=(3y+1)^2
\Rightarrow[TEX]\left[ {x=2y+1}\\{x=-2y}[/TEX]
x=2y+1\Rightarrow2y=x-1
thế vào pt còn lại tìm đc x=1\Rightarrowy=0
x=-2y
do đkxđ là x[TEX]\ge\[/TEX]1và [TEX]\ge\[/TEX]0\Rightarrowx=-2y loại
nếu sai mọi ng thông cảm nhé mình hơi kém môn này

 

[hocmaitlh]

bài 33 : [TEX]\sqrt[3]{x-y}=\sqrt[]{x-y} [/TEX] và[TEX] x+y=\sqrt[]{x+y+2} [/TEX]

đặt : [TEX]a=\sqrt[3]{x-y}[/TEX] ;[TEX] b=\sqrt[]{x-y}[/TEX]
ta có : [TEX]a^3-b^2=0[/TEX] và a=b ( ok rùi)
bài 35 :[TEX] x^3+2=3\sqrt[]{3x-2}[/TEX]
ta có : [TEX]x^3+2=x^3+1+1\geq3x [/TEX] (1)
[TEX]3\sqrt[3]{3x-2}=3.1.1.\sqrt[]{3x-2}\leq3x [/TEX] (2)
(1) và (2) xảy ra \Leftrightarrow[TEX]x=1[/TEX]
thôi còn mấy bài đó các bác vào làm đi nha .....từ tối tới 8h-0h nhọc quá trời

 

[bboy114crew]

bài 30 : bài này nghiêm đẹp : bìng phương hai vế cũng được đặc ẩn phụ cũng đk
có 2 nghiêm [TEX]x=-1[/TEX] và [TEX]x=\frac{-1}{2}[/TEX]
hi hi

Bình phương lên chắc chết à!
Bài 30:
[TEX]16x^2+39x+26 = (x+4)\sqrt{4x^2+22x+19}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left ( 4x+5 \right )^2+1-x= \left ( x +4\right )\sqrt{\left (4x+5 \right )\left ( x+4 \right )+x-1} [/TEX]


Đặt [TEX]u=4x+5, v=\left ( x +4\right )\sqrt{\left (4x+5 \right )\left ( x+4 \right )+x-1}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & &u^2+1-x=(x+4)v \\ & & v^2+1-x=(x+4)u\end{matrix}\right.[/TEX]

...........

Bài 31: [TEX]8x^2-13x+7 = ( 1+ \frac{1}{x}) \sqrt[3]{3x^2-2}[/TEX]


[TEX]\Leftrightarrow (2x-1)^3 -\left ( x^2-x-1 \right )= \left ( x+1\right ).\sqrt[3]{(x+1)(2x-1)+x^2-x-1}[/TEX][TEX](x\neq 0)[/TEX]
​

Đặt [TEX]u=2x-1 ,v=\sqrt[3]{3x^2-2}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & &u^3-(x^2-x-1) =(x+1)v\\ & &v^3-(x^2-x-1)=(x+1)u\end{matrix}\right.[/TEX]

..........​

 

[thanhtruc3101]

Bài 36:Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
$$\left\{\begin{matrix}
x+y+2=2(x+1)(y+1) (1)\\x+y+xy=m (2)
\end{matrix}\right.$$

ta có: hệ có nghiệm duy nhất khi x=y
ĐK cần: (1) <=> 2x+2=2[TEX](x+1)^2[/TEX] <=> x=0 hoặc x=-1
với x=0, thay vào (2) => m=0
với x=-1 thay vào (2) => m=-1
ĐK đủ: thay m đã tìm vào hệ đã cho để kiểm tra

Bài 37:Tìm m để hệ phương trình có đúng hai nghiệm
$$\left\{\begin{matrix}
x+y+xy=m\\x^2+y^2+xy=1-2m
\end{matrix}\right.$$[/SIZE][/FONT]

đặt u=x+y; v=xy, ta có:
$$\left\{\begin{matrix}
u+v=m (1)\\u^2-v=1-2m (2)
\end{matrix}\right.$$
(1)=>v=m-u, thay v vào (2), ta có:
[TEX]u^2+u+m-1=0[/TEX]
denta=5-4m
để hệ đã cho có 2 nghiệm khi:
denta=0 <=> m=[TEX]\frac{5}{4}[/TEX]

P/s: sao mà thấy thiếu thiếu ak, ai giúp biện luận cái @@

 

[bboy114crew]

Bài 38:Giải phương trình:
$$x^3+\sqrt{(1-x^2)^3}=x\sqrt{2(1-x^2)}$$

Bài 39: Giải phương trình:
$$\sqrt[4]{(x-2)(4-x)} +\sqrt[4]{x-2}+\sqrt[4]{4-x} + 6x\sqrt{3x} = x^3+30$$

 

[hocmaitlh]

mình ghi luôn mấy bài cho các bác làm nha ...hôm nay không onl đk
Bài 40 :Giải hệ phương trình : :[TEX] x^3 -2y +1=0[/TEX] và [TEX](3-x)\sqrt[]{2-x}-2y\sqrt[]{2y-1}=0[/TEX]


Bài 41 :Giải hệ phương trình ::[TEX]x^2+y^2+\frac{2xy}{x+y}=1[/TEX] và[TEX] \sqrt[]{x+y}=x^2-y[/TEX]


Bài 42:Giải hệ phương trình : : [TEX]x^2+y^2+xy+1=4y[/TEX] và [TEX]y(x+y)^2=2x^2+7y+2[/TEX]


Bài 43 :Giải hệ phương trình : : [TEX]2x^2+x-\frac{1}{y}=2[/TEX] và[TEX] y-y^2x-2y^2=-2[/TEX]


Bài 44 :Giải hệ phương trình : : [TEX]x^6-y^3+x^2-9y^2-30=28y[/TEX] và[TEX] \sqrt[]{2x+3}+x=y[/TEX]

( chém hế nha .........hihi)............

 

[bboy114crew]

mình ghi luôn mấy bài cho các bác làm nha ...hôm nay không onl đk
Bài 40 :Giải hệ phương trình : :[TEX] x^3 -2y +1=0[/TEX] và [TEX](3-x)\sqrt[]{2-x}-2y\sqrt[]{2y-1}=0[/TEX]


Bài 41 :Giải hệ phương trình ::[TEX]x^2+y^2+\frac{2xy}{x+y}=1[/TEX] và[TEX] \sqrt[]{x+y}=x^2-y[/TEX]


Bài 42:Giải hệ phương trình : : [TEX]x^2+y^2+xy+1=4y[/TEX] và [TEX]y(x+y)^2=2x^2+7y+2[/TEX]


Bài 43 :Giải hệ phương trình : : [TEX]2x^2+x-\frac{1}{y}=2[/TEX] và[TEX] y-y^2x-2y^2=-2[/TEX]


Bài 44 :Giải hệ phương trình : : [TEX]x^6-y^3+x^2-9y^2-30=28y[/TEX] và[TEX] \sqrt[]{2x+3}+x=y[/TEX]

( chém hế nha .........hihi)............

Bài 40:
Ta có:
[TEX](3-x)\sqrt[]{2-x}-2y\sqrt[]{2y-1}=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\sqrt[]{2-x}+ (2-x)\sqrt[]{2-x}=\sqrt[]{2y-1}+(2y-1)\sqrt[]{2y-1}[/TEX]
Tới đây ta có thể dùng hàm số hoặc phân tích trực tiếp để chứng minh [TEX]\sqrt[]{2y-1}=\sqrt[]{2-x}[/TEX]
Tới đây chắc dễ rồi!
Bài 41:
Ta có:
[TEX]x^2+y^2+\frac{2xy}{x+y}=1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x+y)^2-1+\frac{2xy}{x+y}-2xy=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x+y-1)[(x+y+1)- \frac{2xy}{x+y}]=0[/TEX]
Tới đây chắc dễ rồi!

 

[jelouis]

Bài 39:
$$\sqrt[4]{(x-2)(4-x)}+\sqrt[4]{x-2}+\sqrt[4]{4-x}+6x\sqrt{3x}=x^3+30$$
Dễ dàng nhận thấy :

$\sqrt[4]{(x-2)(4-x)}$ \leq $\sqrt[4]{(\frac{x-2+4-x}{2})^2}=1$

$\sqrt[4]{x-2}+\sqrt[4]{4-x}$ \leq $2$

$6x\sqrt{3x}=2\sqrt{27x^3}$ \leq $27+x^3$

$\Longrightarrow VT$ \leq $VP$

$"=" \Longleftrightarrow x=3$

 

[hocmaitlh]

mình ghi luôn mấy bài cho các bác làm nha ...hôm nay không onl đk
Bài 40 :Giải hệ phương trình : :[TEX] x^3 -2y +1=0[/TEX] và [TEX](3-x)\sqrt[]{2-x}-2y\sqrt[]{2y-1}=0[/TEX]


Bài 41 :Giải hệ phương trình ::[TEX]x^2+y^2+\frac{2xy}{x+y}=1[/TEX] và[TEX] \sqrt[]{x+y}=x^2-y[/TEX]


Bài 42:Giải hệ phương trình : : [TEX]x^2+y^2+xy+1=4y[/TEX] và [TEX]y(x+y)^2=2x^2+7y+2[/TEX]


Bài 43 :Giải hệ phương trình : : [TEX]2x^2+x-\frac{1}{y}=2[/TEX] và[TEX] y-y^2x-2y^2=-2[/TEX]


Bài 44 :Giải hệ phương trình : : [TEX]x^6-y^3+x^2-9y^2-30=28y[/TEX] và[TEX] \sqrt[]{2x+3}+x=y[/TEX]

( chém hế nha .........hihi)............

bận quá tối nay ko onl đk rui " cho minh sr nha bài này bạn bboy.....đã lam rùi mình ko để ý
bài 41 : pt (1) đặt x+y=a và x.y =b giải tiếp nhé ............................bân bân ................................................các bạn vao làm tiếp nha mình bận qua.....

 

[bboy114crew]

Bài 42:Giải hệ phương trình : : [TEX]x^2+y^2+xy+1=4y[/TEX] và [TEX]y(x+y)^2=2x^2+7y+2(1)[/TEX]

Chém tiếp bài này!
Ta có:
[TEX]x^2+y^2+xy+1=4y \Leftrightarrow x^2+y(x+y)+1=4y \Leftrightarrow 2x^2+2y(x+y)+2=8y(2) [/TEX]
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:
[TEX]y(x+y)^2+2y(x+y)=15y \Leftrightarrow y[(x+y)^2+2(x+y)-15]=0 \Leftrightarrow y(x+y+5)(x+y-3)=0 [/TEX]
Tới đây chắc dễ rồi!

Bài 43 :Giải hệ phương trình : : [TEX]2x^2+x-\frac{1}{y}=2[/TEX] và[TEX] y-y^2x-2y^2=-2[/TEX]

Bài này đưa về hệ phương trình đối xứng.
Ta có: [TEX]y-y^2x-2y^2=-2 \Leftrightarrow \frac{1}{y}-x-2=\frac{-2}{y^2}[/TEX]
Khi đó ta có hệ phương trình:
[TEX]\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{y^2}+\frac{1}{y}-x=2\\ 2x^2+x-\frac{1}{y}=2\end{array} \right.[/TEX]
Tới đây chắc dễ rồi!

 

[hocmaitlh]

không ai lam a ? mỗi bboy...
còn bài cuối mình sửa luôn đẻ post bài mới
bài 44: [TEX]x^6-y^3+x^2-9y^2-30=28y (1)[/TEX] và [TEX]\sqrt[]{2x+3} +x =y (2)[/TEX]
(1)\Leftrightarrow [TEX]x^2(x^4+1)=y^3+9y^2+28y+30=(y+3)((y+3)^2+1)[/TEX]
đặt [TEX]x^2=a[/TEX] và y+3=b ta được [TEX]a(a^2+1)=b(b^2+1)[/TEX]\Leftrightarrow[TEX] (a-b)(a^2+ab+b^2+1)=0[/TEX]
đến đây ok rui....giả tiếp tìm được x=3 ;y=6 và [TEX]x=-\sqrt[]{2}; y=-1[/TEX]

 

[bboy114crew]

Mà sao bảo là đại số mà không có BĐT nhỉ toàn PT và HPT vậy>?

 

[hanghoian94]

Bài 45: Cho $a,b,c >0$ và $a^2+b^2+c^2=1$ . Chứng minh rằng :

$\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2}$ \geq $\frac{3\sqrt{3}}{2}$​

Bài 46:Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng :
$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$$
Bài 47:Cho $a,b,c$ và $x,y,z$ là các số thực . Chứng minh rằng

$4(a^2+x^2)(b^2+y^2)(c^2+z^2)$ \geq $3(bcx+cay+abz)^2$​

p/s: nản thật , lại post nhầm níck(Jelouis) =.=!

 

[bboy114crew]

Bài 45: Cho $a,b,c >0$ và $a^2+b^2+c^2=1$ . Chứng minh rằng :

$\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2}$ \geq $\frac{3\sqrt{3}}{2}$​

Bài 46:Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng :
$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$$
Bài 47:Cho $a,b,c$ và $x,y,z$ là các số thực . Chứng minh rằng

$4(a^2+x^2)(b^2+y^2)(c^2+z^2)$ \geq $3(bcx+cay+abz)^2$​

p/s: nản thật , lại post nhầm níck(Jelouis) =.=!

Bài 45:
Gợi ý:
[TEX]\frac{a}{1-a^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2[/TEX]
Bằng AM-GM!
Bài 46:
Ta chứng minh hai BĐT sau:
$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2< \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{ \frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$$
Bài 47:
Nhân tung ra !

 

[jelouis]

Bài 47:

$4(a^2+x^2)(b^2+y^2)(c^2+z^2)$ \geq $3(bcx+cay+abz)^2$​

$[a(cy+bz)+bcx]^2$ \leq $(a^2+x^2)[(cy+bz)^2+(bc)^2]$​

Vậy bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chứng minh được :

$3[(cy+bz)^2+(bc)^2]$ \leq $4(b^2+y^2)(c^2+z^2)(1)$​

Thật vậy , $(1)$ tương đương :

$3(c^2y^2+b^2z^2+2bcyz+b^2c^2)$ \leq $4(b^2c^2+b^2z^2+y^2c^2+y^2z^2)$
$\Longleftrightarrow y^2c^2+b^2z^2+b^2c^2+4y^2z^2$ \geq $6bcyz$​

Điều này đúng theo AM-GM :

$y^2c^2+b^2z^2$ \geq $2bcyz$
$b^2c^2+4y^2z^2$ \geq $4bcyz$​

Vậy , ta có điều phải chứng minh

 

[starlove_maknae_kyuhyun]

 

[jelouis]

Bài 48:
$$\left\{\begin{matrix}
(y+z-x)(x+y+z)=2\\(z+x-y)(x+y+z)=3
\\ (x+y-z)(x+y+z)=4
\end{matrix}\right.$$
$$\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\frac{2}{y+z-x}=\frac{3}{x+z-y}\\ \frac{2}{y+z-x}=\frac{4}{x+y-z}
\\ \frac{3}{x+z-y}=\frac{4}{x+y-z}
\end{matrix}\right.$$
$$\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}
5x-5y-z=0\\3x-y-3z=0
\\x-7y+7z=0
\end{matrix}\right.(vn)$$
Bài 49:
$$\left\{\begin{matrix}
x(y+z)=x^2+2\\y(x+z)=y^2+3
\\ z(x+y)=z^2+4
\end{matrix}\right.$$
$x=0,y=0,z=0$ không phải là nghiệm của hệ , nên hệ phương trình tương đương :
$$\left\{\begin{matrix}
y+z=x+\frac{2}{x}\\ x+z=y+\frac{3}{y}
\\ x+y=z+\frac{4}{z}
\end{matrix}\right.$$
$$\Longrightarrow \frac{2}{x}=\frac{3}{y}=\frac{4}{z}$$
Bài 50:
$$\left\{\begin{matrix}
x+y+z=1\\x^2+y^2+9z^2(2)
\\ x^3+y^3+z^3=1
\end{matrix}\right.$$
$$1=(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)$$
$$\Longrightarrow xy+yz+xz=-4$$
Mặc khác ta lại có :
$$1=x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-(xy+yz+xz))+3xyz$$
$$\Longrightarrow xyz=-4 \Longrightarrow xy=\frac{-4}{z}$$
Từ phương trình $(2)$ ta có :
$$(x+y)^2-2xy+z^2=0$$
$$\Longleftrightarrow (1-z)^2+\frac{8}{z}+z^2=9$$
$$\Longleftrightarrow 2z^3-2z^2-9z+8=0$$
$$\Longleftrightarrow z=-2,z=2,z=1$$
$$\Longrightarrow...$$