$\color{Red}{\fbox{Event box Toán} \text{Thắc mắc}}$

[thinhrost1]

| Nick | Điểm | |
Đội 1 | tanngoclai | 18,25 | Vào trận chung kết
| letsmile519 | 12,5 |
Đội 2 | thinhrost1 | 18,75 | Vào trận chung kết
| demon311 | 18,25 |

2 bạn lọt vào trận chung kết sẽ thi đấu vào ngày 16/5

Chúc mừng các bạn!

Ngày 16/5, chẳng phải là ngày hôm nay sao ? sao chưa thấy đề thi nhỉ

 

[thinhrost1]

Bài 1 :
$$2^{m!} + 6^n = 10^n \ \ (1)$$
Ta có : $6^n \equiv 6(mod 10); 10^n$ chia hết cho 10

\Rightarrow $2^{m!} \equiv 4(mod 10)$

Nếu $ m \ge 4$ thì $m! = 4a$ \Rightarrow $2^{m!} = 16^a$

mà $16 \equiv 6 (mod 10) \to 2^{m!} \equiv 6 (mod 10) $ ( Trái với giả thiết - loại )

\Rightarrow $m \le 3 \to m! \in \left\{1;2;6\right\} $ (*)

Mặt khác : $2^{m!} + 6^n = 10^n$ \Leftrightarrow $2^{m!} = 10^n - 6^n$ \Leftrightarrow $2^{m!} = (5^n - 3^n)(5^n + 3^n)$

Vì n nguyên dương nên $5^n - 3^n \ge 2; 5^n + 3^n \ge 8$

\Rightarrow $2^{m!} = (5^n - 3^n)(5^n + 3^n) \ge 16$

\Rightarrow $m! \ge 4 $ (*)(*)

Từ (*) và (*)(*) ta có : m! = 6 \Rightarrow m = 3

Do đó : $64 = (5^n - 3^n)(5^n + 3^n) $

mà $5^n - 3^n \ge 2$ ( n nguyên dương ) \Rightarrow $5^n + 3^n \le 32$

\Rightarrow $5^n < 32 \to 5^n = 5;25$ ( vì n nguyên dương )

\Rightarrow $n=1;2$

- Nếu n=1, ta có : (1) \Leftrightarrow $64 + 6 = 10$ ( vô lí - loại ).
- Nếu n=2, ta có : (1) \Leftrightarrow $64 + 36 = 100$ ( đúng - nhận).

Vậy cặp nghiệm nguyên dương (m;n) của phương trình là (3;2).

Bài 2 :

a) Ta có : $a^3 + 11a - 6a^2 - 6 = a^2(a-1) -5a(a-1) + 6(a-1) = (a-1)(a^2 - 5a + 6) = (a-1)(a-2)(a-3)$

Với a nguyên thì a-1;a-2;a-3 là 3 số nguyên liên tiếp.

\Rightarrow (a-1)(a-2)(a-3) chia hết cho 3. (*)

mà (a-1)(a-2) chia hết cho 2 ( vì là tích của 2 số nguyên liên tiếp ) \Rightarrow (a-1)(a-2)(a-3) chia hết cho 2 . (*)(*)

Lại có : UCLN(2;3) = 1 (*)(*)(*)

Từ (*),(*)(*),(*)(*)(*) ta có : (a-1)(a-2)(a-3) chia hết cho 6 \Rightarrow $a^3 + 11a - 6a^2 - 6$ chia hết cho 6.

Vậy $a^3 + 11a - 6a^2 - 6$ chia hết cho 6 với a nguyên.

b) Gọi 3 số nguyên liên tiếp là a;a+1;a-1.

Ta có : $(a-1)^3 + a^3 + (a+1)^3 = 3a^3 + 6a = 3a(a^2 - 1) + 9a = 3a(a-1)(a+1) + 9a$

Vì a;a-1;a+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên theo phần a) ta có :

a(a-1)(a+1) chia hết cho 3 \Rightarrow 3a(a-1)(a+1) chia hết cho 9.

Mà 9a chia hết cho 9 ( vì a nguyên ).

\Rightarrow 3a(a-1)(a+1) + 9a chia hết cho 9.

\Rightarrow $(a-1)^3 + a^3 + (a+1)^3$ chia hết cho 9.

Vậy tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9.

Bài 4 :

a) Ta có : P(-1) = 0; P(x) - P(x-1) = x(x+1)(2x+1).

\Rightarrow P(0) - P(-1) = 0 \Rightarrow P(0) = 0.

Tương tự : P(1) = 6; P(2) = 36; P(-2)=0.

Đặt P(x) = e + d(x+2) + c(x+2)(x+1) + bx(x+1)(x+2) + a(x-1)x(x+1)(x+2).

- Với x=-2, ta có : P(-2) = e; mà P(-2) = 0 \Rightarrow e=0.

- Với x= -1, ta có : P(-1) = e + d = 0; mà P(-1) = 0 và e=0 \Rightarrow d=0.

Tương tự :

- Với x=0 \Rightarrow c=0.

- Với x=1 \Rightarrow P(1) = 6b = 6 \Rightarrow b=1.

- Với x=2 \Rightarrow P(2) = 24b + 24a = 24 + 24a = 36 \Rightarrow 24a = 36 \Rightarrow a=0,5.

\Rightarrow $P(x) = x(x+1)(x+2) + 0,5(x-1)x(x+1)(x+2)= 0,5x(x+1)^2(x+2)$

Vậy $P(x) = 0,5x(x+1)^2(x+2)$

b) Ta có : $P(x) - P(x-1) = x(x+1)(2x+1)$

\Rightarrow $P(1) - P(0) = 1,2,3 \\ P(2)-P(1) = 2.3.5 \\ ... \\ P(n) - P(n-1) = n(n+1)(2n+1)$

\Rightarrow $1.2.3 + 2.3.5 + ... + n(n+1)(2n+1) = P(n) - P(n-1) + P(n-1) - P(n-2) + ... + P(2) - P(1) + ( P(1) - P(0) = P(n) - P(0)$

Mà P(0) = 0 ( câu a )

\Rightarrow $1.2.3 + 2.3.5 + ... + n(n+1)(2n+1) = P(n) = 0,5n(n+1)^2(n+2)$

Vậy $F=0,5n(n+1)^2(n+2)$

Bài 3 : Hình em gửi sau vì nhà mất mạng nên em phải gửi nhờ nhà bác mà k mở được file hình.

Qua C vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AH và BM lần lượt tại E và F. AH,CD,BM cắt nhau tại O.

Xét tam giác CHE và BHA có :
Góc CHE = góc BHA ( 2 góc đối đỉnh )
Góc HCE = góc HBA ( 2 góc so le trong, CE // AB)
\Rightarrow tam giác CHE đồng dạng với tam giác BHA

\Rightarrow $\dfrac{CH}{BH} = \dfrac{CE}{AB}$

Tương tự, ta có :

$\dfrac{AM}{CM} = \dfrac{AB}{CF}$

$\dfrac{BD}{CF} = \dfrac{DO}{OC} = \dfrac{AD}{CE}$ \Rightarrow $\dfrac{BD}{AD} = \dfrac{CF}{CE} $

\Rightarrow $\dfrac{CH}{BH}.\dfrac{BD}{AD}. \dfrac{AM}{CM} = \dfrac{CE}{AB} . \dfrac{AB}{CF} . \dfrac{CF }{CE} = 1$

Mặt khác : AM=CM ( BM là đường trung tuyến của tam giác ABC).

\Rightarrow $\dfrac{AM}{CM} = 1 \to \dfrac{CH}{BH}.\dfrac{BD}{AD} = 1 (1)$

Xét tam giác ACH và tam giác ABC có :
Góc ACH chung
Góc AHC = góc BAC
\Rightarrow tam giác ACH đồng dạng với tam giác BCA.

\Rightarrow $\dfrac{AC}{BC} = \dfrac{CH}{AC} \to AC^2 = BC.CH (2)$

Xét tam giác ABC có CD là đường phân giác :

\Rightarrow $ \dfrac{BD}{AD} = \dfrac{BC}{AC} (3)$

Thay (2),(3) vào (1) ta được : $\dfrac{CH}{BH}.\dfrac{BC}{AC} = \dfrac{CH.BC}{BH.AC} = \dfrac{AC^2}{BH.AC} = \dfrac{AC}{BH} = 1$

\Rightarrow AC = BH (đpcm)

*Câu hỏi phụ :

Chim cánh cụt sống ở Nam Cực. Gấu Bắc Cực muốn bắt được chim cánh cụt phải đi qua xích đạo tức ở trong khu vực Nhiệt đới. Dù đi với vận tốc nhanh nhất, nó phải sống trong khu vực Nhiệt đới vài năm nếu muốn đến Nam Cực. Mà gấu Bắc Cực không thể sống ở đó vì nó không có thức ăn. Do đó nó không thể đến được Nam Cực . Và vì thế gấu Bắc Cực không thể bắt được chim cánh cụt.

Câu 1 bạn ấy thiếu nghiệm rồi kìa: m,n còn có nghiệm là 2,1 nữa mà

 

[congchuaanhsang]

Ngày 16/5, chẳng phải là ngày hôm nay sao ? sao chưa thấy đề thi nhỉ

Thi buổi chiều mà ku :v

Câu 1 bạn ấy thiếu nghiệm rồi kìa: m,n còn có nghiệm là 2,1 nữa mà

Uk
Cái này chị cũng trừ điểm rồi. Bởi vì cách làm em ấy đúng nên chị post luôn. Phần thử nghiệm đơn giản mà :v

 

[deadguy]

Các bạn cho mình tham gia với một người thôi !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[congchuaanhsang]

Các bạn cho mình tham gia với một người thôi !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Không được bạn! Event đã đến vòng chung kết, chiều nay sẽ công bố giải luôn. Nếu bạn muốn thì tham gia Mê cung kì bí nhé

 

[braga]

Câu 5: (4đ) a, Cho x,y,z>0 và $x+y+z=1$. Tìm Min:
$A=x^3+y^3+\dfrac{1}{2}z^3$
b, Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3. Tìm min:
$P=a^2+b^2+c^3$

Câu a, nếu làm như thế này:
$$\left(x^3+y^3+\dfrac{1}{2}z^3\right)(1+1+2)(1+1+1)\ge (x+y+z)^3$$
Dấu bằng xảy ra $\iff \begin{cases}x=y=\dfrac{z}{\sqrt[3]{2}}\\x+y+z=1\end{cases}\iff x=y=\dfrac{1}{2+\sqrt[3]{2}} $ $; z=\dfrac{1}{2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}$
và câu b, làm như sau:
Đặt $a= \dfrac{-1 + \sqrt{37}}{6}$, lúc đó mình có $3a^2 +a -3 = 0$ hay $3a^2 = (3-a)$,
Áp dụng BĐT Cauchy ta có,
$$x^2 + \dfrac{(3-a)^2}{4} \ge (3-a) x \\ y^2 + \dfrac{(3-a)^2}{4} \ge (3-a) y
\\ z^3 + a^3 + a^3 \ge 3a^2 z = (3-a) z$$
Cộng vế theo vế ta có,
$$x^2 + y^2 + z^3 +2a^3 + \dfrac{(3-a)^2}{2} \ge (3-a)(x+y+z)= 3(3-a) $$
Với $a= \dfrac{-1 + \sqrt{37}}{6}$
Thì sao nhỉ? cho hỏi BGK chỉ ra chỗ sai của 2 bài trên!

 

[congchuaanhsang]

Câu a, nếu làm như thế này:
$$\left(x^3+y^3+\dfrac{1}{2}z^3\right)(1+1+2)(1+1+1)\ge (x+y+z)^3$$
Dấu bằng xảy ra $\iff \begin{cases}x=y=\dfrac{z}{\sqrt[3]{2}}\\x+y+z=1\end{cases}\iff x=y=\dfrac{1}{2+\sqrt[3]{2}} $ $; z=\dfrac{1}{2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}$
và câu b, làm như sau:
Đặt $a= \dfrac{-1 + \sqrt{37}}{6}$, lúc đó mình có $3a^2 +a -3 = 0$ hay $3a^2 = (3-a)$,
Áp dụng BĐT Cauchy ta có,
$$x^2 + \dfrac{(3-a)^2}{4} \ge (3-a) x \\ y^2 + \dfrac{(3-a)^2}{4} \ge (3-a) y
\\ z^3 + a^3 + a^3 \ge 3a^2 z = (3-a) z$$
Cộng vế theo vế ta có,
$$x^2 + y^2 + z^3 +2a^3 + \dfrac{(3-a)^2}{2} \ge (3-a)(x+y+z)= 3(3-a) $$
Với $a= \dfrac{-1 + \sqrt{37}}{6}$
Thì sao nhỉ? cho hỏi BGK chỉ ra chỗ sai của 2 bài trên!

Câu a là bđt gì hả anh?
Cái này anh làm giồng tanngoclai, em ấy nói là Holder, nhưng nếu là Holder thì phải thế này mới đúng:

$(a_{1.1}^n+a_{1.2}^n+a_{1.3}^n+...+a_{1.m}^n).(a_{2.1}^n+a_{2.2}^n+a_{2.3}^n+...+a_{2.m}^n)......(a_{n.1}^n+a_{n.2}^n+a_{n.3}^n+...+a_{n.m}^n) \geq (a_{1.1}.a_{2.1}....a_{n.1}+a_{1.2}.a_{2.2}....a_{n.2}+....+a_{1.m}.a_{2.m}....a_{n.m})^n$
Nếu áp dụng đúng bđt trên thì kết quả giống với kết quả của BGK

Còn câu b, đáp số trùng với đáp số BGK mà anh

 

[huynhbachkhoa23]

Câu a là bđt gì hả anh?
Cái này anh làm giồng tanngoclai, em ấy nói là Holder, nhưng nếu là Holder thì phải thế này mới đúng:

$(a_{1.1}^n+a_{1.2}^n+a_{1.3}^n+...+a_{1.m}^n).(a_{2.1}^n+a_{2.2}^n+a_{2.3}^n+...+a_{2.m}^n)......(a_{n.1}^n+a_{n.2}^n+a_{n.3}^n+...+a_{n.m}^n) \geq (a_{1.1}.a_{2.1}....a_{n.1}+a_{1.2}.a_{2.2}....a_{n.2}+....+a_{1.m}.a_{2.m}....a_{n.m})^n$
Nếu áp dụng đúng bđt trên thì kết quả giống với kết quả của BGK

Còn câu b, đáp số trùng với đáp số BGK mà anh

Bunyakovsky bộ 3 số $(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^3)(\sum\limits_{i=1}^{n}b_i^3)(\sum\limits_{i=1}^{n}c_i^3) \ge (\sum\limits_{i=1}^{n}a_i.b_i.c_i )^3$

 

[thinhrost1]

Bunyakovsky bộ 3 số $(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^3)(\sum\limits_{i=1}^{n}b_i^3)(\sum\limits_{i=1}^{n}c_i^3) \ge (\sum\limits_{i=1}^{n}a_i.b_i.c_i )^3$

Cái đó là hệ quả của BDT Holder mà :|

 

[braga]

Câu a là bđt gì hả anh?
Cái này anh làm giồng tanngoclai, em ấy nói là Holder, nhưng nếu là Holder thì phải thế này mới đúng:

$(a_{1.1}^n+a_{1.2}^n+a_{1.3}^n+...+a_{1.m}^n).(a_{2.1}^n+a_{2.2}^n+a_{2.3}^n+...+a_{2.m}^n)......(a_{n.1}^n+a_{n.2}^n+a_{n.3}^n+...+a_{n.m}^n) \geq (a_{1.1}.a_{2.1}....a_{n.1}+a_{1.2}.a_{2.2}....a_{n.2}+....+a_{1.m}.a_{2.m}....a_{n.m})^n$
Nếu áp dụng đúng bđt trên thì kết quả giống với kết quả của BGK

Còn câu b, đáp số trùng với đáp số BGK mà anh

Ủa: $(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)\ge (axm+byn+czp)^3$ là $Holder$ với $m=n=3$ mà!!

Câu b, anh ko làm ra đáp số cuối nên thấy lạ lạ, tưởng sai!! :v

 

[congchuaanhsang]

Ủa: $(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)\ge (axm+byn+czp)^3$ là $Holder$ với $m=n=3$ mà!!

Câu b, anh ko làm ra đáp số cuối nên thấy lạ lạ, tưởng sai!! :v

Nếu vậy thì phải viết thành $(\sqrt[3]{2})^3$ chứ ạ

 

[braga]

Nếu vậy thì phải viết thành $(\sqrt[3]{2})^3$ chứ ạ

Uk, thì tất nhiên là thay $2=(\sqrt[3]{2})^3$ rồi, nhưng làm quen thì viết thế cho nhanh :v

 

[congchuaanhsang]

Uk, thì tất nhiên là thay $2=(\sqrt[3]{2})^3$ rồi, nhưng làm quen thì viết thế cho nhanh :v

Thì đến lúc nhân ra theo bđt đó phải là $\sqrt[3]{2}z$ chứ

 

[congchuaanhsang]

Thì đến lúc nhân ra theo bđt đó phải là $\sqrt[3]{2}z$ chứ

À nhầm

$\sqrt[3]{2}.\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}z$ vẫn bằng $z$

Nhưng mà Holder xảy ra dấu = khi nào nhỉ?

 

[thinhrost1]

Câu a, nếu làm như thế này:
$$\left(x^3+y^3+\dfrac{1}{2}z^3\right)(1+1+2)(1+1+1)\ge (x+y+z)^3$$
Dấu bằng xảy ra $\iff \begin{cases}x=y=\dfrac{z}{\sqrt[3]{2}}\\x+y+z=1\end{cases}\iff x=y=\dfrac{1}{2+\sqrt[3]{2}} $ $; z=\dfrac{1}{2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}$
và câu b, làm như sau:
Đặt $a= \dfrac{-1 + \sqrt{37}}{6}$, lúc đó mình có $3a^2 +a -3 = 0$ hay $3a^2 = (3-a)$,
Áp dụng BĐT Cauchy ta có,
$$x^2 + \dfrac{(3-a)^2}{4} \ge (3-a) x \\ y^2 + \dfrac{(3-a)^2}{4} \ge (3-a) y
\\ z^3 + a^3 + a^3 \ge 3a^2 z = (3-a) z$$
Cộng vế theo vế ta có,
$$x^2 + y^2 + z^3 +2a^3 + \dfrac{(3-a)^2}{2} \ge (3-a)(x+y+z)= 3(3-a) $$
Với $a= \dfrac{-1 + \sqrt{37}}{6}$
Thì sao nhỉ? cho hỏi BGK chỉ ra chỗ sai của 2 bài trên!

Câu a) ban đầu em cũng làm bằng Holder nhưng để sử dụng BDT Holder thì phải rất cẩn thận vì đảm bảo tỉ số của từng cặp số bằng nhau. Ban đầu e cũng như vậy nhưng xét lại thấy khi đó $x+y+z$ không bằng 1.

Theo em tốt nhất làm bằng AM-GM

 

[congchuaanhsang]

Câu a) ban đầu em cũng làm bằng Holder nhưng để sử dụng BDT Holder thì phải rất cẩn thận vì đảm bảo tỉ số của từng cặp số bằng nhau. Ban đầu e cũng như vậy nhưng xét lại thấy khi đó $x+y+z$ không bằng 1.

Theo em tốt nhất làm bằng AM-GM

Bài làm của tanngoclai

Bài 5 :

a) Theo BĐT Holder cho 3 dãy số dương, ta có :
$(x^3+y^3+\dfrac{1}{2}z^3)(1+1+2)(1+1+2)\ge (x+y+z)^3$

$\rightarrow x^3+y^3+\dfrac{1}{2}z^3 \ge \dfrac{1}{16}$

Dấu "=" xảy ra $\leftrightarrow x=y=\dfrac{z}{\sqrt[3]{2}} \rightarrow x=y= \dfrac{1}{2 + \sqrt[3]{2}}; z= \dfrac{\sqrt[3]{2}}{2 + \sqrt[3]{2}}$

Vậy GTNN của A là $\dfrac{1}{16}$ đạt được khi $x=y= \dfrac{1}{2 + \sqrt[3]{2}}; z= \dfrac{\sqrt[3]{2}}{2 + \sqrt[3]{2}}$

Nếu thay các giá trị trên vào thì A cũng không bằng $\dfrac{1}{16}$

 

[congchuaanhsang]

OK

Không ai có ý kiến gì nữa chứ ạ?

Tuyên bố Event box Toán Đón chào mùa hè sôi động kết thúc tại đây!

Hẹn gặp lại các bạn trong các event sau của box Toán :khi (8):

Các thí sinh đoạt giải sẽ nhanh chóng được set huy chương và title