$\color{Red}{\fbox{Đấu trường toán 12_ver2} \text{Phương trình ; BPT;HPT các loại}}$

[forum_]

khi bất phương trình phương trình có tham số
thì không thể nào tự dựng đặt t lớn hơn hoặc bằng 0 đc
phải giải ra r mới lấy đk
đk của bạn có rộng quá không

Định mệnh !!! . Đặt đk t \geq 0 là hoàn toàn đc và phải làm thế vì mũ chẵn mà.

ĐK quá rộng đâu , là do đoạn cuối dễ nên nhác làm đấy chứ =))

Thôi thì , biện luận luôn :|

PT (2) có 2 nghiệm trái dấu \Leftrightarrow m < 0

PT(2) có 2 nghiệm ko âm \Leftrightarrow đen-ta ' \geq 0 ; P \geq 0 ; S \geq 0

\Leftrightarrow 0 \leq m \leq $\dfrac{1}{3}$

2 nghiệm của (2) là $t=\dfrac{1 \pm \sqrt{1-3m}}{3}$

Do đó, khi m <0

$t = \dfrac{1 + \sqrt{1-3m}}{3}$ \Rightarrow $\sqrt[4]{\dfrac{x-1}{x+1}} =\dfrac{1 + \sqrt{1-3m}}{3}$

\Rightarrow x = .... or x = .....

Khi 0 \leq m \leq $\dfrac{1}{3}$

$\sqrt[4]{\dfrac{x-1}{x+1}} = \dfrac{1 \pm \sqrt{1-3m}}{3}$

\Rightarrow x =.....

 

[forum_]

$\fbox{....}$ Tìm tất cả các nghiệm nguyên của PT:

$x^2+x+12\sqrt{x+1}=36$

Hi

P/s: em nghĩ nên bắt đầu đánh số thứ tự bài đi ạ

 

[endinovodich12]

$\fbox{....}$ Tìm tất cả các nghiệm nguyên của PT:

$x^2+x+12\sqrt{x+1}=36$

Hi

P/s: em nghĩ nên bắt đầu đánh số thứ tự bài đi ạ

Bài Làm : ​

ĐKXĐ : x \geq -1

Với điều kiện trên thì phương trình \Leftrightarrow

$x^2+x+12\sqrt{x+1}=36$

$x^2+2x+1 - (x+1) +12\sqrt{x+1} - 36 =0 $

$(x+1)^2-(x+1) +12\sqrt{x+1} - 36 $

Đặt : $\sqrt{x+1} = t $ \geq 0

Thay vào ta có pt :

$t^4-t^2+12t-36 = 0$

$(t-2)(t+3)(t^2-t+6) = 0 $

\Leftrightarrow [tex]\left[\begin{t=2}\\{t = -3}\\{t^2 - t +6 = 0} [/tex]

Nhận thấy t=2 (t/m) và t=-3 (loại) và pt $t^2 - t +6 = 0$ vô nghiệm

*) Với t = 2 \Rightarrow x = 3

Vậy pt có nghiệm x=3 là nghiệm duy nhất !

 

[endinovodich12]

Nhân ngày 20 - 11 Mọi người thử sức câu này nhé !

1 ;
[TEX]\left{\begin{\frac{1}{\sqrt{x+2}}+\frac{1}{\sqrt{y-1}} = \frac{2}{\sqrt{x+y}}}\\{x^2+y^2+4xy-4x+2y-5 = 0} [/TEX]

 

[levietdung1998]

\[\begin{array}{*{20}{l}}
{DK:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > - 2}\\
{y > 1}\\
{x + y > 0}
\end{array}} \right.}\\
{\left( 1 \right) \leftrightarrow \sqrt {\left( {y - 1} \right)\left( {x + y} \right)} + \sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {x + y} \right)} = 2\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {y - 1} \right)} }\\
{ \leftrightarrow \sqrt {x + y} \left( {\sqrt {y - 1} + \sqrt {x + 2} } \right) = 2\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {y - 1} \right)} }\\
{a = \sqrt {y - 1} ;b = \sqrt {x + 2} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \left( {a,b > 0} \right)}\\
{ \to {a^2} + {b^2} = x + y + 1}\\
{ \to {a^2}{b^2} = xy - x + 2y - 2}\\
{\left( 1 \right) \leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2} - 1} \left( {a + b} \right) = 2ab}\\
{\left( 2 \right) \leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 4xy - 4x + 2y - 5 = 0}\\
{ \leftrightarrow {{\left( {x + y} \right)}^2} + 2xy - 4x + 2y - 5 = 0}\\
{ \leftrightarrow {{\left( {{a^2} + {b^2} - 1} \right)}^2} + 2{a^2}{b^2} - 2\left( {{a^2} + {b^2} - 1} \right) - 1 = 0}\\
{}\\
\begin{array}{l}
\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt {{a^2} + {b^2} - 1} \left( {a + b} \right) = 2ab\left( * \right)}\\
{{{\left( {{a^2} + {b^2} - 1} \right)}^2} + 2{a^2}{b^2} - 2\left( {{a^2} + {b^2} - 1} \right) - 1 = 0\left( {**} \right)}
\end{array}} \right.}\\
{\left( * \right) \leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2ab - 1} \left( {a + b} \right) = 2ab}\\
{\left( {**} \right) \leftrightarrow {{\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2ab - 1} \right]}^2} + 2{a^2}{b^2} - 2\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2ab - 1} \right] - 1 = 0}\\
{S = a + b{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} P = ab{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \left( {S,P > 0} \right)}\\
{HPT \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt {{S^2} - 2P - 1} .S = 2P\left( * \right)}\\
{{{\left( {{S^2} - 2P - 1} \right)}^2} + 2{P^2} - 2\left( {{S^2} - 2P - 1} \right) - 1 = 0\left( {**} \right)}
\end{array}} \right.}\\
{ \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
S = - 2;P = 1\\
S = 2,P = 1\\
S = - 1,14438,P = - 0,784076\\
S = 1,14438,P = - 0,784076
\end{array} \right.}
\end{array}\\
P = 1;S = 2 \to \left\{ \begin{array}{l}
a + b = 1\\
ab = 1
\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 1
\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {y - 1} = 1\\
\sqrt {x + 2} = 1
\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 2\\
x = - 1
\end{array} \right.
\end{array}
\end{array}\]

 

[levietdung1998]

Ai nghĩ ra cách giải hệ phương trình để tìm được S, P ở trên không

 

[demon311]

Nghiệm có vẻ không thỏa mãn pt 2 nhỉ
Anh El Nino xem lại đề nào

 

[levietdung1998]

Thoả màn mà bạn ; chắc bạn nhìn nhầm x và y đó..................................

 

[songviuocmo123]

Giải Hệ PT

$2/~~~~~ \left\{\begin{matrix}
& 6x-y=4+\sqrt{6x-2y+2}\\
& 9x^2-y^2+4(y-1)\sqrt{6x-2y+2}=6(xy+x-y)+7
\end{matrix}\right.$
PS : Hay.

 

[trantan0166]

Trước hết anh góp ý tý, cái pic của em forum thiếu sô thứ tự nội quy không rõ ràng nên hơi lộn xộn
Sau anh góp vui cùng topic
Giải hệ phương trình sau : trích đề HSG 11 thử Hậu Lộc
Bài 3
$\left\{ \begin{array}{l}
y({x^4} + {y^4}) = {({x^2} - 1)^5} + {x^6} - {x^4}\\
\left( {\sqrt {5{x^3} - 4} + 2.\sqrt[3]{{7y + 8}}} \right)\left( {y + 2} \right) = 2\left( {{x^2} + 4} \right)
\end{array} \right.$

 

[songviuocmo123]

Trước hết anh góp ý tý, cái pic của em forum thiếu sô thứ tự nội quy không rõ ràng nên hơi lộn xộn
Sau anh góp vui cùng topic
Giải hệ phương trình sau : trích đề HSG 11 thử Hậu Lộc
Bài 3
$\left\{ \begin{array}{l}
y({x^4} + {y^4}) = {({x^2} - 1)^5} + {x^6} - {x^4}\\
\left( {\sqrt {5{x^3} - 4} + 2.\sqrt[3]{{7y + 8}}} \right)\left( {y + 2} \right) = 2\left( {{x^2} + 4} \right)
\end{array} \right.$

Điều kiện : $x \geq \sqrt[3]{\frac{4}{5}}\\$
Do $x#0 $ $PT1 \frac{y^5}{x^5}+\frac{y}{x}=\frac{(x^2-1)^2}{x^5}+\frac{x^2-1}{x}\\$
$f(t)=t^5 +t ~~~(t\in R)\\$
$f'(t)=4t^2+1> 0\rightarrow \frac{y}{x}= \frac{x^2-1}{x}\\Nên $y=x^2-1$
$(\sqrt{5x^3-4}+2\sqrt[3]{7x^2+1})(x^2+1)=2(x^2+4)\\$
$\sqrt{5x^3-4}+2\sqrt[3]{7x^2+1} -\frac{2x^2+4}{x^2+1}=0\\$
$\sqrt{5x^3-4}+2\sqrt[3]{7x^2+1} -2-\frac{2}{x^2+1}=0\\$
$f(x)=\sqrt{5x^3-4}+2\sqrt[3]{7x^2+1} -2-\frac{2}{x^2+1}; ~~~~x \in (\sqrt[3]{\frac{4}{5}};+\propto )\\$
Dễ thầy $x$ tăng thì $f(x)$ tăng
$x$ giảm thì $f(x)$ giảm
Vậy hàm đồng biến
PT có nhiều nhất một nghiệm
$f(1)=0$
Vậy $x=1$(Thỏa mãn )
Vậy$ (x;y)=(1;0)$

 

[levietdung1998]

\[\begin{array}{l}
2/\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{6x - y = 4 + \sqrt {6x - 2y + 2} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \left( 1 \right)}\\
{9{x^2} - {y^2} + 4\left( {y - 1} \right)\sqrt {6x - 2y + 2} = 6\left( {xy + x - y} \right) + 7{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \left( 2 \right)}
\end{array}} \right.\\
DK:6x - 2y \ge - 2\\
\left( 1 \right) \leftrightarrow \sqrt {6x - 2y + 2} = 6x - y - 4\\
\left( 2 \right) \leftrightarrow 9{x^2} - {y^2} + \left( {4y - 4} \right)\left( {6x - y - 4} \right) = 6\left( {xy + x - y} \right) + 7\\
\leftrightarrow 9{x^2} - {y^2} + 24xy - 4{y^2} - 16y - 24x + 4y + 16 = 6xy + 6x - 6y + 7\\
\leftrightarrow 9{x^2} - 5{y^2} + 18xy - 30x - 6y + 9 = 0\\
\left( 1 \right) \to {\left( {6x - y - 4} \right)^2} = 6x - 2y + 2\\
\to 36{x^2} + {y^2} + 16 - 12xy - 48x + 8y = 6x - 2y + 2\\
\to 36{x^2} + {y^2} - 12xy - 54x + 10y + 14 = 0\\
\to HPT\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{9{x^2} - 5{y^2} + 18xy - 30x - 6y + 9 = 0\left( * \right)}\\
{36{x^2} + {y^2} - 12xy - 54x + 10y + 14 = 0\left( {**} \right)}
\end{array}} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{3}\\
y = 0
\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{5}{3}\\
y = 4
\end{array} \right.
\end{array}\]

 

[songviuocmo123]

\[\begin{array}{l}
2/\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{6x - y = 4 + \sqrt {6x - 2y + 2} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \left( 1 \right)}\\
{9{x^2} - {y^2} + 4\left( {y - 1} \right)\sqrt {6x - 2y + 2} = 6\left( {xy + x - y} \right) + 7{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \left( 2 \right)}
\end{array}} \right.\\
DK:6x - 2y \ge - 2\\
\left( 1 \right) \leftrightarrow \sqrt {6x - 2y + 2} = 6x - y - 4\\
\left( 2 \right) \leftrightarrow 9{x^2} - {y^2} + \left( {4y - 4} \right)\left( {6x - y - 4} \right) = 6\left( {xy + x - y} \right) + 7\\
\leftrightarrow 9{x^2} - {y^2} + 24xy - 4{y^2} - 16y - 24x + 4y + 16 = 6xy + 6x - 6y + 7\\
\leftrightarrow 9{x^2} - 5{y^2} + 18xy - 30x - 6y + 9 = 0\\
\left( 1 \right) \to {\left( {6x - y - 4} \right)^2} = 6x - 2y + 2\\
\to 36{x^2} + {y^2} + 16 - 12xy - 48x + 8y = 6x - 2y + 2\\
\to 36{x^2} + {y^2} - 12xy - 54x + 10y + 14 = 0\\
\to HPT\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{9{x^2} - 5{y^2} + 18xy - 30x - 6y + 9 = 0\left( * \right)}\\
{36{x^2} + {y^2} - 12xy - 54x + 10y + 14 = 0\left( {**} \right)}
\end{array}} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{3}\\
y = 0
\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{5}{3}\\
y = 4
\end{array} \right.
\end{array}\]

Cách này bạn hơi lạm dụng $UTC$ thì phải.
Nếu bạn không dùng cách đó thì như thế nào.

 

[trantan0166]

Bài 4
Tìm $m$ để pt có nghiệm
\[\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {3x + 1} - x - 1 \ge 0\\
{({x^2} + 2)^2} + m \ge x\sqrt {{x^2} + 4} + 1
\end{array} \right.\]

P/S MOD đổi lại cái tên đẹp đẹp cho mình với ạ và ủng hộ topic nhá
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=2682243#post2682243

 

[tranvanhung7997]

BPT (1) <=> $\sqrt{3x+1} \ge x+1$
$\leftrightarrow 3x+1 \ge (x+1)^2$
$\leftrightarrow 0 \le x \le 1$
Khi đó, hệ có nghiệm <=> bpt(2) có nghiệm trên đoạn [0, 1]
<=> $m \ge x\sqrt{x^2+4}+1-(x^2+2)^2$ có nghiệm trên [0, 1]
Đặt $f(x) = x\sqrt{x^2+4}+1-(x^2+2)^2$ , x thuộc [0, 1]
Tính đạo hàm, hàm bảng biến thiên của f(x)
Vậy để bpt (2) có nghiệm thì $m \ge Min_{f(x)}$

 

[tranvanhung7997]

Góp vui thêm 1 cách:
$ \left\{\begin{matrix} & 6x-y=4+\sqrt{6x-2y+2} \ (1) \\
& 9x^2-y^2+4(y-1)\sqrt{6x-2y+2}=6(xy+x-y)+7 \ (2)\end{matrix}\right.$
Ta có: $(2) \leftrightarrow (3x-y)^2+4(y-1)\sqrt{6x-2y+2}=(6x-2y+2)+2(y-1)^2+3$

Đặt $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{6x-2y+2} = a \\
& y-1=b \end{matrix}\right.$

Ta được hệ: $\left\{\begin{matrix} & a^2+b-1=4+a \\
& (\dfrac{a^2-2}{2})^2 +4ab =a^2+2b^2+3 \end{matrix}\right.$

Thế $b=5+a-a^2$ thay vào pt dưới a được pt bậc 4 ẩn a
.........

 

[endinovodich12]

Tiếp câu này nhé :

2; ( đề thi 15 phút của lớp mình đó )

[tex]\left\{ \begin{array}{l} (\sqrt{x^2+1}-3x^2y + 2 )(\sqrt{4y^2+1}+1)= 8x^2y^2 \\ x^2y-x+2=0 \end{array} \right.[/tex]

 

[zezo_flyer]

Tiếp câu này nhé :

2; ( đề thi 15 phút của lớp mình đó )

[tex]\left\{ \begin{array}{l} (\sqrt{x^2+1}-3x^2y + 2 )(\sqrt{4y^2+1}+1)= 8x^2y^2 \\ x^2y-x+2=0 \end{array} \right.[/tex]

tớ không giả được , cậu giải xem nào.

nếu lớp tớ kiểm tra 15' thế này thì 0 luôn.

 

[levietdung1998]

Phương trình (1) khó thật . Nếu chỉ xuất hiện \[{x^2};{y^2}\] thì dễ giải quyết đằng này lại xuất hiện thêm \[ - 3{x^2}y + 2\] thật khó xử lí quá.

 

[songviuocmo123]

Tiếp câu này nhé :

2; ( đề thi 15 phút của lớp mình đó )

[tex]\left\{ \begin{array}{l} (\sqrt{x^2+1}-3x^2y + 2 )(\sqrt{4y^2+1}+1)= 8x^2y^2 \\ x^2y-x+2=0 \end{array} \right.[/tex]

Mình nghĩ đề đúng là $\left\{ \begin{array}{l} (\sqrt{x^2+1}-3x^2y + 2 )(\sqrt{4y^2+1}+1)= 8x^2y^3 \\ x^2y-x+2=0 \end{array} \right.$
Ý tưởng sẽ là xoay sở để được đưa về hàm đơn điệu .(Do mình làm ra đẹp nên mình nói thế.)​