Z
L
levietdung1998
Không biết mình biến đổi sai hay đề bài cho nghiệm lạ thật
\[\begin{array}{l}
\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^3} - {x^2}y = {x^2} - x + y + 1{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \left( 1 \right)}\\
{{x^3} - 9{y^2} + 6\left( {x - 2y} \right) - 15 = 3\sqrt[3]{{6{x^2} + 2}}{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \left( 2 \right)}
\end{array}} \right.}\\
{}\\
{\left( 1 \right) \leftrightarrow {x^3} - {x^2} + x - 1 = {x^2}y + y}\\
{ \leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) + x - 1 = y\left( {{x^2} + 1} \right)}\\
{ \leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1 - y} \right) = 0}\\
{ \leftrightarrow x - 1 - y = 0}\\
{ + x = y + 1}\\
{\left( 2 \right) \leftrightarrow {{\left( {y + 1} \right)}^3} - 9{y^2} + 6\left( {y + 1 - 2y} \right) - 15 = 3\sqrt[3]{{6{{\left( {y + 1} \right)}^2} + 2}}}\\
{ \leftrightarrow {y^3} + 3{y^2} + 3y + 1 - 9{y^2} - 6y + 6 - 15 = 3\sqrt[3]{{6{y^2} + 12y + 8}}}\\
{ \leftrightarrow {y^3} - 6{y^2} - 3y - 8 = 3\sqrt[3]{{6{y^2} + 12y + 8}}}
\end{array}\\
\leftrightarrow {y^3} + 9y - \left( {6{y^2} + 12y + 8} \right) = 3\sqrt[3]{{6{y^2} + 12y + 8}}\\
a = \sqrt[3]{{6{y^2} + 12y + 8}}\left( {a > 0} \right)\\
\left( 2 \right) \leftrightarrow {y^3} + 9y - {a^3} = 3a\\
\leftrightarrow \left( {} \right)
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^3} - {x^2}y = {x^2} - x + y + 1{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \left( 1 \right)}\\
{{x^3} - 9{y^2} + 6\left( {x - 2y} \right) - 15 = 3\sqrt[3]{{6{x^2} + 2}}{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \left( 2 \right)}
\end{array}} \right.}\\
{}\\
{\left( 1 \right) \leftrightarrow {x^3} - {x^2} + x - 1 = {x^2}y + y}\\
{ \leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) + x - 1 = y\left( {{x^2} + 1} \right)}\\
{ \leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1 - y} \right) = 0}\\
{ \leftrightarrow x - 1 - y = 0}\\
{ + x = y + 1}\\
{\left( 2 \right) \leftrightarrow {{\left( {y + 1} \right)}^3} - 9{y^2} + 6\left( {y + 1 - 2y} \right) - 15 = 3\sqrt[3]{{6{{\left( {y + 1} \right)}^2} + 2}}}\\
{ \leftrightarrow {y^3} + 3{y^2} + 3y + 1 - 9{y^2} - 6y + 6 - 15 = 3\sqrt[3]{{6{y^2} + 12y + 8}}}\\
{ \leftrightarrow {y^3} - 6{y^2} - 3y - 8 = 3\sqrt[3]{{6{y^2} + 12y + 8}}}
\end{array}\\
\leftrightarrow {y^3} + 9y - \left( {6{y^2} + 12y + 8} \right) = 3\sqrt[3]{{6{y^2} + 12y + 8}}\\
a = \sqrt[3]{{6{y^2} + 12y + 8}}\left( {a > 0} \right)\\
\left( 2 \right) \leftrightarrow {y^3} + 9y - {a^3} = 3a\\
\leftrightarrow \left( {} \right)
\end{array}\]
Last edited by a moderator:
E
endinovodich12
Vẫn chưa song đâu bạn ! giải cụ thể nghiệm ; cái đó mới quyết định điểm 9 !
..................................................................................................................................
L
levietdung1998
Phương trình (2) thì bó tay thật rồi .
Đặt ẩn phụ thì không xuất hiện nhân tử chung ( hay quy về phương trình bậc 2 được )
Nâng lũy thừa thì thôi rồi
Đặt ẩn phụ thì không xuất hiện nhân tử chung ( hay quy về phương trình bậc 2 được )
Nâng lũy thừa thì thôi rồi
E
endinovodich12
Cái khó của bài toán là ở chỗ đó !
............................................................................................................
P
pety_ngu
vậy giải giùm mình nhúm này đi
tìm m để các phương trình sau có nghiệm
a. [TEX]3\sqrt{x-1} +m\sqrt{x+1}= 2\sqrt[4]{x^2 -1}[/TEX]
b.[TEX]m(\sqrt{1+x^2 } - \sqrt{1-x^2} +2 ) = 2\sqrt{1-x^4} + \sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}[/TEX]
c.[TEX]\sqrt[4]{2x}+\sqrt{2x}+2\sqrt[4]{6-x} + 2\sqrt{6-x}= m[/TEX]
d[TEX]\sqrt{x+4\sqrt{x-4}} + x+ \sqrt{x-4} =m[/TEX]
không phải tự nhiên mình nói mod mem tg gì nhưng bạn thử nhìn toàn diện 3page của pic đi
toàn mod không không có đến một bóng mem .
tìm m để các phương trình sau có nghiệm
a. [TEX]3\sqrt{x-1} +m\sqrt{x+1}= 2\sqrt[4]{x^2 -1}[/TEX]
b.[TEX]m(\sqrt{1+x^2 } - \sqrt{1-x^2} +2 ) = 2\sqrt{1-x^4} + \sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}[/TEX]
c.[TEX]\sqrt[4]{2x}+\sqrt{2x}+2\sqrt[4]{6-x} + 2\sqrt{6-x}= m[/TEX]
d[TEX]\sqrt{x+4\sqrt{x-4}} + x+ \sqrt{x-4} =m[/TEX]
không phải tự nhiên mình nói mod mem tg gì nhưng bạn thử nhìn toàn diện 3page của pic đi
toàn mod không không có đến một bóng mem .
F
forum_
Tạch ! @@ =)) Tạch ... và em là con mem đầu tiên :|
Nhận thấy x=-1 ko phải là nghiệm của PT
PT \Leftrightarrow $3.\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}+m=2.\sqrt[4]{\dfrac{x-1}{x+1}}$ (1)
Đặt $\sqrt[4]{\dfrac{x-1}{x+1}} = t$ \geq 0 .
Khi đó (1) \Leftrightarrow $3t^2-2t+m=0$ (2)
PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm ko âm
\Leftrightarrow ............
c. Sử dụng ĐK cần - đk đủ là đc chị ạ
Last edited by a moderator:
D
demon311
Nói là mem nhưng cũng là cựu mod
Thế thì anh cũng là mem nhé
d)
Đặt $f(x)=\sqrt{ x+4\sqrt{ x-4}}+x+\sqrt{ x-4}$
TXĐ: $D=[4;+∞ )$
Khảo sát:
Với $x_2>x_1$ và $x_1, x_2 \in D$ thì:
$f(x_2)-f(x_1)= \sqrt{ x_2+4\sqrt{ x_2-4}}+x_2+\sqrt{ x_2-4} - \sqrt{ x_1+4\sqrt{ x_1-4}}-x_1-\sqrt{ x_1-4} \ge 0 \ ∀ \ x_1, x_2 \in D $
Do đó hàm đồng biến trên D, nên đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=4 \Rightarrow f(x)=6$
Để pt $f(x)=m$ có nghiệm thì $m \ge Min \ f(x) =6$
Thế thì anh cũng là mem nhé
d)
Đặt $f(x)=\sqrt{ x+4\sqrt{ x-4}}+x+\sqrt{ x-4}$
TXĐ: $D=[4;+∞ )$
Khảo sát:
Với $x_2>x_1$ và $x_1, x_2 \in D$ thì:
$f(x_2)-f(x_1)= \sqrt{ x_2+4\sqrt{ x_2-4}}+x_2+\sqrt{ x_2-4} - \sqrt{ x_1+4\sqrt{ x_1-4}}-x_1-\sqrt{ x_1-4} \ge 0 \ ∀ \ x_1, x_2 \in D $
Do đó hàm đồng biến trên D, nên đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=4 \Rightarrow f(x)=6$
Để pt $f(x)=m$ có nghiệm thì $m \ge Min \ f(x) =6$
Last edited by a moderator:
D
demon311
Last edited by a moderator:
E
endinovodich12
Làm bài đó đi bạn !
...............................................................................................................................
E
endinovodich12
Mọi người thử sức câu này nhé ! đây là câu trong đề thi thử của trường mình năm ngoái đấy ! nhớ là phải giải chi tiêt và ra nghiệm rõ ràng nhé !
3 ; (*)
[tex]\left\{ \begin{array}{l} x^3 - x^2y = x^2 - x + y + 1 \\ x^3 - 9y^2 + 6(x - 2y) - 15 = 3 \sqrt[3]{6x^2 + 2} \end{array} \right.[/tex]
3 ; (*)
[tex]\left\{ \begin{array}{l} x^3 - x^2y = x^2 - x + y + 1 \\ x^3 - 9y^2 + 6(x - 2y) - 15 = 3 \sqrt[3]{6x^2 + 2} \end{array} \right.[/tex]
F
forum_
Anh Phúc nhanh chân quá :| . Em mới đi học thêm về xong , còn câu c chưa làm
ĐK: -1 \leq x \leq 1
Đặt: $t = \sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}$
PT trở thành:
$m.(t+2) = -t^2+t+2$ \Leftrightarrow $m=\dfrac{-t^2+t+2}{t+2}$ (1)
Do $\sqrt{1+x^2}$ \geq $\sqrt{1-x^2}$ \Rightarrow t \geq 0
Mặt khác: $t^2=2-2.\sqrt{1-x^4}$ \leq 2 \Rightarrow t \leq $\sqrt{2}$
Xét hàm số f(t) = $\dfrac{-t^2+t+2}{t+2}$ , \forall t $\in$ [0; $\sqrt{2}$ ]
Ta có f'(t) =$\dfrac{-t^2-4t}{(t+2)^2}$ \leq 0
Vậy hàm f(t) nghịch biến trên đoạn [0; $\sqrt{2}$ ] . Mà h/số liên tục trên đoạn [0; $\sqrt{2}$ ] nên PT đã cho có nghiệm khi PT (1) có nghiệm t $\in$ [0; $\sqrt{2}$ ]
Điều này tương đương với:
min f(t) \leq m \leq max f(t) \forall t $\in$ [0; $\sqrt{2}$ ]
\Leftrightarrow f( $\sqrt{2}$ ) \leq m\leq f(0)
Vậy các giá trị m cần tìm là $\sqrt{2}-1$ \leq m \leq 1
Với ý tưởng của anh levietdung1998 thì em nghĩ chỉ cần giải quyết đc 1 trong 2 PT này là êm xuôi mọi chuyện :|
$y^3-6y^2-9y-8= 3.\sqrt[3]{6y^2+12y+8}$
Hoặc (theo ẩn x ) : $x^3-9x^2+12x-12=3.\sqrt[3]{6x^2+2}$
Loading ........ =))
Last edited by a moderator:
E
endinovodich12
Với ý tưởng của anh levietdung1998 thì em nghĩ chỉ cần giải quyết đc 1 trong 2 PT này là êm xuôi mọi chuyện :|
$y^3-6y^2-9y-8= 3.\sqrt[3]{6y^2+12y+8}$
Hoặc (theo ẩn x ) : $x^3-9x^2+12x-12=3.\sqrt[3]{6x^2+2}$
Loading ........ =))
Cái khó của bài này là chỗ đây ! cố gắng lên các bạn !
Lần trước mình cũng đến đây! rồi ngồi cắm bút mãi mới ra đó !
$y^3-6y^2-9y-8= 3.\sqrt[3]{6y^2+12y+8}$
Hoặc (theo ẩn x ) : $x^3-9x^2+12x-12=3.\sqrt[3]{6x^2+2}$
Loading ........ =))
Cái khó của bài này là chỗ đây ! cố gắng lên các bạn !
Lần trước mình cũng đến đây! rồi ngồi cắm bút mãi mới ra đó !
L
levietdung1998
Lạ thật .Nghiệm này máy tính bấm không ra nổi .( Đề này đánh đố hơi quá )
\[\begin{array}{l}
{y^3} + 3y = 6{y^2} + 12y + 8 + 3\sqrt[3]{{6{y^2} + 12y + 8}}\\
a = \sqrt[3]{{6{y^2} + 12y + 8}}\\
PT \leftrightarrow {y^3} + 3y = {a^3} + 3a\\
\leftrightarrow \left( {y - a} \right)\left( {{y^2} + ya + {a^2} + 3} \right) = 0\\
\leftrightarrow y = a\\
\to y = \sqrt[3]{{6{y^2} + 12y + 8}} \to {y^3} - 6{y^2} - 12y - 8 = 0
\end{array}\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\left( {1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right) + 1\\
y = 2\left( {1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right)
\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}
{y^3} + 3y = 6{y^2} + 12y + 8 + 3\sqrt[3]{{6{y^2} + 12y + 8}}\\
a = \sqrt[3]{{6{y^2} + 12y + 8}}\\
PT \leftrightarrow {y^3} + 3y = {a^3} + 3a\\
\leftrightarrow \left( {y - a} \right)\left( {{y^2} + ya + {a^2} + 3} \right) = 0\\
\leftrightarrow y = a\\
\to y = \sqrt[3]{{6{y^2} + 12y + 8}} \to {y^3} - 6{y^2} - 12y - 8 = 0
\end{array}\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\left( {1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right) + 1\\
y = 2\left( {1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right)
\end{array} \right.\]
Last edited by a moderator:
F
forum_
$y^3 - 6y^2 - 12y - 8 = 0$ (1.1)
Tiếp đoạn này là ok
)Đặt $y=u+2$ . Thay vào PT (1.1) , rút gọn đc:
$u^3-24u-48=0$ (1.2)
Đặt: $u = 2.\sqrt[]{2}.(t + \dfrac{1}{t})$ . Thay vào PT (1.2) đc PT trùng phương ẩn t, thế vào trên tìm đc u , và sau đó dễ dàng tìm ra y,x
Last edited by a moderator:
E
endinovodich12
3;
[tex]\left\{ \begin{array}{l} x^3 - x^2y = x^2 - x + y + 1 \\ x^3 - 9y^2 + 6(x - 2y) - 15 = 3 \sqrt[3]{6x^2 + 2} \end{array} \right.[/tex]
Bài làm :
Từ pt 1 ta có
$x^3 - x^2y = x^2 - x + y + 1$
\Leftrightarrow $x^3+x-y(x^2+1) - (x^2+1)=0$
\Leftrightarrow $(x^2+1)(x-y-1) = 0$
[TEX]\left[\begin{x^2+1 =0}\\{x-y-1 =0} [/TEX]
Nhận thấy $x^2+1=0$ (VN)
Còn y=x-1 thay vào phương trình 2 ta có :
$x^3-9(x-1)^2+6(x-3(x-1)) -15 = 3 \sqrt[3]{6x^2+2}$
\Leftrightarrow $x^3-9x^2+6x-6 = 3 \sqrt[3]{6x^2+2}$
\Leftrightarrow $(x-1)^3+3(x-1) = 6x^2+2+3\sqrt[3]{6x^2+2}$
Xét hàm f(t)= $t^3+3t$ ( vơi mọi t $\in R )
f(t)' = [tex]3t^2+3[/tex] > 0
Hàm số đồng biến trên R
Do đó :
[tex]f(x-1) = f(\sqrt[3]{6x^2+2}) [/tex]
\Leftrightarrow [tex]x-1 = \sqrt[3]{6x^2+2}[/tex] ( cả bài có mỗi chỗ giải p này là khó nhất )
\Leftrightarrow $(x-1)^3 = 6x^2+2$
\Leftrightarrow $x^3-9x^2 +3x-3$ = 0
\Leftrightarrow $2(x^3-3x^2+3x+1) = x^3+3x^2+3x+1$
\Leftrightarrow $2(x-1)^3 = (x+1)^3$
\Leftrightarrow $\sqrt[3]{2}(x-1) = x+1$
\Leftrightarrow $x(\sqrt[3]{2}-1) = \sqrt[3]{2} + 1$
\Leftrightarrow $x = \frac{\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt[3]{2}-1}$
\Rightarrow $y=\frac{\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt[3]{2}-1} -1 $
Vậy phương trình có cặp nghiệm (x;y) là :
[TEX]\left{\begin{x = \frac{\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt[3]{2}-1}}\\{y=\frac{\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt[3]{2}-1} -1} [/TEX]
[tex]\left\{ \begin{array}{l} x^3 - x^2y = x^2 - x + y + 1 \\ x^3 - 9y^2 + 6(x - 2y) - 15 = 3 \sqrt[3]{6x^2 + 2} \end{array} \right.[/tex]
Bài làm :
Từ pt 1 ta có
$x^3 - x^2y = x^2 - x + y + 1$
\Leftrightarrow $x^3+x-y(x^2+1) - (x^2+1)=0$
\Leftrightarrow $(x^2+1)(x-y-1) = 0$
[TEX]\left[\begin{x^2+1 =0}\\{x-y-1 =0} [/TEX]
Nhận thấy $x^2+1=0$ (VN)
Còn y=x-1 thay vào phương trình 2 ta có :
$x^3-9(x-1)^2+6(x-3(x-1)) -15 = 3 \sqrt[3]{6x^2+2}$
\Leftrightarrow $x^3-9x^2+6x-6 = 3 \sqrt[3]{6x^2+2}$
\Leftrightarrow $(x-1)^3+3(x-1) = 6x^2+2+3\sqrt[3]{6x^2+2}$
Xét hàm f(t)= $t^3+3t$ ( vơi mọi t $\in R )
f(t)' = [tex]3t^2+3[/tex] > 0
Hàm số đồng biến trên R
Do đó :
[tex]f(x-1) = f(\sqrt[3]{6x^2+2}) [/tex]
\Leftrightarrow [tex]x-1 = \sqrt[3]{6x^2+2}[/tex] ( cả bài có mỗi chỗ giải p này là khó nhất )
\Leftrightarrow $(x-1)^3 = 6x^2+2$
\Leftrightarrow $x^3-9x^2 +3x-3$ = 0
\Leftrightarrow $2(x^3-3x^2+3x+1) = x^3+3x^2+3x+1$
\Leftrightarrow $2(x-1)^3 = (x+1)^3$
\Leftrightarrow $\sqrt[3]{2}(x-1) = x+1$
\Leftrightarrow $x(\sqrt[3]{2}-1) = \sqrt[3]{2} + 1$
\Leftrightarrow $x = \frac{\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt[3]{2}-1}$
\Rightarrow $y=\frac{\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt[3]{2}-1} -1 $
Vậy phương trình có cặp nghiệm (x;y) là :
[TEX]\left{\begin{x = \frac{\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt[3]{2}-1}}\\{y=\frac{\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt[3]{2}-1} -1} [/TEX]
Last edited by a moderator:
L
levietdung1998
Giải hệ phương trình sau
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt {x + 1} + \sqrt[4]{{x - 1}} - \sqrt {{y^4} + 2} = y}\\
{{x^2} + 2x\left( {y - 1} \right) + {y^2} - 6y + 1 = 0}
\end{array}} \right.\]
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt {x + 1} + \sqrt[4]{{x - 1}} - \sqrt {{y^4} + 2} = y}\\
{{x^2} + 2x\left( {y - 1} \right) + {y^2} - 6y + 1 = 0}
\end{array}} \right.\]
Last edited by a moderator:
P
pety_ngu
khi bất phương trình phương trình có tham số
Tạch ! @@ =)) Tạch ... và em là con mem đầu tiên :|
Nhận thấy x=-1 ko phải là nghiệm của PT
PT \Leftrightarrow $3.\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}+m=2.\sqrt[4]{\dfrac{x-1}{x+1}}$ (1)
Đặt $\sqrt[4]{\dfrac{x-1}{x+1}} = t$ \geq 0 .
Khi đó (1) \Leftrightarrow $3t^2-2t+m=0$ (2)
PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm ko âm
\Leftrightarrow ............
c. Sử dụng ĐK cần - đk đủ là đc chị ạ
thì không thể nào tự dựng đặt t lớn hơn hoặc bằng 0 đc
phải giải ra r mới lấy đk
đk của bạn có rộng quá không
V
vipboycodon
ĐK: $x \ge 1$. từ pt (2) ta có: $(x+y-1)^2 = 4y$ (*)
=> hệ có nghiệm khi $y \ge 0$
pt (1) <=> $\sqrt{x+1}-\sqrt{y^4+2}+\sqrt[4]{x-1}-y = 0$
<=> $\dfrac{x+1-(y^4+2)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{y^4+2}}+\dfrac{\sqrt{x-1}-y^2}{\sqrt[4]{x-1}+y} = 0$
<=> $\dfrac{x-y^4-1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{y^4+2}}+\dfrac{x-1-y^4}{(\sqrt[4]{x-1}+y)(\sqrt{x-1}+y^2)} = 0$
<=> $(x-y^4-1)[\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{y^4+2}}+\dfrac{1}{( \sqrt[4]{x-1}+y)(\sqrt{x-1}+y^2)}] = 0$
<=> $x-y^4-1 = 0$ (vì trong [...] > 0)
Với $x = y^4+1$ thay vào (*) ta có:
$(y^4+1+y-1)^2 = 4y$
<=> $(y^4+y)^2 = 4y$
<=> $y^8+2y^5+y^2-4y = 0$
<=> $y(y^7+2y^4+y-4) = 0$
<=> $y(y-1)(y^6+y^5+y^4+3y^3+3y^2+3y+4) = 0$
<=> $y = 0$ hoặc $y = 1$ (vì với $y \ge 0$ thì $y^6+y^5+y^4+3y^3+3y^2+3y+4 > 0$)
Với $y = 0$ thì $x = 1$ , với $y = 1$ thì $x = 2$
Hệ có nghiệm $(x;y) = (1;0)$ , $(x;y) = (2;1)$
Last edited by a moderator:
E
endinovodich12
ĐỀ :
Giải hệ phương trình sau
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt {x + 1} + \sqrt[4]{{x - 1}} - \sqrt {{y^4} + 2} = y}\\
{{x^2} + 2x\left( {y - 1} \right) + {y^2} - 6y + 1 = 0}
\end{array}} \right.\]
(2) \Leftrightarrow $x^2+2x(y-1)+y^2-6y+1=0$
\Leftrightarrow $(x+y-1)^2 = 4y $
Nhận thấy hệ có nghiệm với y \geq 0
(1) \Leftrightarrow $\sqrt {x + 1} + \sqrt[4]{{x - 1}} - \sqrt {{y^4} + 2} = y $
\Leftrightarrow $\sqrt {x + 1} + \sqrt[4]{{x - 1}} = \sqrt {{y^4} + 2} + y$
\Leftrightarrow $\sqrt {x -1 +2} + \sqrt[4]{{x - 1}} = \sqrt {{y^4} + 2} + y$
Xét hàm số : f(t) = $\sqrt{t^4+2}$ + t ( với t \geq 0 )
f'(t) = $\frac{2t^3}{\sqrt{t^4+2}}$ +1 \geq 0
\Rightarrow Hàm số đồng biến với t \geq 0
Do đó
[tex]f(\sqrt[4]{{x - 1} )[/tex] = f(y)
\Leftrightarrow [tex]\sqrt[4]{{x - 1}[/tex] = y
\Leftrightarrow $x=y^4+1$
Thay vào phương trình 2 ta có :
$(y^4+y)^2 = 4y $
\Leftrightarrow $ y^8+2y^5+y^2−4y=0 $
\Leftrightarrow $y(y^7+2y^4+y−4)=0$
\Leftrightarrow $y(y−1)(y^6+y^5+y^4+3y^3+3y^2+3y+4)=0$
\Leftrightarrow [tex]\left[\begin{y=0}\\{y = 1}\\{y^6+y^5+y^4+3y^3+3y^2+3y+4 =0} [/tex]
*)Với y = 0 thì x =1
*) Với = 1 thì x = 2
*)Với $y^6+y^5+y^4+3y^3+3y^2+3y+4$ = 0 (PTVN)
Do với y \geq 0 nên VT > 0
Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;0) , (x;y)=(2;1)
Giải hệ phương trình sau
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt {x + 1} + \sqrt[4]{{x - 1}} - \sqrt {{y^4} + 2} = y}\\
{{x^2} + 2x\left( {y - 1} \right) + {y^2} - 6y + 1 = 0}
\end{array}} \right.\]
BÀI LÀM :
(2) \Leftrightarrow $x^2+2x(y-1)+y^2-6y+1=0$
\Leftrightarrow $(x+y-1)^2 = 4y $
Nhận thấy hệ có nghiệm với y \geq 0
(1) \Leftrightarrow $\sqrt {x + 1} + \sqrt[4]{{x - 1}} - \sqrt {{y^4} + 2} = y $
\Leftrightarrow $\sqrt {x + 1} + \sqrt[4]{{x - 1}} = \sqrt {{y^4} + 2} + y$
\Leftrightarrow $\sqrt {x -1 +2} + \sqrt[4]{{x - 1}} = \sqrt {{y^4} + 2} + y$
Xét hàm số : f(t) = $\sqrt{t^4+2}$ + t ( với t \geq 0 )
f'(t) = $\frac{2t^3}{\sqrt{t^4+2}}$ +1 \geq 0
\Rightarrow Hàm số đồng biến với t \geq 0
Do đó
[tex]f(\sqrt[4]{{x - 1} )[/tex] = f(y)
\Leftrightarrow [tex]\sqrt[4]{{x - 1}[/tex] = y
\Leftrightarrow $x=y^4+1$
Thay vào phương trình 2 ta có :
$(y^4+y)^2 = 4y $
\Leftrightarrow $ y^8+2y^5+y^2−4y=0 $
\Leftrightarrow $y(y^7+2y^4+y−4)=0$
\Leftrightarrow $y(y−1)(y^6+y^5+y^4+3y^3+3y^2+3y+4)=0$
\Leftrightarrow [tex]\left[\begin{y=0}\\{y = 1}\\{y^6+y^5+y^4+3y^3+3y^2+3y+4 =0} [/tex]
*)Với y = 0 thì x =1
*) Với = 1 thì x = 2
*)Với $y^6+y^5+y^4+3y^3+3y^2+3y+4$ = 0 (PTVN)
Do với y \geq 0 nên VT > 0
Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;0) , (x;y)=(2;1)
Last edited by a moderator: