$\color{Red}{\fbox{Đấu trường toán 12_ver2} \text{Phương trình ; BPT;HPT các loại}}$

[endinovodich12]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

PHƯƠNG TRÌNH ; HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÁC LOẠI
​

*Nội dung:

- Mỗi tuần mình sẽ cố gắng đưa ít nhất là 3 câu bài tập để mọi người tham khảo

- Ngoài ra các bạn có thể đăng bài tập của mình về phần này lên để chúng ta cùng bàn luận !

*Nội quy:
+ Tránh spam nhé!
+ Khuyến khích dùng các bài đã thi ĐH ; các bài trong đề thi thử của các trường THPT trên toàn quốc ; v..v...
+ Tránh post bài tràn lan, tối đa 3 bài 1 lần post
+ Ngoài ra nội quy của Topic sẽ giống như nội quy của hocmai.vn
- Mọi hình thức vi phạm sẽ bị sử lý chính đáng ( mình không muốn điều này xảy ra với thành viên nào khi tham ra topic)

* Chú ý : - Tất cả các bài này đều lấy nghiệm trên tập số thực nhé ; chính vì vậy trong mỗi bài mình không ghi điều đó !

 

[endinovodich12]

ĐÂY LÀ 3 CÂU CỦA TUẦN 1 ! ​

Câu I . Giải phương trình :

$(3x+1)\sqrt{2x^2 - 1} = 5x^2 + \frac{3}{2}x -3 $

Câu II . Giải hệ phương trình sau :

[tex] \left\{ \begin{array}{l} x^2 + 2y + \sqrt{x-y} - y^2 = 2x \\ \sqrt[3]{x+6} +\sqrt{y-1}+1 = y^2 \end{array} \right. [/tex]

Câu III . Giải Bất Phương Trình Sau :

$\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{3-x}} > x- \frac{1}{2}$

 

[forum_]

ĐÂY LÀ 3 CÂU CỦA TUẦN 1 ! ​

Câu II . Giải hệ phương trình sau :

[tex] \left\{ \begin{array}{l} x^2 + 2y + \sqrt{x-y} - y^2 = 2x (1) \\ \sqrt[3]{x+6} +\sqrt{y-1}+1 = y^2 (2) \end{array} \right. [/tex]

ĐK : x \geq y \geq 1

Từ PT(1):

$(x^2-2x+1) - (y^2-2y+1) + \sqrt{x-y} =0$

\Leftrightarrow $(x-1)^2 - (y-1)^2 +\sqrt{x-y}=0$

\Leftrightarrow $(x-y)(x+y-2)+\sqrt{x-y} =0$

\Leftrightarrow $\sqrt{x-y}. [ \sqrt{x-y}.(x+y-2)+1] =0$

Vì x \geq y \geq 1 nên $\sqrt{x-y}.(x+y-2)+1 =0$ loại

Suy ra $\sqrt{x-y} = 0$ \Leftrightarrow $x=y$ . Thay vào PT (2) đc:

$\sqrt[3]{y+6} + \sqrt{y-1} =y^2-1$

\Leftrightarrow $(\sqrt[3]{y+6} -2)+ (\sqrt{y-1}-1) =y^2-1$

\Leftrightarrow $\dfrac{y+6-8}{ \sqrt[3]{(y+6)^2} + \sqrt[3]{2}.\sqrt[3]{y+6} + \sqrt[3]{4}} + \dfrac{y-2}{\sqrt{y-1}+1} = (y-2)(y+2)$

\Leftrightarrow y =2 . Vì phương trình:

$\dfrac{1}{ \sqrt[3]{(y+6)^2} + \sqrt[3]{2}.\sqrt[3]{y+6} + \sqrt[3]{4}} + \dfrac{1}{\sqrt{y-1}+1} = (y+2)$ (*)


Với ĐK y \geq 1 thì VT (*) < $\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}} +1$

VP (*) \geq 3 \Rightarrow vô nghiệm

Từ y=2, suy ra x = 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm x=y=2

Câu I . Giải phương trình :

$(3x+1)\sqrt{2x^2 - 1} = 5x^2 + \frac{3}{2}x -3 $

Đặt : $\sqrt{2x^2-1} = t$ \geq 0.

PT viết lại: $2t^2 - (3x+1)t + x^2 +\dfrac{3}{2}x -1 =0$

\Leftrightarrow ........ \Leftrightarrow ..........

Xét t = 2x-1 \Leftrightarrow $\sqrt{2x^2-1}=2x-1$ \Leftrightarrow $x^2-2x+1=0$ ( x \geq $\dfrac{1}{2}$ ) \Leftrightarrow $x=1$

Xét t = x+2 \Leftrightarrow $\sqrt{2x^2-1} = x+2$ \Leftrightarrow $x^2-4x-5=0$ ( x \geq -2) \Leftrightarrow x=-1 v x=5

Vậy S = {-1;5;1}

Rất vui; khi bạn đã tham gia ! cảm ơn !

 

[forum_]

Câu III . Giải Bất Phương Trình Sau :

$\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{3-x}} > x- \frac{1}{2}$

ĐK : -1 \leq x \leq 3

Đặt $\sqrt{x+1} = a$ \geq 0 ; $\sqrt{3-x}=b$ \geq 0

\Rightarrow $x=a^2-1$

và $a^2+b^2=4$ \Rightarrow $a^2=4-b^2$ (1)

Thay vào BPT đc:

$\dfrac{a}{a-b}$ > $a^2- \dfrac{3}{2}$

\Leftrightarrow $\dfrac{a}{a-b} - (a^2- \dfrac{3}{2})$ > 0

\Leftrightarrow .... \Leftrightarrow $\dfrac{-a^3+a^2b+ \dfrac{5a}{2} -\dfrac{3b}{2}}{a-b}$ > 0

\Leftrightarrow $\dfrac{-a^3+(4-b^2).b+ \dfrac{5a}{2} -\dfrac{3b}{2}}{a-b}$ > 0

(do (1) )

\Leftrightarrow $\dfrac{(a+b)(a^2-ab+b^2 - \dfrac{5}{2})}{a-b}$ < 0

Xét 2 trường hợp

TH1: $(a+b)(a^2-ab+b^2 - \dfrac{5}{2})$ > 0 và $a-b$ < 0

TH2: $(a+b)(a^2-ab+b^2 - \dfrac{5}{2})$ < 0 và $a-b$ > 0

Chú ý là : a+b luôn > 0 thì lời giải sẽ gọn hơn

 

[endinovodich12]

ĐK : -1 \leq x \leq 3

Đặt $\sqrt{x+1} = a$ \geq 0 ; $\sqrt{3-x}=b$ \geq 0

\Rightarrow $x=a^2-1$

và $a^2+b^2=4$ \Rightarrow $a^2=4-b^2$ (1)

Thay vào BPT đc:

$\dfrac{a}{a-b}$ > $a^2- \dfrac{3}{2}$

\Leftrightarrow $\dfrac{a}{a-b} - (a^2- \dfrac{3}{2})$ > 0

\Leftrightarrow .... \Leftrightarrow $\dfrac{-a^3+a^2b+ \dfrac{5a}{2} -\dfrac{3b}{2}}{a-b}$ > 0

\Leftrightarrow $\dfrac{-a^3+(4-b^2).b+ \dfrac{5a}{2} -\dfrac{3b}{2}}{a-b}$ > 0

(do (1) )

\Leftrightarrow $\dfrac{(a+b)(a^2-ab+b^2 - \dfrac{5}{2})}{a-b}$ < 0

Xét 2 trường hợp

TH1: $(a+b)(a^2-ab+b^2 - \dfrac{5}{2})$ > 0 và $a-b$ < 0

TH2: $(a+b)(a^2-ab+b^2 - \dfrac{5}{2})$ < 0 và $a-b$ > 0

Chú ý là : a+b luôn > 0 thì lời giải sẽ gọn hơn

Có cách khác ngắn gọn hơn k bạn !.............................................................................

 

[endinovodich12]

Còn câu này chưa thấy ai làm ; mình làm mọi người tham khảo và cho ý kiến !
Giải bất phương trình :
$\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{3-x}} > x-\frac{1}{2}$

ĐK: x $\in$ [-1/3]/{1} ; ta có :

$\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{3-x}} > x-\frac{1}{2}$

\Leftrightarrow $\frac{\sqrt{x+1}(\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x})}{2(x-1)} > x- \frac{1}{2}$

\Leftrightarrow $\frac{x+1+\sqrt{-x^2+2x+3}}{2(x-1)} > x - \frac{1}{2}$

Xét TH1 : 1< x \leq 3 (I)
\Leftrightarrow $x+1+\sqrt{-x^2+2x+3} > 2x^2-3x+1 $

\Leftrightarrow $2(-x^2+2x+3) +\sqrt{-x^2+2x+3} -6 > 0$

Đến đây là cơ bản rồi tìm đc nghiệm là : x $\in$ (1;$\frac{2+\sqrt{7}}{2}$)
Xét TH2 : -1 \leq x < 1 (2)

\Leftrightarrow $x+1 + \sqrt{-x^2+2x+3} < 2x^2-3x+1$
\Leftrightarrow $2(-x^2+2+3) +\sqrt{-x^2+2x+3} - 6 <0 $

Giải đc nghiệm x $\in$ [-1;$\frac{2-\sqrt{7}}{2}$]

Hợp 2 trường hợp ta đc tập nghiệm :
$S= \bigcup_{[-1;\frac{2-\sqrt{7}}{2}]}^{(1;\frac{2+\sqrt{7}}{2}) } $

 

[vuonghao.hocmai]

muốn làm cùng nhưng phần này nó khó quá !!........................................................................................................................................................................................................................

 

[endinovodich12]

muốn làm cùng nhưng phần này nó khó quá !!........................................................................................................................................................................................................................

Bạn có thể đăng bài tập lên đây để mọi người cùng làm !
......................................................................................................

 

[levietdung1998]

Giải hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}
2\sqrt {x + 3y + 2} - 3\sqrt y = \sqrt {x + 2} \\
\sqrt {y - 1} - \sqrt {4 - x} + 8 - {x^2} = 0
\end{array} \right.\]

 

[endinovodich12]

Giải hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}
2\sqrt {x + 3y + 2} - 3\sqrt y = \sqrt {x + 2} \\
\sqrt {y - 1} - \sqrt {4 - x} + 8 - {x^2} = 0
\end{array} \right.\]

Bài làm :​

ĐKXĐ [tex]\left\{ \begin{array}{l} x+3y+2 \geq 0 \\ -2 \leq x \leq4 \\ y\geq 1 \end{array} \right.[/tex]

Với điều kiện trên thì phương trình :
(1) \Leftrightarrow $ 2\sqrt {x + 3y + 2} - 3\sqrt y = \sqrt {x + 2} $

\Leftrightarrow $2\sqrt {x + 3y + 2} = 3\sqrt y + \sqrt {x + 2}$

Nhận thấy 2 vế luôn dương ; do đó bình phương hai vế ta đc :

$4(x+3y+2) = x+2+9y+6 \sqrt{y(x+2)}$

$3(x+2-2\sqrt{y(x+2)}+y) = 0$

$3(\sqrt{x+2}-\sqrt{y})^2 = 0$

\Leftrightarrow y=x+2 thay vào phương trình (2) ta đc pt chứa căn là :

$\sqrt{x+1} - \sqrt{4-x}+8-x^2 =0$ (*)

Đk : -1\leq x \leq 4

Pt (*) \Leftrightarrow

$\sqrt{x+1}-2 - ( \sqrt{4-x}-1) - (x^2 -9 ) = 0$

$\frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2} + \frac{x-3}{\sqrt{4-x}+1} - (x-3)(x+3) = 0$

$(x-3)[\frac{1}{\sqrt{x+1}+2} + \frac{1}{\sqrt{4-x}+1} - (x+3)] = 0 $

\Leftrightarrow Phương trình có nghiệm x=3 ; y=5

Và phương trình :

$\frac{1}{\sqrt{x+1}+2} + \frac{1}{\sqrt{4-x}+1} - (x+3)=0 $ (*)(*)

Xét hàm:
$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x+1}+2} + \frac{1}{\sqrt{4-x}+1} - (x+3) $ (x $\in$ [-1;4] )

\Leftrightarrow f'(x) <0 ( với mọi x $\in$ [-1;4] )

\Rightarrow Hàm số nghịch biến trên TXĐ

+ f(-1)=$ \frac{-7+\sqrt{5}}{4}$
+ f(4) = $-8+\sqrt{5}$

Từ những dữ kiện trên có thể kết luận rằng phương trình (*)(*) vô nghiệm !

KL : Vậy pt có nghiệm x=3 ; y =2

Mọi người tham khảo vào cho ý kiến nhé !

 

[endinovodich12]

2 CÂU TUẦN 2 NHÉ !
​

1 ;
[tex]\left\{ \begin{array}{l} y^2\sqrt{4x-1}+\sqrt{3}= 5y^2 - \sqrt{12x-3}\\ 2y^4(10x^2-17x+3)=3-15x \end{array} \right.[/tex]

2;

[tex]\left\{ \begin{array}{l} 9y^3(3x^3-1)=-125 \\ 45x^2y+75x=6y^2 \end{array} \right.[/tex]

 

[levietdung1998]

\[\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{9{y^3}\left( {3{x^3} - 1} \right) = - 125\left( 1 \right)}\\
{45{x^2}y + 75x = 6{y^2}\left( 2 \right)}
\end{array}} \right.\\
\\
\left( 1 \right) \leftrightarrow {\left( {3xy} \right)^3} + {5^3} = 9{y^3} \leftrightarrow {\left( {3xy + 5} \right)^3} - 45xy\left( {3xy + 5} \right) = 9{y^3}\\
\left( 2 \right) \leftrightarrow 15x\left( {3xy + 5} \right) = 6{y^2}\\
\\
\to \left( 1 \right) \leftrightarrow {\left( {3xy + 5} \right)^3} - 3y.6{y^2} = 9{y^3} \leftrightarrow {\left( {3xy + 5} \right)^2} = 27{y^3}\\
\leftrightarrow 3xy + 5 = 3y\\
\left( 2 \right) \leftrightarrow 15x.3y = 6{y^2} \leftrightarrow y\left( {45x - 6y} \right) = 0 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 0\\
45x - 6y = 0
\end{array} \right.\\
\\
TH1\,\,\,\,\,y = 0 \to \left( 1 \right) \leftrightarrow 0.\left( {3{x^3} - 1} \right) = - 125\left( {VN} \right)\\
TH2\,\,\,\,\,\,x = \frac{2}{{15}}y \leftrightarrow 3.\frac{2}{{15}}{y^2} + 5 = 3y \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 5 \to x = \frac{2}{3}\\
y = \frac{5}{2} \to x = \frac{1}{3}
\end{array} \right.\\
\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{2}{3}\\
y = 5
\end{array} \right.;\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{3}\\
y = \frac{5}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\]

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{2}{3}\\
y = 5
\end{array} \right.;\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{3}\\
y = \frac{5}{2}
\end{array} \right.\]

 

[levietdung1998]

\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{y^2}\sqrt {4x - 1} + \sqrt 3 = 5{y^2} - \sqrt {12x - 3} \left( 1 \right)\\
2{y^4}\left( {10{x^2} - 17x + 3} \right) = 3 - 15x\left( 2 \right)
\end{array} \right.\\
DK\,\,\,\,\,x \ge \frac{1}{4}\\
\left( 2 \right) \leftrightarrow 2{y^4}\left( {2x - 3} \right)\left( {5x - 1} \right) = 3\left( {1 - 5x} \right) \leftrightarrow \left( {5x - 1} \right)\left( {2{y^4}\left( {2x - 3} \right) + 3} \right) = 0\\
\leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
5x - 1 = 0\left( {loai} \right)\\
4x{y^4} - 6{y^4} + 3 = 0
\end{array} \right.\\
+ 4x{y^4} - 6{y^4} + 3 = 0\\

\end{array}\]

Bạn nào xử lý giúp mình tiếp.

 

[endinovodich12]

\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{y^2}\sqrt {4x - 1} + \sqrt 3 = 5{y^2} - \sqrt {12x - 3} \left( 1 \right)\\
2{y^4}\left( {10{x^2} - 17x + 3} \right) = 3 - 15x\left( 2 \right)
\end{array} \right.\\
DK\,\,\,\,\,x \ge \frac{1}{4}\\
\left( 2 \right) \leftrightarrow 2{y^4}\left( {2x - 3} \right)\left( {5x - 1} \right) = 3\left( {1 - 5x} \right) \leftrightarrow \left( {5x - 1} \right)\left( {2{y^4}\left( {2x - 3} \right) + 3} \right) = 0\\
\leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
5x - 1 = 0\left( {loai} \right)\\
4x{y^4} - 6{y^4} + 3 = 0
\end{array} \right.\\
+ 4x{y^4} - 6{y^4} + 3 = 0\\

\end{array}\]

Bạn nào xử lý giúp mình tiếp.

Đoạn sau mới là điểm 9 bạn ak ! cố gắng tự nghĩ xem ; còn cách nào k !
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

 

[endinovodich12]

Mọi người thử sức câu này nhé ! đây là câu trong đề thi thử của trường mình năm ngoái đấy ! nhớ là phải giải chi tiêt và ra nghiệm rõ ràng nhé !

3 ; (*)

[tex]\left\{ \begin{array}{l} x^3 - x^2y = x^2 - x + y + 1 \\ x^3 - 9y^2 + 6(x - 2y) - 15 = 3 \sqrt[3]{6x^2 + 2} \end{array} \right.[/tex]

 

[pety_ngu]

cái này là mod ra rồi mod tham gia trả lời hay sao nhỉ ?
ít thấy mem tham gia
và cũng tiện thể cho hỏi là mem tham gia có quyền viết câu hỏi về vấn đề phương trình và bất phương trình này không ???

 

[levietdung1998]

\[\begin{array}{l}
\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{y^2}\sqrt {4x - 1} + \sqrt 3 = 5{y^2} - \sqrt {12x - 3} \left( 1 \right)}\\
{2{y^4}\left( {10{x^2} - 17x + 3} \right) = 3 - 15x\left( 2 \right)}
\end{array}} \right.}\\
{DK{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} x \ge \frac{1}{4}}\\
{\left( 2 \right) \leftrightarrow 2{y^4}\left( {2x - 3} \right)\left( {5x - 1} \right) = 3\left( {1 - 5x} \right) \leftrightarrow \left( {5x - 1} \right)\left( {2{y^4}\left( {2x - 3} \right) + 3} \right) = 0}\\
{ \leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{5x - 1 = 0\left( {loai} \right)}\\
{4x{y^4} - 6{y^4} + 3 = 0}
\end{array}} \right.}\\
\begin{array}{l}
+ 4x{y^4} - 6{y^4} + 3 = 0\\
\left( 1 \right) \leftrightarrow {y^2}\sqrt {4x - 1} + \sqrt {6{y^4} - 4x{y^4}} = 5{y^2} - \sqrt {\left( {6{y^4} - 4x{y^4}} \right)\left( {4x - 1} \right)} \\
\leftrightarrow {y^2}\sqrt {4x - 1} + {y^2}\sqrt {6 - 4x} = 5{y^2} - {y^2}\sqrt {\left( {6 - 4x} \right)\left( {4x - 1} \right)} \\
+ y = 0\\
HPT \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 0\\
\sqrt 3 = - \sqrt {12x - 3} \left( {VN} \right)
\end{array} \right.\\
+ y \ne 0\\
\left( 1 \right) \leftrightarrow \sqrt {4x - 1} + \sqrt {6 - 4x} = 5 - \sqrt {\left( {6 - 4x} \right)\left( {4x - 1} \right)} \\
a = \sqrt {4x - 1} + \sqrt {6 - 4x} \left( {a > 0} \right)\\
\to {a^2} = 2\sqrt {\left( {4x - 1} \right)\left( {6 - 4x} \right)} + 5\\
\left( 1 \right) \leftrightarrow a = - \frac{{{a^2} - 5}}{2} + 5 \leftrightarrow - {a^2} - 2a + 15 = 0 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = - 5\left( {loai} \right)\\
a = 3
\end{array} \right.
\end{array}
\end{array}\\
a = 3 \to \sqrt {4x - 1} + \sqrt {6 - 4x} = 3 \to 5 + 2\sqrt {\left( {4x - 1} \right)\left( {6 - 4x} \right)} = 9 \to \left( {4x - 1} \right)\left( {6 - 4x} \right) = 4\\
\to - 16{x^2} + 28x - 10 = 0 \to \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{2}\\
x = \frac{5}{4}
\end{array} \right.\\
+ x = \frac{1}{2} \to {y^2} + \sqrt 3 = 5{y^2} - \sqrt 3 \leftrightarrow y = \pm \sqrt {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \\
+ x = \frac{5}{4} \to 2{y^2} + \sqrt 3 = 5{y^2} - \sqrt {12} \leftrightarrow y = \pm \sqrt {\frac{{\sqrt 3 + \sqrt {12} }}{3}} \\

\end{array}\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{2}\\
y = \sqrt {\frac{{\sqrt 3 }}{2}}
\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{2}\\
y = - \sqrt {\frac{{\sqrt 3 }}{2}}
\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{5}{4}\\
y = \sqrt {\frac{{\sqrt 3 + \sqrt {12} }}{3}}
\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{5}{4}\\
y = - \sqrt {\frac{{\sqrt 3 + \sqrt {12} }}{3}}
\end{array} \right.\]

 

[levietdung1998]

Mấu chốt của hệ phương trình thứ 3 là ở phần căn thức hay là phần ở biến y vậy bạn .

 

[endinovodich12]

cái này là mod ra rồi mod tham gia trả lời hay sao nhỉ ?
ít thấy mem tham gia
và cũng tiện thể cho hỏi là mem tham gia có quyền viết câu hỏi về vấn đề phương trình và bất phương trình này không ???

Chú ý : - Tất cả mọi người có thể tham gia !
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

 

[endinovodich12]

Mấu chốt của hệ phương trình thứ 3 là ở phần căn thức hay là phần ở biến y vậy bạn .

Cái đó mới là cái hay của bài toán ! bạn suy nghĩ xem !
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::