$\color{Red}{\fbox{$\bigstar$ Toán 8 $\bigstar$}}\color{Magenta}{\fbox{Ôn tập hè}}$

[iceghost]

Bài 6

e) $B = x^2 - 4xy + 5y^2 + 10x - 22y + 28 $
$= x^2 - 4xy + 4y^2 + y^2 + 10(x-2y) + 28 $$-2y$
$= (x - 2y)^2 + 10(x-2y) + 25 + y^2 - 2y+ 1 + 2 $
$= (x-2y + 5)^2 + (y-1)^2 + 2 \ge 2 $
\Rightarrow $Min$ $B = 2$ \Leftrightarrow $x = -3, y=1$

Bước 2 em thiếu -2y nhé!

 

[duc_2605]

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất:
b, $-x^2+5x-123$
B = $-x^2 + 2.2,5x - 6,25 - 116,75$
B = $-(x^2 - 2.2,5x + 6,25) - 116,75$
B = $-(x-2,5)^2 - 116,75$
Vì $(x-2,5)^2 $ \geq 0 \forall x nên $-(x-2,5)^2$ \leq 0 \forall x
Do đó: $Max_B = -116,75$ đạt tại x - 2,5 = 0 hay x = 2,5
d, $17-6x-9x^2$ (tương tự câu B, Max = 18, tại x = $\dfrac{-1}{3}$)
e, $36x-4x^2$ (tương tự câu c, max = -81, đạt tại x = 4,5)
c) $x - x^2 = -x^2 + 2.\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}$
=> Max = 0,25 đạt tại x = 0,5
f, $5-x^2+2x-4y^2-4y$.
= $-(x^2 - 2x + 1) - (4y^2 + 4y + 1)+ 3$
= $-(x-1)^2 - (2y + 1)^2 + 3$
Max = 3 đạt tại
\left\{\begin{matrix}
& x = 1 & \\
& y = -0,5 &
\end{matrix}\right.
Mình xin góp mấy câu nâng cao:
g*) Tìm $Min_A$ với $A = \dfrac{2002x^2 - 2x + 1}{x^2}$
i*) Tìm $MIn_B$ với $B = \dfrac{x^2 + x + 1}{x^2 + 2x + 1}$
(câu này khá là hóc đó!!, cố lên!)
k*) Tìm $Max_C$ với $C = \dfrac{3x^2 + 4x}{x^2 + 1}$

 

[phamhuy20011801]

Mình xin góp mấy câu nâng cao:
g*) Tìm $Min_A$ với $A = \dfrac{2002x^2 - 2x + 1}{x^2}$
i*) Tìm $MIn_B$ với $B = \dfrac{x^2 + x + 1}{x^2 + 2x + 1}$
(câu này khá là hóc đó!!, cố lên!)
k*) Tìm $Max_C$ với $C = \dfrac{3x^2 + 4x}{x^2 + 1}$

Cám ơn duc_2605, nhưng hình như phần này liên quan đến phân thức ở các chương sau mừ
Kệ, làm luôn_________)

g, $A=2002-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}$
Đặt $a=\dfrac{1}{x}$
$\rightarrow 2002-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}$
$=2002-2a+a^2$
$=(a-1)^2+2001$
$Max_A=2001 \leftrightarrow x=1$.
i, Khó quá nghĩ mãi mới ra :|
$B=\dfrac{x^2+2x+1-(x+1)+1}{x^2+2x+1}$
$=1-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{(x+1)^2}$
$=(\dfrac{1}{(x+1)^2}-2.\dfrac{1}{x+1}.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4})+\dfrac{3}{4}$
$=(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}$
$Min_B=\dfrac{3}{4} \leftrightarrow x=1$ :khi (88):
k, Có sai đề không? :|

 

[hanh7a2002123]

Bài 8: Tìm x:
a, $x^2-2x=24$

\Rightarrow $x^2-2x.1+1^2=25$
\Rightarrow $(x-1)^2=25$
\Rightarrow $x-1=5$ \Rightarrow $x=6$
$x-1=-5$ \Rightarrow $x=-4$

Vậy .....

 

[hanh7a2002123]

Bài 8:
b, $(2x-1)^2+(x+3)^2-5(x-7)(x+7)=0$

\Leftrightarrow $ 4x^2-4x+1+x^2+6x+9-5(x^2-49)=0$
\Leftrightarrow $ 5x^2+2x+10-5x^2+245=0$
\Leftrightarrow $ 2x+255=0$
\Rightarrow $ 2x=-255$\Rightarrow$x=-127,5$

P.s: chỉ có thể là làm dần ạ tại e dân làm toán 8 còn " nghiệp dư" lắm )

 

[hanh7a2002123]

c, $4x^2 - 12x + 9 = (5 – x)^2$

\Leftrightarrow $ (2x)^2-2.2x.3+3^2=(5-x)^2$
\Leftrightarrow $ (2x-3)^2=(5-x)^2$
\Rightarrow $(2x-3)^2-(5-x)^2=0$
\Rightarrow $ (2x-3-5+x)(2x-3+5-x)=0$
\Leftrightarrow $ (3x-8)(x+2)=0$
\Rightarrow $ 3x-8=0$ \Rightarrow $3x=8$ \Rightarrow $ x=\frac{8}{3}$
$ x+2=0$\Rightarrow $ x= -2$
Vậy.......................

P.s: cơ mà cởm ơn lời đóng góp nhiệt tính, chân thành và " sâu sắc "=))
ĐÃ THỬ SỬA =))

 

[phamhuy20011801]

\Leftrightarrow $ (2x)^2-2.2x.3+3^2=(5-x)^2$
\Leftrightarrow $ (2x-3)^2=(5-x)^2$
\Rightarrow TH1: $ 2x-3=5-x$ \Rightarrow $3x=8$\Rightarrow $x=\frac{8}{3}$
TH2: $-(2x-3)=5-x$\Rightarrow $ -2x+3=5-x$\Rightarrow $-x=2$\Rightarrow $x=-2$
TH3: $ 2x-3=-(5-x)$\Rightarrow $ 2x-3=-5+x$\Rightarrow $ x=-2$
TH4: $ -(2x-3)=-(5-x)$\Rightarrow $-2x+3=-5+x$\Rightarrow $-3x=-8$\Rightarrow$x=\frac{8}{3}$

$ (2x-3)^2=(5-x)^2$
Làm đến đây có thể chuyển vế sau đó áp dụng hằng đẳng thức số 3
$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$
Thành
$ (2x-3)^2-(5-x)^2=0$
Hay $(2x-3+5-x)(2x-3-5+x)=0$

 

[iceghost]

Câu h

h) $(x+1)(x-2)(x-3)(x-6)$
$=[(x+1)(x-6)].[(x-2)(x-3)]$
$=(x^2-5x-6)(x^2-5x+6)$
$=(x^2-5x)^2-6^2$
$=(x^2-5x)^2-36 \ge -36$
Vậy $Min = -36$ \Leftrightarrow $x = 5$ hoặc $x=0$

Hình như anh quên đánh dấu mấy câu làm rồi phải không

Dấu "=" còn có thể xảy ra khi x=0

 

[hanh7a2002123]

Bài 6:
f, $(x-3)^2+(11-x)^2$

\Leftrightarrow $2x^2-28x+130$\Leftrightarrow $2(x^2-14x+65)$\Leftrightarrow $ 2( x^2-2.7x+7^2+16)$\Leftrightarrow $2[(x-7)^2+16]$
\Leftrightarrow $ 2(x-7)^2+32$
\Rightarrow Min=32 \Leftrightarrow x=7


P.s: Đúng hem ạ? Lâu lâu ms lm lấy 1 bài tìm min, max .....

 

[nice_vk]

e, $(x-2)(x^2+2x+7)+2(x^2-4)-5(x-2)=0$

\Leftrightarrow $(x-2)(x^2+2x+7)+2(x+2)(x-2)-5(x-2)=0$
\Leftrightarrow $(x-2)(x^2+2x+7+2x+4-5)=0$
\Leftrightarrow $(x-2)(x^2+4x+6)$$=0$
\Leftrightarrow $(x-2)[(x+2)^2+2]$$=0$
\Rightarrow $x-2=0$
\Rightarrow $x=2$

 

[duc_2605]

Chủ nhà khách sáo quá! Cứ cảm ơn
Chia buồn là ... đề đúng. Max = 4, với x = 2 =))
Cố lên

 

[phamhuy20011801]

Chủ nhà khách sáo quá! Cứ cảm ơn
Chia buồn là ... đề đúng. Max = 4, với x = 2 =))
Cố lên

) Cái chữ Max to tướng thế kia mà cứ tưởng Min, làm mãi không ra

$C=\dfrac{4x^2+4}{x^2+1}-\dfrac{x^2-4x+4}{x^2+1}$
$=4-\dfrac{(x-2)^2}{x^2+1}$
Do $\dfrac{(x-2)^2}{x^2+1} \ge 0$
Nên $C \le 4$
Vậy $Min$ à quên $Max_C=4 \leftrightarrow x=2$

 

[nhaosoncity]

Mình còn 1 số hằng đẳng thức đáng nhớ nữa nè
8. $(a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)$
9. $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$
10. $(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a)$
11. $(a + b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$
12. $ab^2+bc^2+ca^2 - a^2b - b^2c - c^2a = \dfrac{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3}{3}$
13. $ab^3+bc^3+ca^3 - a^3b-b^3c-c^3a = \dfrac{(a+b+c)[(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3]}{3}$
Đây xem như là bài tập cần chứng minh

10, Đặt $(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 = a^3+b^3+c^3$ mà $a^3+b^3+c^3= 3abc$ suy ra $(a-b)^3+(b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)$

 

[iceghost]

Câu g

g)$(x+3y-5)^2-6xy+20$
\Leftrightarrow $x^2+9y^2+25+6xy-10x-30y-6xy+20$
$=x^2+9y^2-10x-30y+45$
$=(x^2-10x+25)+(9y^2-30y+25)-5$
$=(x-5)^2+(3y-5)^2-5 \ge -5$
Vậy $Min = -5$ \Leftrightarrow $x=5$ và $y=\frac{5}{3}$
P/s: Anh kiểm tra lại câu 8d xem em làm mãi mà không ra

 

[iceghost]

Câu 8d

d)Hix, do anh Huy chép sai đề nên bây giờ mới làm ra
$x^3-x^2-5(5x-6)=5$
\Rightarrow $x^3-x^2-5(5x-6)-5=0$
\Rightarrow $x^3-x^2-25x+30-5=0$
\Rightarrow $x^3-x^2-25x+25=0$
\Rightarrow $x(x^2-25)-1(x^2-25)=0$
\Rightarrow $(x^2-25)(x-1)=0$
\Rightarrow $(x-5)(x+5)(x-1)=0$
$x-5=0$ \Rightarrow $x=5$
$x+5=0$ \Rightarrow $x=-5$
$x-1=0$ \Rightarrow $x=1$
Vậy $x=1$ hay $x=\pm 5$

...
\Rightarrow $x^3-x^2-25x-30-5=0$
\Rightarrow $x^3-x^2-25x-25=0$
\Rightarrow $x(x^2-25)-1(x^2-25)=0$
...

Chỗ trên sai ùi em, lần sau chú ý nhé

 

[phamhuy20011801]

Bài 9: Cho $a+b+c=0$. Chứng minh rằng $a^3+b^3+c^3=3abc$
Bài 10: Chứng minh rằng:
a, $812^3-762^3 \vdots 100$
b, $31^{10}-1 \vdots 300$
c. $5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1} \vdots 59$
d, $n^n-n^2+n-1 \vdots n^2-2n+1$ với n nguyên, n>1.
Bài 11: Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc x,y:
a, $(x+y)(x^2-xy+y^2)+(x-y)(x^2+xy+y^2)-2x^3$
b, $2(x^6+y^6)-3(x^4+y^4)$ với $x^2+y^2=1$.
Bài 12: Cho :
a, $a^2-b^2=4c^2$. Chứng minh: $(5a-3b+8c)(5a-3b-8c)=(3a-5b)^2$
b, a,b,c,d nguyên; $a+b=c+d$. Chứng minh $a^2+b^2+c^2+d^2$ luôn là tổng của 3 số chính phương.
c, $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2$ (x,y,z khác 0). Chứng minh: $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$.
d, p và q là 2 số nguyên tố thoả mãn $p^2-q^2=p-3q+2$. Chứng minh $p^2+q^2$ cũng là số nguyên tố.
e, $a^2+b^2+(a-b)^2=c^2+d^2+(c-d)^2$. Chứng minh: $a^4+b^4+(a-b)^4=c^4+d^4+(c-d)^4$.

 

[chaugiang81]

bài9. $a^{3}$ + $b^{3}$ + $c^{3}$ - 3abc
= $(a+b)^{3}$ - $3a^{2}b$ - $3ab^{2}$ +$c^{3}$ - 3abc
= [$( a+b) ^{3}$ + $c^{3}$ ] - 3abc( a +b+c)
= (a+b+c) [$(a+b)^{2}$ - (a+b)c + $c^{2}$] - 3abc(a+b +c) =0
=> $a^{3}$ + $b^{3}$ + $c^{3}$ = 3abc

 

[iceghost]

Bài 10

a) $812^3-762^3$
\Leftrightarrow $(812-762)(812^2+812.762+762^2)$
\Leftrightarrow $50(4.406^2+4.406.381+4.381^2)$
\Leftrightarrow $2.100(406^2+406.381+381^2)$ $\vdots$ $100$
Vậy $812^3-762^3$ $\vdots$ $100$

P/s: sao anh không up lý thuyết nhỉ ? Giống như chị thaotran19 ấy, mà anh quên đánh dấu nữa rồi

 

[soccan]

$10)\\
b)\ 31^2 \equiv 1\ (mod\ 4)\\
\longrightarrow 4|31^{10}-1 $
tương tự cũng có $3|31^{10}-1$
mặt khác $31 \equiv 6\ (mod\ 25)$
$31^2 \equiv 11\ (mod\ 25)$
suy ra $31^{10} \equiv 6.11^2 \equiv 1\ (mod\ 25)$
mà $LCM(12,25)=300$
nên $300|B$
$c)$
dễ thấy với $n=0$ thì bài toán đúng, giả sử với $n=k$ thì số $C$ cũng chia hết cho $59$
ta sẽ chứng minh với $n=k+1$ thì $59|C$
thật vậy
$C_{k+1}=5^{k+1+2}+26.5^{k+1}+8^{2(k+1)+1}\\
=5(5^{k+2}+26.5^k+8^{2k+1})+8^{2k+1}.59$
theo gt quy nạp thì $59|5^{k+2}+26.5^k+8^{2k+1}$
nên $59|C$
$d)\\
D=n^n-n-(n-1)^2$
có $n^n-n=n(n-1)(n^{n-2}+n^{n-3}+...+n+1)$
mà $n^{n-2}+n^{n-3}+...+n+1=(n^{n-2}-1)+(n^{n-3}-1)+...(n-1)$
do đó $n-1|n^{n-2}+n^{n-3}+...+n+1$
nên $(n-1)^2|D$ với $n$ thỏa mãn

 

[soccan]

$12b)\\
a+b=c+d \longrightarrow a^2+ab=ac+ad$
do đó $a^2+b^2+c^2+d^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2(a^2+ab-ac-ad)=(a+b)^2+(a-c)^2+(a-d)^2$
ta có diều cần chứng minh
$a)\\
(5a-3b+8c)(5a-3b-8c)=(9a^2-30ab+25b^2)+16(a^2-b^2)-64c^2$
mà $a^2-b^2=4c^2 \longrightarrow 16(a^2-b^2)=64c^2 \longrightarrow$ (đccm)
$c$
theo $Bunyakovsky$
$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \ge (ax+by+cz)^2$
xảy ra dấu bằng khi $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$
còn nếu chứng minh thì dễ nhất là từ gt biến đổi tương dương được $a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2y^2+c^2x^2-2(axby+bycz+ac)\\
\longrightarrow(ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2=0...$
còn thì mai cày tiếp em à khuya rồi |