Toán 10 $\color{Blue}{\fbox{Topic Hot}\bigstar\text{Thảo Luận Về Bất Đẳng Thức}\bigstar}$

[viethoang1999]

54) Cho $a;b;c\ge 0$. Cmr: $\sum \sqrt{a^2+b^2}\ge \sqrt{2}.\sum a$
55) Cho $a;b;c\ge 0$. Cmr: $\sum \sqrt[3]{a^3+b^3}\ge \sqrt[3]{2}.\sum a$
56) Cho $a;b;c\ge 0$. Cmr: $\sum \sqrt[4]{a^4+b^4}\ge \sqrt[4]{2}.\sum a$
57) Cho $a;b;c\ge 0$. Cmr: $\sum \sqrt[5]{a^5+b^5}\ge \sqrt[5]{2}.\sum a$
Tổng quát:
58) Cho $a;b;c\ge 0$. Cmr: $\sum \sqrt[n]{a^n+b^n}\ge \sqrt[n]{2}.\sum a$ (dành cho bạn đọc )

 

[demon311]

54)

$VT=\sum \sqrt{a^2+b^2}\ge \sum \dfrac{a+b}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.\sum a$

 

[vipboycodon]

55)
$\sum \sqrt[3]{a^3+b^3} \ge \sum \dfrac{a+b}{\sqrt[3]{4}} = \sqrt[3]{2}. \sum a$

 

[bruceleehm]

56) Cho $a;b;c\ge 0$. Cmr: $\sum \sqrt[4]{a^4+b^4}\ge \sqrt[4]{2}.\sum a$
57) Cho $a;b;c\ge 0$. Cmr: $\sum \sqrt[5]{a^5+b^5}\ge \sqrt[5]{2}.\sum a$

56)
Có:
$x^4+y^4\ge \dfrac{(x^2+y^2)^2}{2}\ge \dfrac{\dfrac{(x+y)^4}{4}}{2}=\dfrac{(x+y)^4}{8}$
Áp dụng ta có:
$\sum \sqrt[4]{a^4+b^4}\ge \sum \sqrt[4]{\dfrac{(a+b)^4}{8}}=\sum \dfrac{a+b}{\sqrt[4]{8}}=\sqrt[4]{2}\sum a$

57)
Áp dụng bđt $x^5+y^5\ge \dfrac{(x+y)^5}{16}$ \Leftrightarrow $(x-y)^2(x+y) \left ( x^2+\dfrac{2}{3}xy+y^2 \right ) \ge 0$ (Luôn đúng)
$\sum \sqrt[5]{a^5+b^5}\ge \sum \sqrt[5]{\dfrac{(a+b)^5}{16}}=\sum \dfrac{a+b}{ \sqrt[5] {16} }=\sqrt[5]{2}\sum a$
Cách 2:
Có: $x^5+y^5\ge x^2y^2(x+y)$
\Rightarrow $\sum \sqrt[5]{a^5+b^5}\ge \dfrac{1}{\sqrt[5]{16}}\sum \sqrt[5]{a^5+b^5+5ab(a^3+b^3)+10a^2b^2(a+b)}=\dfrac{1}{ \sqrt[5]{16} }\sum \sqrt[5]{(a+b)^5}=\sqrt[5]{2}(a+b+c)$

$"="$ \Leftrightarrow $a=b=c>0$

 

[viethoang1999]

Tổng quát:
58) Cho $a;b;c\ge 0$. Cmr: $\sum \sqrt[n]{a^n+b^n}\ge \sqrt[n]{2}.\sum a$ (dành cho bạn đọc )

58)
Có: $x+y\le \sqrt[n]{2^{n-1}(x^n+y^n)} $
Áp dụng ta được:
$\sum \sqrt[n]{a^n+b^n}\ge \dfrac{2}{\sqrt[n]{2^{n-1}}(a+b+c)}=\sqrt[n]{2}(\sum a)$

 

[viethoang1999]

BĐT-Cực trị

59) Tìm Min; Max của $A=xy$ biết $x;y$ nguyên dương và $x+y=2005$.
60) Tìm Min $A=|11^m-5^n|$ với $m;n$ nguyên dương.
61) Cho $x;y;z;t$ dương thỏa $x+y+z+t=2$
Tìm Min $A=\dfrac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt}$
62) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}> 2$
63) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\dfrac{a(b+c)}{a^2+bc}}> 2$

 

[hoangvjp2502tb]

BĐT-Cực trị


60) Tìm Min $A=|11^m-5^n|$ với $m;n$ nguyên dương.

60)
$11^m$ tận cùng là $1$ với mọi $m$ nguyên dương
$5^n$ tận cùng là $5$ với mọi $n$ nguyên dương
Nếu $11^m>5^n$ thì $A$ tận cùng là $6$ \Rightarrow $A\ge 6$
Nếu $11^m<5^n$ thì $A$ tận cùng là $4$ \Rightarrow $A\ge 4$
Vậy $Min A=4$ khi chẳng hạn $m=2; n=3$

 

[hoangvjp2502tb]

BĐT-Cực trị


62) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}> 2$
63) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\dfrac{a(b+c)}{a^2+bc}}> 2$

62)
$\sum \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}=\sum \dfrac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\ge \sum \dfrac{2a}{a+b+c}=2$

Dấu "=" xảy ra khi: $a=b+c;b=c+a;c=a+b$
\Rightarrow $a=b=c=0$ (vô lý)
Vậy $\sum \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}> 2$

63)
ta có: $\sum \sqrt{\dfrac{a(b+c)}{a^2+bc}}=\sum \dfrac{a(b+c)}{\sqrt{(ab+ac)(a^2+bc)}}\ge \sum \dfrac{2(ab+ac)}{(a+b)(a+c)}$
+ Cần chứng minh: $\sum \dfrac{a(b+c)}{(a+b)(a+c)}\ge 1$
\Leftrightarrow $\sum a(b+c)^2\ge \sum (a+b)(b+c)(c+a)$
\Leftrightarrow $4abc\ge 0$
Tương tự dấu "=" không xảy ra.
Vậy $\sum \sqrt{\dfrac{a(b+c)}{a^2+bc}}> 2$

 

[viethoang1999]

BĐT-Cực trị

59) Tìm Min; Max của $A=xy$ biết $x;y$ nguyên dương và $x+y=2005$.
61) Cho $x;y;z;t$ dương thỏa $x+y+z+t=2$
Tìm Min $A=\dfrac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt}$

59)
+ Xét $x=y=\dfrac{2005}{2}$ (không thỏa mãn do x, y nguyên dương)

+ Xét $x\ne y$, giả sử $x > y$ thì ta biến đổi $A=xy=\dfrac{(x+y)^2-(x-y)^2}{4}=\dfrac{2005^2-(x-y)^2}{4}$ (*)

+ $x, y$ nguyên dương và $x > y; x + y = 2005$ nên $1 \le y<x \le 2004$
\Rightarrow $1 \le x-y \le 2003$

+ Từ (*) thì có $Min A = 2004$ khi $x = 2004, y = 1$ (hoặc ngược lại); $Max A =1005006$ khi $x = 1003; y = 1002$ (hoặc ngược lại)
61)
Do $x+y+z+t=2$
$A=\dfrac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt}=\dfrac{(x+y+z+t)^2(x+y+z)(x+y)}{4xyzt}\ge \dfrac{4t(x+y+z).(x+y+z)(x+y)}{4xyzt}=\dfrac{t(x+y+z)^2(x+y)}{xyzt}\ge \dfrac{t.4z(x+y).(x+y)}{xyzt}=\dfrac{4tz(x+y)^2}{xyzt}\ge \dfrac{4tz.4xy}{xyzt}=16$
Vậy $A\ge 16$
Dấu $"="$ có khi: $x=y=z=t=\dfrac{1}{2}$

 

[viethoang1999]

64) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum a.\sum \dfrac{1}{a}\ge 3 \left [ 1+\sqrt[3]{\dfrac{3(a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a)}{(ab+bc+ca)^2}} \right ]$
65) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\dfrac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}\ge 1$
66) Cho $a;b;c;d>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\dfrac{a}{b+c+d}} \ge 2$
67) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh 1 tam giác. Cmr: $\sum \sqrt{\dfrac{a}{b+c-a}}\ge 3$
68) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=3$. Cmr: $2(ab+bc+ca)+\sum \dfrac{1}{ab}\ge 9$
69) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=3abc$. Cmr: $\sum \dfrac{1}{a^3}\ge 3$
70) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $abc=1$. Cmr: $\sum a^3\ge 2.\sum \dfrac{a}{b+c}$
71) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $\sqrt{\dfrac{a}{b+2c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+2a}}+2 \sqrt{\dfrac{c}{a+b+c}}\ge 2$

Bài làm rồi được tô màu đỏ!

 

[forum_]

65/

Viết lại:

$P=\sum \sqrt{\dfrac{a^3}{a^3+(b+c)^3}} = \sum \sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{(b+c)^3}{a^3}}}$

Ta đi c/m:

$\sqrt{1+(\dfrac{b+c}{a})^3}$ \leq $1+\dfrac{1}{2}.(\dfrac{b+c}{a})^2$ (1)

Thật vậy, có:

BDT (1) \Leftrightarrow $(\dfrac{b+c}{a})^3$ \leq $(\dfrac{b+c}{a})^2 + \dfrac{1}{4}.(\dfrac{b+c}{a})^4$ \Leftrightarrow $(\dfrac{b+c}{a})^2 - (\dfrac{b+c}{a})^3 + \dfrac{1}{4}.(\dfrac{b+c}{a})^4$ \geq 0 (đúng)

Suy ra:

$\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{(b+c)^3}{a^3}}}$ \geq $\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}.(\dfrac{b+c}{a})^2}$

Suy ra $P= \sum \sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{(b+c)^3}{a^3}}}$ \geq $\sum \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}.(\dfrac{b+c}{a})^2}$

Do: $\sum (b+c)^2$ \leq $\sum 2(b^2+c^2)$ nên:

$\sum \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}.(\dfrac{b+c}{a})^2}$ = $\sum \dfrac{2a^2}{2a^2+(b+c)^2}$ \geq $\sum \dfrac{2a^2}{2a^2+2(b^2+c^2)}$ = $\sum \dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2} =1$

Suy ra P \geq 1 (Q.E.D)

Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi a=b=c

 

[forum_]

64/

BĐT \Leftrightarrow $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}$ \geq $3.\sqrt[3]{\dfrac{3(a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a)}{(ab+bc+ca)^2}}$

Sử dụng AM-GM:

$a^2c+a^2c+b^2a$ \geq $3.\sqrt[3]{a^5b^2c^2} = 3a.\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

Tương tự .... cộng lại suy ra $a^2c+b^2a+c^2b$ \geq $(a+b+c). \sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

Ta có:

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} = \dfrac{a^2c+b^2a+c^2a}{abc}$ \geq $\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$

Tương tự với $\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}$ \geq $\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$

Cộng 2 BDT lại , vế theo vế:

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}$ \geq $2. \dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$

Ta đi c/m

$2. \dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$ \geq $3.\sqrt[3]{\dfrac{3(a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a)}{(ab+bc+ca)^2}}$ (*)

\Leftrightarrow $81(a+b+c)^2.(ab+bc+ca)^2$ \geq $81abc(a+b)(b+c)(c+a)=81(ac+bc)(ca+ab)(ab+bc)$

Mặt khác, sử dụng AM-GM:

$81(ac+bc)(ca+ab)(ab+bc)$ \leq $81.\dfrac{8(ab+bc+ca)^3}{27} = 24.(ab+bc+ca)^3$

= $8(ab+bc+ca)^2.3(ab+bc+ca)$ \leq $8(ab+bc+ca)^2.(a+b+c)^2$

Suy ra: $81abc(a+b)(b+c)(c+a)$ \leq $8(ab+bc+ca)^2.(a+b+c)^2$

\Rightarrow BDT (*) đúng .

Kết hợp các điều trên ta suy ra đpcm

Dấu "=" tại $a=b=c$

 

[forum_]

67/

Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác nên : $b+c-a$ > 0 ; $c+a-b$ > 0 ; $a+b-c$ > 0

Áp dụng Cauchy cho VT , sau đó sử dụng BDT:

$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$ \leq $abc$

Ta có đc đpcm.

68/
Áp dụng : $(a+b+c)^2$ \geq $3(ab+bc+ca)$

Viết lại:

$2.(ab+bc+ca) + 2.\dfrac{9}{ab+bc+ca} - \dfrac{9}{ab+bc+ca}$

\geq $2.\sqrt{2.2.9} - \dfrac{9}{\dfrac{3^2}{3}} = 9$

(Cauchy)

 

[viethoang1999]

65/

Viết lại:

$P=\sum \sqrt{\dfrac{a^3}{a^3+(b+c)^3}} = \sum \sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{(b+c)^3}{a^3}}}$

Ta đi c/m:

$\sqrt{1+(\dfrac{b+c}{a})^3}$ \leq $1+\dfrac{1}{2}.(\dfrac{b+c}{a})^2$ (1)

Thật vậy, có:

BDT (1) \Leftrightarrow $(\dfrac{b+c}{a})^3$ \leq $(\dfrac{b+c}{a})^2 + \dfrac{1}{4}.(\dfrac{b+c}{a})^4$ \Leftrightarrow $(\dfrac{b+c}{a})^2 - (\dfrac{b+c}{a})^3 + \dfrac{1}{4}.(\dfrac{b+c}{a})^4$ \geq 0 (đúng)

Suy ra:

$\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{(b+c)^3}{a^3}}}$ \geq $\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}.(\dfrac{b+c}{a})^2}$

Suy ra $P= \sum \sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{(b+c)^3}{a^3}}}$ \geq $\sum \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}.(\dfrac{b+c}{a})^2}$

Do: $\sum (b+c)^2$ \leq $\sum 2(b^2+c^2)$ nên:

$\sum \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}.(\dfrac{b+c}{a})^2}$ = $\sum \dfrac{2a^2}{2a^2+(b+c)^2}$ \geq $\sum \dfrac{2a^2}{2a^2+2(b^2+c^2)}$ = $\sum \dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2} =1$

Suy ra P \geq 1 (Q.E.D)

Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi a=b=c

Phức tạp, làm như này này:
65)
Đặt $\dfrac{b+c}{a}=x$, áp dụng AM-GM:
$\sum \sqrt{\dfrac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}=\sum \sqrt{\dfrac{1}{1+\left ( \dfrac{b+c}{a} \right )^3}}$
$=\sum \sqrt{\dfrac{1}{1+x^3}}=\sum \dfrac{1}{\sqrt{(1+x)(x^2-x+1)}}\ge \sum \dfrac{2}{x^2+2}$
$=\sum \dfrac{2}{\left ( \dfrac{b+c}{a} \right )^2+2}$
$=\sum \dfrac{2a^2}{(b+c)^2+2a^2}\ge \sum \dfrac{2a^2}{2(b^2+c^2)+2a^2}=\sum \dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}=1$

 

[viethoang1999]

64/

BĐT \Leftrightarrow $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}$ \geq $3.\sqrt[3]{\dfrac{3(a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a)}{(ab+bc+ca)^2}}$

Sử dụng AM-GM:

$a^2c+a^2c+b^2a$ \geq $3.\sqrt[3]{a^5b^2c^2} = 3a.\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

Tương tự .... cộng lại suy ra $a^2c+b^2a+c^2b$ \geq $(a+b+c). \sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

Ta có:

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} = \dfrac{a^2c+b^2a+c^2a}{abc}$ \geq $\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$

Tương tự với $\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}$ \geq $\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$

Cộng 2 BDT lại , vế theo vế:

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}$ \geq $2. \dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$

Ta đi c/m

$2. \dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$ \geq $3.\sqrt[3]{\dfrac{3(a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a)}{(ab+bc+ca)^2}}$ (*)

\Leftrightarrow $81(a+b+c)^2.(ab+bc+ca)^2$ \geq $81abc(a+b)(b+c)(c+a)=81(ac+bc)(ca+ab)(ab+bc)$

Mặt khác, sử dụng AM-GM:

$81(ac+bc)(ca+ab)(ab+bc)$ \leq $81.\dfrac{8(ab+bc+ca)^3}{27} = 24.(ab+bc+ca)^3$

= $8(ab+bc+ca)^2.3(ab+bc+ca)$ \leq $8(ab+bc+ca)^2.(a+b+c)^2$

Suy ra: $81abc(a+b)(b+c)(c+a)$ \leq $8(ab+bc+ca)^2.(a+b+c)^2$

\Rightarrow BDT (*) đúng .

Kết hợp các điều trên ta suy ra đpcm

Dấu "=" tại $a=b=c$

Cách 2:
64)
BĐT \Leftrightarrow $\sum a.\sum \dfrac{1}{a})-3\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{3(a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a)}{(ab+bc+ac)^2}}$
\Leftrightarrow $\sum \dfrac{a+b}{c}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{3(a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a)}{(ab+bc+ac)^2}}$
Mặt khác theo AM-GM 3 số có:$\sum \dfrac{a+b}{c}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}$
Do đó ta cần CM:$3\sqrt[3]{\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{3(a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a)}{(ab+bc+ac)^2}}$
\Leftrightarrow $(ab+bc+ac)^2\ge 3abc(a+b+c)$
\Leftrightarrow $(ab-ac)^2+(bc-ba)^2+(ca-cb)^2\ge 0$
(Luôn đúng)
Do đó ta có ĐPCM. Dấu = xảy ra tại $a=b=c$

 

[forum_]

69/

Đặt : $\dfrac{1}{x}=a$ ; $\dfrac{1}{y} = b$ ; $\dfrac{1}{z} = c$

Từ $a+b+c=3abc$ suy ra: $xy+yz+zx=3$

Theo Holder và Cauchy thì:

$x^3+y^3+z^3$ \geq $\sqrt{\dfrac{(x^2+y^2+z^2)^3}{3}}$ \geq $\sqrt{\dfrac{(xy+yz+zx}{3}}$ = 3

(đpcm)

 

[forum_]

70/

Ta có: 2.$\sum \dfrac{a}{b+c}$ \leq $\dfrac{1}{2}.(\sum \dfrac{a+b}{c})$

Ta đi c/m:

$\dfrac{1}{2}.(\sum \dfrac{a+b}{c})$ \leq $a^3+b^3+c^2$

\Leftrightarrow $2(a^3+b^3+c^3)abc$ \geq $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

\Leftrightarrow $2(a^3+b^3+c^3)$ \geq $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$ (vì abc=1) (*)

Vì có $a^3+b^3$ \geq $ab(a+b)$ (c/m = tương đương)

Tương tự rồi cộng lại ta có BĐT (*) luôn đúng

Suy ra đpcm.

 

[viethoang1999]

69/

Đặt : $\dfrac{1}{x}=a$ ; $\dfrac{1}{y} = b$ ; $\dfrac{1}{z} = c$

Từ $a+b+c=3abc$ suy ra: $xy+yz+zx=3$

Theo Holder và Cauchy thì:

$x^3+y^3+z^3$ \geq $\sqrt{\dfrac{(x^2+y^2+z^2)^3}{3}}$ \geq $\sqrt{\dfrac{(xy+yz+zx}{3}}$ = 3

(đpcm)

69)
Cách 2: Ta có $a+b+c=3abc$ \Rightarrow $\sum \dfrac{1}{ab}=3$

Có $\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+1 \ge \dfrac{3}{ab}$
\Rightarrow $2.\sum \dfrac{1}{a^3}+3 \ge 3.\sum \dfrac{1}{ab}$

\Rightarrow $\sum \dfrac{1}{a^3} \ge 3$

 

[viethoang1999]

66) Cho $a;b;c;d>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\dfrac{a}{b+c+d}} \ge 2$


Bài làm rồi được tô màu đỏ!

66)
Ta có $\sqrt{\dfrac{a}{b+c+d}}=\dfrac{a}{\sqrt{a(b+c+d)}} \ge \dfrac{2a}{a+b+c+d}$
\Rightarrow $\sum \sqrt{\dfrac{a}{b+c+d}} \ge 2$
Dấu "=" không xảy ra.

Vậy $\sum \sqrt{\dfrac{a}{b+c+d}}>2$

 

[viethoang1999]

71) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $\sqrt{\dfrac{a}{b+2c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+2a}}+2 \sqrt{\dfrac{c}{a+b+c}}\ge 2$

Bài làm rồi được tô màu đỏ!

71) Áp dụng bài $66$, thay $d=c$ ta có đpcm.

70/

Ta có: 2.$\sum \dfrac{a}{b+c}$ \leq $\dfrac{1}{2}.(\sum \dfrac{a+b}{c})$

Ta đi c/m:

$\dfrac{1}{2}.(\sum \dfrac{a+b}{c})$ \leq $a^3+b^3+c^2$

\Leftrightarrow $2(a^3+b^3+c^3)abc$ \geq $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

\Leftrightarrow $2(a^3+b^3+c^3)$ \geq $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$ (vì abc=1) (*)

Vì có $a^3+b^3$ \geq $ab(a+b)$ (c/m = tương đương)

Tương tự rồi cộng lại ta có BĐT (*) luôn đúng

Suy ra đpcm.

70)
Cách 2:
$\sum a^3=\dfrac{\sum a^3}{abc}=\sum \dfrac{a^2}{bc}=\sum \left ( \dfrac{a^2}{bc}+1 \right ) -3\ge \sum \dfrac{2a}{\sqrt{bc}}-3$
$\ge \sum \dfrac{4a}{b+c}-3\ge 4.\dfrac{3}{2}-3=3$ (BĐT Nesbit đã CM)