Toán 10 $\color{Blue}{\fbox{Topic Hot}\bigstar\text{Thảo Luận Về Bất Đẳng Thức}\bigstar}$

[viethoang1999]

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

3) Nguyên lí đồng bậc trong bất đẳng thức Cauchy:

Bài tập:
34) Cmr: $\sum \dfrac{a^{5}}{b^{3}}\ge \sum \dfrac{a^{4}}{b^{2}}$ \forall $a;b;c>0$
35) Cmr: $\sum \dfrac{a^{3}}{b^{3}}\ge \sum \dfrac{a^{2}}{b^{2}}$ \forall $a;b;c>0$
36) Cmr: $\sum \dfrac{a^{2}}{b^{5}}\ge \sum \dfrac{1}{a^{3}}$ \forall $a;b;c>0$
37) Cmr: $\sum \dfrac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\le \dfrac{1}{abc}$ \forall $a;b;c>0$

 

[dien0709]

3)[TEX]\frac{a+b}{2}. \frac{a^2+b^2}{2}\leq \frac{a^3+b^3}{2};a,b>0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^3+b^3+ab^2+ba^2\leq 2a^3+2b^3 \Leftrightarrow a^3+b^3-ab(a+b)\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a+b)(a^2+b^2-2ab)\geq 0 \Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0,[/TEX]luôn đúng vì a,b>0
4)[TEX]a,b\in(-1,1)\Leftrightarrow a^2-1<0;1-b^2>0;\mid a+b\mid<\mid 1+ab\mid[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab<1+a^2b^2+2ab \Leftrightarrow a^2+b^2-1-a^2b^2<0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2(1-b^2)-(1-b^2)<0\Leftrightarrow (1-b^2)(a^2-1)<0[/TEX]luôn đúng

@MOD: Có người giải rồi nhé bạn

 

[bruceleehm]

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

3) Nguyên lí đồng bậc trong bất đẳng thức Cauchy:

Bài tập:
34) Cmr: $\sum \dfrac{a^{5}}{b^{3}}\ge \sum \dfrac{a^{4}}{b^{2}}$ \forall $a;b;c>0$
35) Cmr: $\sum \dfrac{a^{3}}{b^{3}}\ge \sum \dfrac{a^{2}}{b^{2}}$ \forall $a;b;c>0$

34)
Áp dụng AM-GM:
$2\dfrac{a^5}{b^3}+a^2=\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{a^5}{b^3}+a^2 \ge 3\dfrac{a^4}{b^2}$
\Rightarrow $2\sum \dfrac{a^5}{b^3}+\sum a^2 \ge 3\sum \dfrac{a^4}{b^2}$ $(1)$

Mà $\dfrac{a^4}{b^2}+b^2 \ge 2a^2$ (AM-GM)
\Rightarrow $\sum \dfrac{a^4}{b^2} \ge \sum a^2$ $(2)$

Trừ theo vế của 2 BĐT ngược chiều $(1);(2)$
\Rightarrow $\sum \dfrac{a^5}{b^3} \ge \sum \dfrac{a^4}{b^2}$ (đpcm)

35)
Ta đã c/m được bđt sau ở đầu của TOPIC
$a^3+b^3 \ge a^2b+ab^2$ (dùng tương đương)
\Rightarrow $\dfrac{a^3}{b^3}+1 \ge \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{a}{b}$ (chia 2 vế cho $b^3$)

\Rightarrow $\sum \dfrac{a^3}{b^3} + 3 \ge \sum \dfrac{a^2}{b^2}+ \sum \dfrac{a}{b}$

Mà theo AM-GM $ \sum \dfrac{a}{b} \ge 3$ nên ta có $ \sum \dfrac{a^3}{b^3} \ge \sum \dfrac{a^2}{b^2}$ (đpcm)

 

[bruceleehm]

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

3) Nguyên lí đồng bậc trong bất đẳng thức Cauchy:

Bài tập:

36) Cmr: $\sum \dfrac{a^{2}}{b^{5}}\ge \sum \dfrac{1}{a^{3}}$ \forall $a;b;c>0$
37) Cmr: $\sum \dfrac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\le \dfrac{1}{abc}$ \forall $a;b;c>0$

36)
Áp dụng Cauchy 5 số:
$\dfrac{a^{2}}{b^{5}}+\dfrac{a^{2}}{b^{5}}+\dfrac{a^{2}}{b^{5}}+\dfrac{1}{a^{3}}+\dfrac{1}{a^{3}}\ge 5.\dfrac{1}{b^{3}}$
Tương tự ...
\Rightarrow $3\sum \dfrac{a^{2}}{b^{5}}+2\sum \dfrac{1}{a^{3}}\ge \sum 5.\dfrac{1}{a^{3}}$
\Leftrightarrow $3\sum \dfrac{a^{2}}{b^{5}}\ge 3\sum \dfrac{1}{a^{3}}$
\Leftrightarrow $\sum \dfrac{a^{2}}{b^{5}}\ge \sum \dfrac{1}{a^{3}}$ (đpcm)

37) Khá quen thuộc với người yêu toán (USA MO)
Ta đã cm bđt sau ở đầu TOPIC
$a^3+b^3 \ge a^2b+ab^2=ab(a+b)$ (Dùng tương đương)

\Rightarrow $a^3+b^3+abc \ge ab(a+b+c)$
\Rightarrow $\dfrac{1}{a^3+b^3+abc} \le \dfrac{1}{ab(a+b+c)}$

\Rightarrow $\sum \dfrac{1}{a^3+b^3+abc} \le \sum \dfrac{1}{ab(a+b+c)} =\sum \dfrac{c}{abc(a+b+c)} = \dfrac{a+b+c}{abc(a+b+c)} = \dfrac{1}{abc}$

 

[viethoang1999]

Tiếp tục nào các bạn!!!

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

3) Nguyên lí đồng bậc trong bất đẳng thức Cauchy:

Bài tập: (bài tập làm rồi được tô màu đỏ)
38) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \dfrac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}\ge \dfrac{3}{4}$

39) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \dfrac{a^{3}}{b(2c+a)}\ge 1$

40) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^2+b^2+c^2=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \dfrac{a^3}{b+2c}\ge \dfrac{1}{3}$

41) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}\le \dfrac{3}{2}$

42) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \dfrac{1}{a(a+b)}\ge \dfrac{9}{2}$

43) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \dfrac{a}{(b+c)^2}\ge \dfrac{9}{4}$

 

[vipboycodon]

38)
Theo bdt AM-GM ta có:
$\dfrac{a^3}{(a+b)(a+c)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8} \ge \dfrac{3a}{4}$
=> $\dfrac{a^3}{(a+b)(a+c)} \ge \dfrac{4a-b-c}{8}$
=> $\sum\dfrac{a^3}{(a+b)(a+c)} \ge \dfrac{a+b+c}{4} = \dfrac{3}{4}$

 

[eye_smile]

39,$\dfrac{a^3}{b(2c+a)}+\dfrac{b}{3}+\dfrac{2c+a}{9} \ge a$

\Rightarrow $\sum \dfrac{a^3}{b(2c+a)} \ge a+b+c-\dfrac{a+b+c}{3}-\dfrac{3(a+b+c)}{9}=1$

40,$\dfrac{a^3}{b+2c}+\dfrac{a(b+2c)}{9} \ge 2.\dfrac{a^2}{3}$

\Rightarrow $\sum \dfrac{a^3}{b+2c} \ge \dfrac{2(a^2+b^2+c^2)-ab-bc-ca}{3} \ge \dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}=\dfrac{1}{3}$

 

[eye_smile]

41,$\dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}} \le \dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c})$

\Rightarrow $\sum \dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}} \le \dfrac{1}{2}.3=\dfrac{3}{2}$

 

[forum_]

43) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\
a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \dfrac{a}{(b+c)^2}\ge \dfrac{9}{4}$

Giải:

Từ $a+b+c=1$ suy ra $b+c=1-a$ ; $c+a=1-b$ ; $a+b=1-c$

Nên BĐT tương đương:

$\sum \dfrac{a}{(1-a)^2}$

Vì a,b,c > 0 nên ta c/m BĐT đúng sau:

$\dfrac{a}{(1-a)^2}$ \geq $\dfrac{9a}{2} - \dfrac{3}{4}$

Tương tự cộng lại ta có đpcm

 

[viethoang1999]

Giải:

Từ $a+b+c=1$ suy ra $b+c=1-a$ ; $c+a=1-b$ ; $a+b=1-c$

Nên BĐT tương đương:

$\sum \dfrac{a}{(1-a)^2}$

Vì a,b,c > 0 nên ta c/m BĐT đúng sau:

$\dfrac{a}{(1-a)^2}$ \geq $\dfrac{9a}{2} - \dfrac{3}{4}$

Tương tự cộng lại ta có đpcm

Phương pháp làm của bạn forum_ mình sẽ giới thiệu sau!
43)
Cách 2:
$\dfrac{a}{(b+c)^2}+\dfrac{9}{4}a \ge 3\dfrac{a}{b+c}$
\Rightarrow $\sum \dfrac{a}{(b+c)^2}+\sum \dfrac{9}{4}a \ge \sum 3\dfrac{a}{b+c} \ge 3.\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}$

(áp dụng BĐT Nesbit)

\Rightarrow $\sum \dfrac{a}{(b+c)^2} \ge \dfrac{9}{2}-\sum \dfrac{9}{4}a=\dfrac{9}{4}$

Cách chứng minh bđt Nesbit 3 biến:
$\sum \dfrac{a}{b+c}\ge \dfrac{3}{2}$
\Leftrightarrow $\sum \dfrac{a+b+c}{b+c}\ge \dfrac{9}{2}$
\Leftrightarrow $(a+b+c)\left (\sum \dfrac{1}{a+b}\right )\ge \dfrac{9}{2}$
\Leftrightarrow $[(a+b)+(b+c)+(c+a)]\sum \dfrac{1}{a+b}\ge 9$ (Luôn đúng, cách chứng minh BĐT cuối này là AM-GM 2 lần 3 số)

Tiếp tục nào các bạn!!!

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

3) Nguyên lí đồng bậc trong bất đẳng thức Cauchy:

Bài tập: (bài tập làm rồi được tô màu đỏ)

42) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \dfrac{1}{a(a+b)}\ge \dfrac{9}{2}$

42)

$\sum \dfrac{1}{a(a+b)}\ge \dfrac{9}{2}$\Leftrightarrow $\sum \dfrac{ab+bc+ca}{a(a+b)}\ge \dfrac{9}{2}$
\Leftrightarrow $\sum \dfrac{a}{b}+\sum \dfrac{a}{a+c}\ge \dfrac{9}{2}$
\Leftrightarrow $\sum \left (\dfrac{a}{b}+1\right )+\sum \dfrac{a}{a+c}\ge \dfrac{15}{2}$
\Leftrightarrow $\sum \dfrac{c+a}{4a}+\sum \dfrac{a}{a+c}+\dfrac{3}{4}\sum \dfrac{a+b}{b}\ge \dfrac{15}{2}$ (*)
Áp dụng liên tiếp AM-GM:
$\dfrac{c+a}{4a}+\dfrac{a}{a+c}\ge 1$
\Rightarrow $\sum \dfrac{c+a}{4a}+\sum \dfrac{a}{a+c}\ge 3$
\Rightarrow $\sum \dfrac{c+a}{4a}+\sum \dfrac{a}{a+c}+\dfrac{3}{4}\sum \dfrac{a+b}{b}\ge 3+\dfrac{3}{4}\sum \dfrac{a+b}{b}=3+\dfrac{3}{4}\left (3+\sum \dfrac{a}{b} \right ) \ge 3+\dfrac{3}{4}(3+3)=3+\dfrac{9}{2}=\dfrac{15}{2}$
Vậy (*) được CM

 

[viethoang1999]

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

3) Nguyên lí đồng bậc trong bất đẳng thức Cauchy:

Bài tập: (bài tập làm rồi được tô màu đỏ)

44) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \dfrac{bc}{\sqrt{a+bc}}\le \dfrac{1}{2}$

45) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \dfrac{a^3}{(1+b)(1+c)}\ge \dfrac{3}{4}$

46) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \dfrac{1}{a^3(b+c)}\ge \dfrac{3}{2}$

47) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^2+b^2+c^2=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \dfrac{ab}{c}\ge 3$

48) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \dfrac{ab}{a^5+b^5+ab}\le 1$

49) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ abc=8 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \dfrac{1}{\sqrt{1+a^3}}\ge 1$

 

[eye_smile]

44,$\dfrac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\dfrac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}} \le \dfrac{1}{2}(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c})$

\Rightarrow $\sum \dfrac{bc}{\sqrt{a+bc}} \le \dfrac{1}{2}.(a+b+c)=\dfrac{1}{2}$

45,$\dfrac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\dfrac{1+b}{8}+\dfrac{1+c}{8} \ge \dfrac{3a}{4}$

\Rightarrow $\sum \dfrac{a^3}{(1+b)(1+c)} \ge \dfrac{2(a+b+c)-3}{4} \ge \dfrac{3}{4}$

 

[eye_smile]

46,$\sum \dfrac{1}{a^3(b+c)} \ge \dfrac{1}{2}(ab+bc+ca) \ge \dfrac{3}{2}$

48,$\sum \dfrac{ab}{a^5+b^5+ab} \le \sum \dfrac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}=\sum \dfrac{c}{a+b+c}=1$

49,$\sum \dfrac{1}{\sqrt{1+a^3}} \ge \sum \dfrac{2}{a^2+2}$

Cần cm:$\sum \dfrac{1}{a^2+2} \ge \dfrac{1}{2}$

\Leftrightarrow $4(a^2+b^2+c^2)+16 \ge a^2b^2c^2=64$

BĐT trên đúng do $4(a^2+b^2+c^2)+16 \ge 4.3\sqrt[3]{8^2}+16=64$

\Rightarrow đpcm

p.s:Còn mấy bài nữa ấy)

Nếu mai chưa ai giải thì t sẽ làm nốt

 

[viethoang1999]

46,$\sum \dfrac{1}{a^3(b+c)} \ge \dfrac{1}{2}(ab+bc+ca) \ge \dfrac{3}{2}$

48,$\sum \dfrac{ab}{a^5+b^5+ab} \le \sum \dfrac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}=\sum \dfrac{c}{a+b+c}=1$

49,$\sum \dfrac{1}{\sqrt{1+a^3}} \ge \sum \dfrac{2}{a^2+2}$

Cần cm:$\sum \dfrac{1}{a^2+2} \ge \dfrac{1}{2}$

\Leftrightarrow $4(a^2+b^2+c^2)+16 \ge a^2b^2c^2=64$

BĐT trên đúng do $4(a^2+b^2+c^2)+16 \ge 4.3\sqrt[3]{8^2}+16=64$

\Rightarrow đpcm

p.s:Còn mấy bài nữa ấy)

Nếu mai chưa ai giải thì t sẽ làm nốt

Làm tiếp đi nào, mà rõ ra tí đi, tắt quá @-)@-)@-)@-)
Mình trình bày rõ bài giải của eye_smile để mọi người hiểu /
46) Với $abc=1$, áp dụng liên tiếp Cauchy Schwarz; AM-GM ta có:
$\sum \dfrac{1}{a^3(b+c)}=\sum \dfrac{a^2b^2c^2}{a^3(b+c)}=\sum \dfrac{b^2c^2}{a(b+c)}\ge \dfrac{(\sum ab)^2}{2\sum ab}=\dfrac{\sum ab}{2}\ge \dfrac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2}=\dfrac{3}{2}$

48)
Ta c/m BĐT phụ $a^5+b^5 \ge a^2b^2(a+b)$ với $a, b > 0$

(C/m tương đương) $a^5+b^5 \ge a^2b^2(a+b)$ \Leftrightarrow $a^5-a^3b^2+b^5-a^2b^3 \ge 0$ \Leftrightarrow $(a^3-b^3)(a^2-b^2) \ge 0$ \Leftrightarrow $(a-b)^2(a+b)(a^2+ab+b^2) \ge 0$ (luôn đúng do a, b > 0)

Khi đó: $\dfrac{ab}{a^5+b^5+ab} \le \dfrac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}=\dfrac{1}{ab(a+b)+1}= \dfrac{1}{ab(a+b+c)}$
Tương tự cộng lại quy đồng!
49)
AM-GM ta có:
$\sqrt{1+a^3}=\sqrt{(1+a)(a^2-a+1)}\le \dfrac{a^2+2}{2}$
\Leftrightarrow $\dfrac{1}{\sqrt{1+a^3}}\ge \dfrac{2}{a^2+2}$
Rồi làm tiếp như bạn eye_smile
Cách 2 để c/m bđt phụ của eye_smile
Đặt $a=\dfrac{2yz}{x^2},b=\dfrac{2xz}{y^2},c=\dfrac{2xy}{z^2}$
\Rightarrow $\sum \dfrac{1}{a^2+2}=\sum \dfrac{1}{\left ( \dfrac{2yz}{x^2} \right )^2+2}=\sum \dfrac{x^4}{2x^4+4y^2z^2}\ge \dfrac{(\sum x^2)^2}{2(\sum x^4+2\sum y^2z^2}=\dfrac{(\sum x^2)^2}{2(\sum x^2)^2}=\dfrac{1}{2}$

 

[viethoang1999]

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

3) Nguyên lí đồng bậc trong bất đẳng thức Cauchy:

Bài tập: (bài tập làm rồi được tô màu đỏ)



47) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^2+b^2+c^2=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \dfrac{ab}{c}\ge 3$

Giải luôn 47 nha, hơi khác, bạn nào có cách khác thì post lên.
BDT: $\sum \dfrac{ab}{c}\ge 3$\Leftrightarrow $\sum \dfrac{a^2b^2}{c^2}+2\sum a^2\ge 9=3\sum a^2$ (Bình phương 2 vế)
\Leftrightarrow $\sum \dfrac{a^2b^2}{c^2}\ge \sum a^2$
Đồng bậc quen thuộc rồi.
AM-GM có $\dfrac{a^2b^2}{c^2}+\dfrac{b^2c^2}{a^2}\ge 2\sqrt{b^4}=2b^2$
Tương tự ta có đpcm.

 

[viethoang1999]

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

3) Nguyên lí đồng bậc trong bất đẳng thức Cauchy:

Bài tập: (bài tập làm rồi được tô màu đỏ)

50) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \dfrac{1}{a+bc}\ge \dfrac{27}{4}$

51) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^3c+b^3a+c^3b=abc & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \dfrac{b}{a^2+ab}\ge \dfrac{9}{2}$

52) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \dfrac{ab}{a+b+2c}\le \dfrac{\sum a}{4}$

53) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \dfrac{ab}{a+3b+2c}\le \dfrac{\sum a}{6}$

 

[demon311]

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

3) Nguyên lí đồng bậc trong bất đẳng thức Cauchy:

Bài tập: (bài tập làm rồi được tô màu đỏ)

50) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \dfrac{1}{a+bc}\ge \dfrac{27}{4}$

50)

$ab+ac+bc \le \dfrac{ 1}{3}(a+b+c)^2=\dfrac{ 1}{3}$
\Rightarrow $\sum \dfrac{1}{a+bc}\ge \dfrac{ 9}{a+b+c+ab+ac+bc} \ge \dfrac{ 9}{1+\dfrac{ 1}{3}}=\dfrac{ 27}{4}$

 

[vipboycodon]

52.
$\dfrac{ab}{a+b+2c} = \dfrac{ab}{a+c+b+c} \le \dfrac{1}{4}(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c})$
=> $\sum \dfrac{ab}{a+b+2c} \le \dfrac{\sum a}{4}$

 

[thcshoaison98]

51) [TEX]a^3.b+b^3.a+c^3.a=abc\Leftrightarrow\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} =1[/TEX]
và: [TEX]\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a}\geq\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}\ =a+b+c[/TEX]
do đó:
[TEX]\sum \frac{b}{a^2+ab}\ = \sum \frac{1}{\frac{a^2}{b}+a}\geq\frac{9}{\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c}\geq\frac{9}{2}[/TEX]

 

[bruceleehm]

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

3) Nguyên lí đồng bậc trong bất đẳng thức Cauchy:

Bài tập: (bài tập làm rồi được tô màu đỏ)


53) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \dfrac{ab}{a+3b+2c}\le \dfrac{\sum a}{6}$

53)
$\sum \dfrac{ab}{a+3b+2c}=\sum \dfrac{ab}{(c+b)+(c+a)+2b}\le \dfrac{1}{9} \left ( \sum \dfrac{ab}{c+b}+\sum \dfrac{ab}{a+c}+\sum \dfrac{ab}{2b} \right ) = \dfrac{1}{9} \left ( \sum \dfrac{ab}{c+b}+\sum \dfrac{ac}{c+b}+\sum \dfrac{a}{2} \right )$
$=\dfrac{\sum a}{6}$