[Chuyên đề] Toán chia hết

[hieu12061998]

tui cũng có một bài toan đây:
C/m rằng [TEX]n3 - n \vdots 6 \forall n \in N[/tex]

 

[green_tran]

tui cũng có một bài toán đây:
c/m rằng [TEX]n^3[/TEX] - n : 6 \forall n
@-):-SS:-*

Bài này chỉ cần thêm bớt 2n^2 và trừ 2n thêm n là ra

 

[harrypham]

Bài toán này cổ quá!
[TEX]n^3-n=(n-1)n(n+1)[/TEX] hiển nhiên chia hết cho 6.

 

[vansang02121998]

Ở box này có một đống người giỏi nên bài này khó mà qua mặt được nhưng tui cứ cho thử:
[tex]n^3.(n^2-7)^2-36n \vdots 5040[/tex]

 

[harrypham]

Ở box này có một đống người giỏi nên bài này khó mà qua mặt được nhưng tui cứ cho thử:
[tex]n^3.(n^2-7)^2-36n \vdots 5040[/tex]

Phân tích [TEX]5040=5.2^4.7.3^2[/TEX].
Cứ làm từ từ sẽ chắc chắn hơn.
Ta chứng minh [tex]A=n^3.(n^2-7)^2-36n \vdots 5040[/tex] chia hết cho [TEX]5,2^4,7,3^2[/TEX].

Ví dụ: Chứng minh A chia hết cho [TEX]9[/TEX].
Nhận thấy hiển nhiên [TEX]36n \vdots 9[/TEX], cần chứng minh [TEX]n^3(n^2-7)^2 \vdots 9[/TEX].
Thật vậy, xét.
+ [TEX]n=3k \Rightarrow n^3 \vdots 9 \rightarrow n^3(n^2-7)^2 \vdots 9[/TEX].
+ [TEX]n=3k \pm 1 \Rightarrow n^2 \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow n^2-7 \vdots 3 \Rightarrow (n^2-7) \vdots 9 \Rightarrow n^3(n^2-7)^2 \vdots 9[/TEX].

Ở box này có một đống người giỏi nên bài này khó mà qua mặt được nhưng tui cứ cho thử:
[tex]n^3.(n^2-7)^2-36n \vdots 5040[/tex]

Một cách dễ dàng hơn thì ta phân tích [TEX]n^3(n^2-7)^2-36n=n \left( n-1 \right) \left( n-2 \right) \left( n-3 \right) \left( n+3 \right) \left( n+2 \right) \left( n+1 \right) [/TEX].

 

[braga]

Mình cũng góp 1 bài:
a, Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho [TEX]2^{n}-1 \vdots 7[/TEX]

b, Có hay không số nguyên dương n sao cho [TEX]2^n+1 \vdots 7[/TEX]

 

[harrypham]

Mình cũng góp 1 bài:
a, Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho [TEX]2^{n}-1 \vdots 7[/TEX]

b, Có hay không số nguyên dương n sao cho [TEX]2^n+1 \vdots 7[/TEX]

Bài này không hẳn là khó (cũng nhớ là nó có trong đề IMO năm mấy thì phải).

a, Xét
+ [TEX]n \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow 2^n=2^{3k}=8^{k} \equiv 1 \pmod{7}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 8^k-1 \equiv 0 \pmod{7}[/TEX].

+ [TEX]n \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow 2^n=2^{3k+1} =8^k.2 \equiv 2 \pmod{7}[/TEX].
TH này loại.

+ [TEX]n \equiv 2 \pmod{3} \Rightarrow 2^n=2^{3k+2}=8^k.4 \equiv 1 \pmod{7}[/TEX].
TH này cũng loại.

b, Tương tự xét các trường hợp như câu a.

 

[luffy_1998]

chứng minh: (x+y+z)^3-(x+y-z)^3-(x+z-y)^3-(y+z-x)^3 chia hết cho 24 với mọi x,y,z nguyên

 

[hero_boy_kiet]

toi chua biet lam bai nay toican phain hoc hoi them hihihi

 

[hero_boy_kiet]

(x+y+z)^3-(x+y-z)^3-(x+z-y)^3-(y+z-x)^3 chia hết cho 24 với mọi x,y,z nguyên ai làm được cho 10 điểm

 

[hero_boy_kiet]

+
.

+ .
TH này loại.

+ .
TH này cũng loại.

b, Tương tự xét các trường hợp như câu a cho lời cảm ơn nhé

 

[hero_boy_kiet]

a, Xét
+

.

+ .
TH này loại.

+ .
TH này cũng loại.

 

[hero_boy_kiet]

+
.

+ .
TH này loại.

+ .
TH này cũng loại.98492547981742567292.dqwsdesdadasdsa

 

[harrypham]

(x+y+z)^3-(x+y-z)^3-(x+z-y)^3-(y+z-x)^3 chia hết cho 24 với mọi x,y,z nguyên ai làm được cho 10 điểm

Phân tích ra thì ta thấy [TEX](x+y+z)^3-(x+y-z)^3-(x+z-y)^3-(y+z-x)^3=24xyz[/TEX].

 

[ph2k11]

Một số bài nâng cao về toán chia hết:
1. Cho x,y thuộc Z. C/m:
a) [TEX]x^3[/TEX] y - x [TEX]y^3[/TEX] chia hết 6
b) [TEX]x^5[/TEX] y - x [TEX]y^5[/TEX] chia hết 30
2. Cho n thuộc N. C/m
a) [TEX]3^n-1[/TEX] + 33 chia hết 17
b) 7 [TEX]5^2n[/TEX] +12 [TEX]6^n[/TEX] chia hết 19
c) [TEX]6^2n[/TEX] +[TEX]3^n+2[/TEX] + [TEX]3^n[/TEX] chia hết 11
d) 2 [TEX]52^n[/TEX] - [TEX]18^n[/TEX] - [TEX]35^n[/TEX] chia hết 17
e) [TEX]11^n+2[/TEX] + [TEX]12^2n+1[/TEX] chia hết 133
f) [TEX]2903^n[/TEX] - [TEX]803^n[/TEX] - [TEX]464^n[/TEX] + [TEX]261^n[/TEX] chia hết 1897
g) [TEX]46^n[/TEX] + 296. [TEX]13^n[/TEX] chia hết 1947 với n là số lẻ
h) [TEX]20^n[/TEX] + [TEX]16^n[/TEX] - [TEX]3^n[/TEX] -1 chia hết 323 với n là số chẵn
i)* [TEX]3^2^4n+1[/TEX] +2 chia hết cho 11
3.C/m
a) [TEX]3^105[/TEX] + [TEX]4^105[/TEX] chia het 13
b) [TEX]3^2003[/TEX] -9 chia hết 13
c) [TEX]2222^5555[/TEX] + [TEX]5555^2222[/TEX] chia hết 7
4. Cho n thuộc N. C/m
a) [TEX]16^n[/TEX] - 15n -1 chia hết cho 225
b) [TEX]3^3n+3[/TEX] -26n -27 chia hết cho 169
c) 4 [TEX]3^2n+3[/TEX] + 32n - 36 chia hết cho 64
5. C/m
a)nếu số nguyên n >1 ta có:
[TEX]n^n[/TEX] + [TEX]5n^2[/TEX] -11n +5 chia hết cho [TEX](n -1)^2[/TEX]
b) n thuộc N* thì:
[TEX]2^3^n[/TEX] +1 chia hết cho [TEX]3^n[/TEX]
c) cho n > 3 ( n thuộc N). C/m nếu [TEX]2^n[/TEX] = 10a + b
thì ab chia hết cho 6
Bài cuối:
C/m nếu x,y,z là các số nguyên thỏa mãn:
(100x+10y+z) chia hết cho 21 thì (x-2y+4x) chia hết cho 21
Ai rảnh cùng mình làm nha'

 

[lionelmessivan]

bài 1:
a) ta có:x^3y-xy^3=x^3y-xy+xy-xy^3
=y(x^3-x)-x(y^3-y)
ta lại có: x^3-x=(x-1)x(x+1) chia hết cho 6
y^3-y=(y-1)y(y+1) .....................
\Rightarrowy(x^3-x)-x(y^3-y) chia hết cho 6
vậy x^3y-xy^3 chia hết cho 6
b)làm gần tương tự ý a\\/\\/\\/\\/\\/\\/\\/\\/\\/\\/\\/\\/

 

[harrypham]

Một số bài nâng cao về toán chia hết:
1. Cho x,y thuộc Z. C/m:
a) [TEX]x^3[/TEX] y - x [TEX]y^3[/TEX] chia hết 6
b) [TEX]x^5[/TEX] y - x [TEX]y^5[/TEX] chia hết 30
2. Cho n thuộc N. C/m
a) [TEX]3^n-1[/TEX] + 33 chia hết 17
b) 7 [TEX]5^2n[/TEX] +12 [TEX]6^n[/TEX] chia hết 19
c) [TEX]6^2n[/TEX] +[TEX]3^n+2[/TEX] + [TEX]3^n[/TEX] chia hết 11
d) 2 [TEX]52^n[/TEX] - [TEX]18^n[/TEX] - [TEX]35^n[/TEX] chia hết 17
e) [TEX]11^n+2[/TEX] + [TEX]12^2n+1[/TEX] chia hết 133
f) [TEX]2903^n[/TEX] - [TEX]803^n[/TEX] - [TEX]464^n[/TEX] + [TEX]261^n[/TEX] chia hết 1897
g) [TEX]46^n[/TEX] + 296. [TEX]13^n[/TEX] chia hết 1947 với n là số lẻ
h) [TEX]20^n[/TEX] + [TEX]16^n[/TEX] - [TEX]3^n[/TEX] -1 chia hết 323 với n là số chẵn
i)* [TEX]3^2^4n+1[/TEX] +2 chia hết cho 11
3.C/m
a) [TEX]3^105[/TEX] + [TEX]4^105[/TEX] chia het 13
b) [TEX]3^2003[/TEX] -9 chia hết 13
c) [TEX]2222^5555[/TEX] + [TEX]5555^2222[/TEX] chia hết 7
4. Cho n thuộc N. C/m
a) [TEX]16^n[/TEX] - 15n -1 chia hết cho 225
b) [TEX]3^3n+3[/TEX] -26n -27 chia hết cho 169
c) 4 [TEX]3^2n+3[/TEX] + 32n - 36 chia hết cho 64
5. C/m
a)nếu số nguyên n >1 ta có:
[TEX]n^n[/TEX] + [TEX]5n^2[/TEX] -11n +5 chia hết cho [TEX](n -1)^2[/TEX]
b) n thuộc N* thì:
[TEX]2^3^n[/TEX] +1 chia hết cho [TEX]3^n[/TEX]
c) cho n > 3 ( n thuộc N). C/m nếu [TEX]2^n[/TEX] = 10a + b
thì ab chia hết cho 6
Bài cuối:
C/m nếu x,y,z là các số nguyên thỏa mãn:
(100x+10y+z) chia hết cho 21 thì (x-2y+4x) chia hết cho 21
Ai rảnh cùng mình làm nha'

Trước khi đưa ra các bài toán thì đề nghị bạn xem lại những trang trước của topic, hầu hết đã được đưa lên.

 

[harrypham]

Bài 1.

a) [TEX]x^3y-xy^3=y(x^3-x)-x(y^3-y)[/TEX]
Ta cần cm [TEX]a^3-a \vdots 6[/TEX], như vậy [TEX]a^3-a=a(a-1)(a+1)[/TEX] là 3 số nguyên liên tiếp nên chúng chia hết cho 6.
Do đó [TEX]A=x^3y-xy^3=y(x^3-x)-x(y^3-y)[/TEX] chia hết cho 6.

b) [TEX]x^5y-xy^5=y(x^5-x)-x(y^5-y)[/TEX]
Ta cần cm [TEX]a^5-a \vdots 30[/TEX]
Phân tích [TEX]a^5-a=a(a-1)(a+1)(a^2+1)[/TEX]
Hiển nhiên [TEX]a(a-1)(a+1)[/TEX] chia hết cho 6.
Ta chỉ cần cm [TEX]a^5-a[/TEX] chia hết cho 5, bằng cách xét số dư của a khi chia cho 5.
Ta có đpcm.

 

[zhoang999z]

cac anh lam cho em voi nka

C/M
2222^5555+5555^2222 chia het cho 7 \Rightarrow lam giup em di

 

[nhockute2012vn]

Bài 7:cho:
[TEX]A=1^k+2^k+...+n^k[/TEX]
[TEX]B=1+2+...+n[/TEX]
CMR:[TEX]A \vdots B[/TEX] với k lẻ .