[Chuyên đề] Toán chia hết

[hoa_giot_tuyet]

Kéo pic

Cho mấy bài số nguyên tố và hợp số, nó cũng sử dụng chia hết để biện luận.

1. Chứng minh với mọi n thuộc N thì [TEX]A = 19.8^n + 17[/TEX] là hợp số

2. Chứng minh rằng nếu b là số nguyên tố khác 3 thì [TEX]A = 3n+2+1993b^2[/TEX] là hợp số với \forall n [TEX]\in[/TEX] N

3. Tìm n nguyên dương để [TEX]n^4+4[/TEX] là hợp số

4. Tìm số nguyên tố b sao cho b+6,b+14,b+12,b+8 đều nguyên tố

 

[quynhnhung81]

Kéo pic

Cho mấy bài số nguyên tố và hợp số, nó cũng sử dụng chia hết để biện luận.

1. Chứng minh với mọi n thuộc N thì [TEX]A = 19.8^n + 17[/TEX] là hợp số

2. Chứng minh rằng nếu b là số nguyên tố khác 3 thì [TEX]A = 3n+2+1993b^2[/TEX] là hợp số với \forall n [TEX]\in[/TEX] N

3. Tìm n nguyên dương để [TEX]n^4+4[/TEX] là hợp số

4. Tìm số nguyên tố b sao cho b+6,b+14,b+12,b+8 đều nguyên tố

Bài 1: đang mò
Bài 2: Với b <3 \Leftrightarrow b=2 thì A là hợp số
Với b> 3 thì b có dạng 6k+1 hoặc 6k+5, thay vào là ra
Bài 3: ĐS: n=1
Với n>1 thì phân tích thành nhân tử rồi chứng minh
Bài 4: Lần lượt thử b ta thấy b=5 thoả mãn, rồi chứng minh b>5 thì b+6,b+14,b+12,b+8 đều hợp số

 

[congchuahht]

Bài 3: ĐS: n=1
Với n>1 thì phân tích thành nhân tử rồi chứng minh

Nhung ơi sai đề rồi
nếu ĐS n=1\Rightarrow[TEX]n^4+4=5[/TEX](là số nguyên tố)
mà đề là tìm n để số đó là hợp số mà coi lại nha
Ý cho spam tí " Chúc mừng sinh nhật HOa giọt tuyết nha"

 

[thienlong_cuong]

Kéo pic

Cho mấy bài số nguyên tố và hợp số, nó cũng sử dụng chia hết để biện luận.

1. Chứng minh với mọi n thuộc N thì [TEX]A = 19.8^n + 17[/TEX] là hợp số

2. Chứng minh rằng nếu b là số nguyên tố khác 3 thì [TEX]A = 3n+2+1993b^2[/TEX] là hợp số với \forall n [TEX]\in[/TEX] N

3. Tìm n nguyên dương để [TEX]n^4+4[/TEX] là hợp số

4. Tìm số nguyên tố b sao cho b+6,b+14,b+12,b+8 đều nguyên tố

Câu 4
Khả năng 1 số là số nguyên tố chỉ xảy ra \Leftrightarrow só đó tận cùng là 1 ; 3 ; 7 ;9 \Leftrightarrow số b kết thúc tận cùng là 5 để thoả mãn cho tất cả các tổng
b +6 ; b + 8 ; b + 12 ; b + 17 có các chữ số tận cùng thuộc 1 ; 3 ;7 ;9
Vậy thì với 1 số tận cùng là 5 và lớn hơn 5 thì số đó là hợp số
\Rightarrow Chỉ còn lại là số 5


P/S : 19 -5 phải mù ! Chúc trước nó "siu" , nó lên "mốc + meo" đó ! ha ha ha ha hah ************aa

Cao tay cao tay =))

 

[hoa_giot_tuyet]

Gợi ý bài 1

Xét 3 trướng hợp n chẵn, n chia 4 dư 1 và n chia 4 dư 3

_n chẵn thì c/m A chia hết cho 3
_ n chia 4 dư 1 thì c/m A chai hết cho 13
_n chia 4 dư 3 thì c/m A chia hết cho 5

 

[ngocanh_181]

Gợi ý bài 1

Xét 3 trướng hợp n chẵn, n chia 4 dư 1 và n chia 4 dư 3

_n chẵn thì c/m A chia hết cho 3
_ n chia 4 dư 1 thì c/m A chai hết cho 13
_n chia 4 dư 3 thì c/m A chia hết cho 5

Mình làm thử /
Nếu n = 2k , thì
[TEX]19.8^{2k} + 17 = 18.8^{2k} + (1+63)^k +(18-1) \equiv 0[/TEX](mod 3)
Nếu n = 4k + 1, thì
[TEX]19.8^{4k+1} + 17 = 13.8^{4k+1} + 6.8.64^{2k} + 17 [/TEX]= [TEX]13.8^{4k+1}+ 39.64^{2k} + 9(1-65)^{2k} + (13+4) \equiv 0 [/TEX](mod 13)
Nếu n = 4k +3, thì
[TEX]19.8^{4k+3} + 17 = 15.8^{4k+3} + 4.83.64^{2k}+ 17[/TEX]
[TEX]= 15.8^{4k+3} + 4.510.64^{2k} + 4.2.(1-65)^{2k} + (25-8) \equiv 0 [/TEX](mod 5)
\Rightarrow đpcm |-)
a t bảo t làm z ......sai mấy bại thông cảm !

 

[hoa_giot_tuyet]

Mình làm thử /
Nếu n = 2k , thì
[TEX]19.8^{2k} + 17 = 18.8^{2k} + (1+63)^k +(18-1) \equiv 0[/TEX]
Nếu n = 4k + 1, thì
[TEX]19.8^{4k}+1 + 17 = 13.8^4k+1 + 6.8.64^{2k} + 17 [/TEX]= [TEX]13.8^{4k}+1+ 39.64^{2k} + 9(1-65)^{2k} + (13+4) \equiv 0 [/TEX]
Nếu n = 4k +3, thì
[TEX]19.8^{4k}+3 + 17 = 15.8^{4k}+3 + 4.83.64^{2k}+ 17[/TEX]
[TEX]= 15.8^{4k}+3 + 4.510.64^{2k} + 4.2.(1-65)^{2k} + (25-8) \equiv 0 [/TEX]
\Rightarrow đpcm |-)
a t bảo t làm z ......sai mấy bại thông cảm !

Sai [TEX]8^n[/TEX] nếu [TEX]n = 4k +1 [/TEX]sao bạn lại chuyển thành [TEX]8^{4k} + 1[/TEX] b-(

Mà đồng dư 0 là sao bạn, phải dư 0 khi chia cho mấy chứ :|

 

[ngocanh_181]

Sai [TEX]8^n[/TEX] nếu [TEX]n = 4k +1 [/TEX]sao bạn lại chuyển thành [TEX]8^{4k} + 1[/TEX] b-(

Mà đồng dư 0 là sao bạn, phải dư 0 khi chia cho mấy chứ :|

Sr cai' côg thức @-) t sửa lại r`
Mà bài này mình cug~ hEm ro~ U thông cảm nhe'

 

[hoa_giot_tuyet]

Chứng minh

[TEX]3^{2n+3} + 40n - 27 \ \vdots \ 64[/TEX]

--------------------------------------------------------------

 

[quynhnhung81]

Chứng minh

[TEX]3^{2n+3} + 40n - 27 \ \vdots \ 64[/TEX]

--------------------------------------------------------------

Giải ra rồi, tiếc là trong bài ko... (

[TEX]A=3^{2n+3} + 40n - 27 [/TEX]

[TEX]=(3^{2n+3}-27)+40n[/TEX]

[TEX]=3^3.(9-1)(9^{n-1}+9^{n-2}+...+1)+5.8n[/TEX]

[TEX]=3^3.8[(8+1)^{n-1}+(8+1)^{n-2}+...+1)+5.8n[/TEX]

[TEX]=3^3.8(BS8+n)+5.8n[/TEX]

[TEX]=8(BS8+32n) [/TEX]

Ta thấy [TEX]BS8+32n \ \vdots \ 8[/TEX]

\Rightarrow [TEX]=8(BS8+32n) \ \vdots \ 64 [/TEX]

\Rightarrow dpcm

 

[harrypham]

Cho [TEX]x^2+y^2=z^2[/TEX]
Cmr [TEX]xyz[/TEX] chia hết cho 60.
---------------------------/

 

[thienlong_cuong]

Cho [TEX]x^2+y^2=z^2[/TEX]
Cmr [TEX]xyz[/TEX] chia hết cho 60.
---------------------------/

bài này satthucaonguyen pro chập mạch đã từng post
Dựa vào tính chất chia hết 3 , 4 , 5 là sẽ ok
[TEX]x^2[/TEX] chia 3 dư 1 hoạc 0
[TEX]y^2[/TEX] chia 3 dư 1 hoặc 0
[TEX]z^2[/TEX] chia 3 dư 1 hoặc 0
mà [TEX]x^2 + y^2 = z^2[/TEX] \Rightarrow trong 3 số x , y , z luôn tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 3 (*)

Xét với 4 tương tự (*)(*)

Với 5 thì hơi dài 1 tý
[TEX]x^2[/TEX] chia 5 dư 0 , 1 , 4
[TEX]y^2[/TEX] chia 5 dư 0 , 1 , 4
[TEX]z^2[/TEX] chia 5 due 0 , 1 , 4
Mà [TEX]x^2 + y^2 = z^2[/TEX] \Rightarrow trong 3 số x , y , z luôn tồn tại 1 số chia hết 5 (*)(*)(*)

Từ (*) ; (*)(*) ; (*)(*)(*) \Rightarrow xyz chia hết 60 0h my god !~

 

[thanhthao255]

Các bạn ơi cùng giải bài này hộ mình nhé!

tìm đa thức dư của phép chia:
(x^51+x^50+....+x^2+x+1)cho (x^16+x^15+...+x^2+x+1)

 

[karikno1]

Các bạn ơi cùng giải bài này hộ mình nhé!

tìm đa thức dư của phép chia:
(x^51+x^50+....+x^2+x+1)cho (x^16+x^15+...+x^2+x+1)

làm tip nha
a)

chia hết cho 6
b)

chia hết cho 30
x,y thuộc Z nhaz sr

 

[harrypham]

làm tip nha
a)

chia hết cho 6
b)

chia hết cho 30
x,y thuộc Z nhaz sr

Vừa mới tìm được lời giải
a) [TEX]x^3y-xy^3=y(x^3-x)-x(y^3-y)[/TEX]
Ta cần cm [TEX]a^3-a \vdots 6[/TEX], như vậy [TEX]a^3-a=a(a-1)(a+1)[/TEX] là 3 số nguyên liên tiếp nên chúng chia hết cho 6.
Do đó [TEX]A=x^3y-xy^3=y(x^3-x)-x(y^3-y)[/TEX] chia hết cho 6.

b) [TEX]x^5y-xy^5=y(x^5-x)-x(y^5-y)[/TEX]
Ta cần cm [TEX]a^5-a \vdots 30[/TEX]
Phân tích [TEX]a^5-a=a(a-1)(a+1)(a^2+1)[/TEX]
Hiển nhiên [TEX]a(a-1)(a+1)[/TEX] chia hết cho 6.
Ta chỉ cần cm [TEX]a^5-a[/TEX] chia hết cho 5, bằng cách xét số dư của a khi chia cho 5.
Ta có đpcm.

 

[harrypham]

CMR [tex](a+b+c)^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3}\; | \; (a+b+c)^{333}-a^{333}-b^{333}-c^{333}[/tex]

 

[nhimcon_cute]

a cộng b tất cả bình bằng a bình cộng hai a nhân b cộng b bình nên a bình, b bình chia hểt cho 3 nên a, b chia hết cho 3
với câu b, chứng minh tương tự nha

 

[harrypham]

cho thêm mí bài nữa nì
Chứng minh với mọi n nguyên dương thì
b) [TEX](9^{n+1}-8n-9 \vdots 64[/TEX]

p/s:Mình nghĩ bài của hoa_giot_tuyet phải có thêm điều kiện n lẽ

Đang rảnh, chứng minh quy nạp câu này cho hay.

+ n=1 thì [TEX](9^{n+1}-8n-9)=64 \vdots 64[/TEX], đúng.

+ Gỉa sử bài toán đúng đến [TEX]n=k[/TEX], tức [TEX](9^{k+1}-8n-9) \vdots 64[/TEX].
Bây giờ ta cm bài toán đúng với [TEX]n=k+1[/TEX].
Tức [TEX](9^{k+2}-8k-8-9) \vdots 64[/TEX]

Thật vậy, [TEX]9^{k+2}-8k-8-9= 9(9^{k+1}-8k-9)+64k+64 \vdots 64[/TEX].

Vậy với mọi n nguyên dương thì [TEX]9^{n+1}-8n-9 \vdots 64[/TEX].

 

[harrypham]

Chứng minh

[TEX]3^{2n+3} + 40n - 27 \ \vdots \ 64[/TEX]

--------------------------------------------------------------

quynhnhung81 đã cm bài toán bằng pp phân tích thành nhân tử, xin cm bài toán bằng quy nạp.

Với [TEX]n=1 \Rightarrow 3^{2n+3} + 40n - 27=256 \vdots 64.[/TEX]

Gỉa sử bài toán đúng đến [TEX]n=k[/TEX], tức [TEX]3^{2k+3}+40k-27 \vdots 64[/TEX].

Ta cm bài toán đúng với [TEX]n=k+1[/TEX], tức [TEX]3^{2k+2+3}+40k+40-27 \vdots 64[/TEX].

Thật vậy [TEX]3^{2k+2+3}+40k+40-27= 3^2(3^{2k+3}+40k-27)-320k+256 \vdots 64[/TEX].

Vậy [TEX]3^{2n+3} + 40n - 27 \ \vdots \ 64[/TEX].

CM chỉ đúng với n là số nguyên dương.

 

[harrypham]

Xin lỗi vì mở đầu pic hơi khó Ai giải jùm bài 5 luôn đi
Cho mấy bài dễ nè
Bài 1: Chứng minh [TEX]a(a^6-1)[/TEX] chia hết cho 7
Bài 2. Chứng minh nếu tổng 3 số nguyên chia hết cho 6 thì tổng các lập phương cũng chia hết cho 6
Bài 3. [TEX]5^8^{2004} + 23[/TEX] chia hết cho 24 (xét sự đồng dư)
Bài 4. C/m [TEX]7^{100} + 11^{100}[/TEX] chia hết cho 13

Bài 1. Xét các trường hợp đồng dư của a khi chia cho 7.

Bài 2. [TEX]a+b+c \ \vdots \ 6[/TEX].
Nhận thấy [TEX]m^3-m=(m-1)m(m+1)[/TEX] là tích ba số nguyên liên tiếp nên [TEX]m^3-m \ \vdots \ 6[/TEX].
Do đó [TEX](a^3-a)+(b^3-b)+(c^3-c) \ \vdots \ 6[/TEX] mà [TEX](a^3-a)+(b^3-b)+(c^3-c)=(a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)[/TEX] nên [TEX]a^3+b^3+c^3 \ \vdots \ 6[/TEX].

Bài 3. [TEX]5^{8^{2004}}=5^{2p}=25^p \equiv 1 \pmod{24}[/TEX] nên [TEX]25^p+23 \equiv 0 \pmod{24}[/TEX] hay [TEX]5^{8^{2004}}+23[/TEX] chia hết cho 24.

Bài 4. Đang suy nghĩ.