Chuyên đề Nguyên Hàm-Tích Phân

[thong1990nd]

[tex]1. \int\limits_0^1 {\frac{{({x^2} + 1)dx}}{{({x^2} + 5x + 1)({x^2} - 3x + 1)}}} \\ [/tex]

[tex]2. \int\limits_{\frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{5\pi }}{3}} {\frac{{\cos 2xdx}}{{\cos x - \sqrt 3 \sin x}}} \\[/tex]

[tex]3. (P):{y^2} = 2x;(C):{x^2} + {y^2} = 8. \\ [/tex](P) chia (C) thành hai phần, tìm tỷ số diện tích hai phần này.

1) chia cả tử và mẫu cho [TEX]x^2[/TEX] có: [TEX]\frac{x^2+1}{(x^2+5x+1)(x^2-3x+1)}=\frac{1-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^2}}{(x+5+\frac{1}{x})(x-3+\frac{1}{x})}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]I=\int_{0}^{1}\frac{d(x+\frac{1}{x})}{(x+\frac{1}{x}+5)(x+\frac{1}{x}-3)}+2\int_{0}^{1}\frac{dx}{(x^2+5x+1)(x^2-3x+1)}[/TEX]
đặt [TEX]t=x+\frac{1}{x}[/TEX] \Rightarrow [TEX]K=\int_{}^{}\frac{dt}{(t+5)(t-3)}[/TEX] ( TP cơ bản)
Xét [TEX]L=\int_{}^{}\frac{dx}{(x^2+5x+1)(x^2-3x+1)}[/TEX]
có [TEX]\frac{1}{(x^2+5x+1)(x^2-3x+1)}=\frac{1}{[(x+\frac{5}{2})^2-\frac{21}{4}][(x-\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}][/TEX]
vì 2 đa thức ở mẫu đều có 2 nghiệm nên dùng PP đồng nhất (cách này dài) hiện tại mình chưa nghĩ đc cách nào hay hơn
2) có [TEX]\frac{cos2x}{cosx-\sqrt[]{3}sinx}=\frac{2cos^2x}{cosx-\sqrt[]{3}sinx}-\frac{1}{cosx-\sqrt[]{3}sinx}[/TEX]
mà [TEX]\frac{2cos^2x}{cosx-\sqrt[]{3}sinx}=\frac{\sqrt[]{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx+\frac{3}{2(cosx-\sqrt[]{3}sinx)}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]I=\frac{\sqrt[]{3}}{2}\int_{\frac{3\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{3}}sinxdx+\frac{1}{2}\int_{\frac{3\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{3}}cosxdx+\frac{1}{4}\int_{\frac{3\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{3}}\frac{dx}{\frac{1}{2}cosx-\frac{\sqrt[]{3}}{2}sinx}dx[/TEX]
đến đây là TP cơ bản|
à mà sao em bấm vào cái phần của anh mà ko vào đc nhỉ hay là anh trình bày lời giải cho em tham khảo đc ko

 

[nobook_97]

1 bài về tích phân, giúp mình với[tex]\int\limits_{1}^{2}\frac{\sqrt[2]{1+lnx}}{x}dx[/tex]

 

[vodichhocmai]

1 bài về tích phân, giúp mình với[tex]\int\limits_{1}^{2}\frac{\sqrt[2]{1+lnx}}{x}dx[/tex]

[TEX]Dat:\ \ t=\sqrt{1+ln x}\righ t^2=1+ln x\righ 2tdt=\frac{1}{x} dx[/TEX]
Đổi cận:
[TEX]\left{x=1\righ t=1\\x=2\righ t=\sqrt{1+ln2}[/TEX]
[TEX]I=\int_{1}^{\sqrt{1+ln2}}2t^2.dt=OK^n[/TEX]

 

[nobook_97]

hướng bài này là thế này :
Đặt t=lnx=>dt=\frac{dx}{x}
u(2)=1
u(1)=0
=>I=[tex]\int\limits_{0}^{1}\sqrt[2]{1+t^2}dx[/tex]

 

[thong1990nd]

1 bài làm để tham khảo
[TEX]\int_{}^{}4x^2\sqrt[]{x^2+4}dx[/TEX]

 

[theluvn]

U ơi lốc (log) ác quá trời
E rằng SIN COS còn mời dê vê (dv)

 

[quocbao153]

Cho [tex] I(t) = \int\limits_0^1 {|{e^x} - t|dx} ;t \in R \\[/tex]
1. Tính [tex]I(t) \\ [/tex]
2. Tìm [tex]Mi{n_{I(t)}} \\ [/tex]

 

[hot_spring]

[TEX]I= \int 4x^2 \sqrt{x^2+4}dx[/TEX]

Áp dụng phương pháp Euler thứ nhất:

Đặt [TEX]\sqrt{x^2+4}=x-t \Leftrightarrow x^2+4=x^2-2xt+t^2 \Leftrightarrow x=\frac{t^2-4}{2t}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow dx=\frac{t^2+4}{2t^2}dt[/TEX] và [TEX]\sqrt{x^2+4}=\frac{t^2-4}{2t}-t=-\frac{t^2+4}{2t}[/TEX]

[TEX]I=-\int 4 (\frac{t^2-4}{2t})^2.\frac{t^2+4}{2t^2}.\frac{t^2+4}{2t}dt=-\int \frac{(t^4-16)^2}{4t^5}dt[/TEX]

Dễ dàng tính được nguyên hàm cuối.

 

[camdorac_likom]

phương pháp Euler thứ nhất:

cái gì nghe hay vậy
mọi người giúp em tìm tích phân với:
[TEX]F(x)=\frac{x^3-x}{x^6+1}[/TEX]
cận từ [TEX]1-> 2[/TEX]

 

[hot_spring]

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=553877#post553877

Ở đây có nói về 3 cách đặt ẩn phụ của Euler.

 

[camdorac_likom]

có [TEX]\frac{sinx}{(sinx+\sqrt[]{3}cosx)^3}=\frac{1}{4(sinx+\sqrt[]{3}cosx)^2}-\frac{\sqrt[]{3}}{4}.\frac{(cosx-\sqrt[]{3}sinx)}{(sinx+\sqrt[]{3}cosx)^3}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]I=\frac{1}{16}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{.cos^2(x-\frac{\pi}{6})}-\frac{\sqrt[]{3}}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d(sinx+\sqrt[]{3}cosx)}{(sinx+\sqrt[]{3}cosx)^3}[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{16}tan|x-\frac{\pi}{6}|+\frac{\sqrt[]{3}}{8(sinx+\sqrt[]{3}cosx)^2}[/TEX]
sau đó thay cận vào

sao mà cậu nghĩ được vậy ????
Nếu mình chia cả tử và mẫu luôn cho 2^3 thì có được ko nhỉ

 

[thong1990nd]

cái gì nghe hay vậy
mọi người giúp em tìm tích phân với:
[TEX]F(x)=\frac{x^3-x}{x^6+1}[/TEX]
cận từ [TEX]1-> 2[/TEX]

[TEX]\int_{1}^{2}\frac{x^3-x}{x^6+1}}dx[/TEX]
[TEX]=\int_{1}^{2}\frac{(x^2-1)xdx}{x^6+1}[/TEX]
đặt [TEX]t=x^2[/TEX] \Rightarrow [TEX]2xdx=dt[/TEX]
cận [TEX]x=1[/TEX] \Rightarrow [TEX]t=1,x=2[/TEX] \Rightarrow [TEX]t=4[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{2}\int_{1}^{4}\frac{(t-1)dt}{t^3+1}[/TEX]
có [TEX]\frac{t-1}{t^3+1}=\frac{1}{t^2-t+1}-\frac{2}{3(t+1)}+\frac{2t-1}{t^2-t+1}-\frac{1}{t^2-t+1}[/TEX]
\Rightarrow TP trên ra dạng cơ bản

 

[jun11791]

[TEX]=\frac{1}{2}\int_{1}^{4}\frac{a}{b}\frac{(t-1)dt}{t^3+1}[/TEX]
có [TEX]\frac{t-1}{t^3+1}=\frac{1}{t^2-t+1}-\frac{2}{3(t+1)}+\frac{2t-1}{t^2-t+1}-\frac{1}{t^2-t+1}[/TEX]
\Rightarrow TP trên ra dạng cơ bản

Anh Thông ơi, đoạn này em chưa hiểu lắm, cách phân tích của anh dài và phức tạp thế, sao anh ko quy về dạng giải hệ của a và b cho nhanh

 

[hocmai.toanhoc]

Anh Thông ơi, đoạn này em chưa hiểu lắm, cách phân tích của anh dài và phức tạp thế, sao anh ko quy về dạng giải hệ của a và b cho nhanh

Đó là phương pháp hệ số bất định đó bạn . Và tất nhiên phải giải hệ để tìm a , b như bạn nói nhưng bạn kia làm tắt nên chỉ ghi kết quả

 

[camdorac_likom]

có [TEX]\frac{sinx}{(sinx+\sqrt[]{3}cosx)^3}=\frac{1}{4(sinx+\sqrt[]{3}cosx)^2}-\frac{\sqrt[]{3}}{4}.\frac{(cosx-\sqrt[]{3}sinx)}{(sinx+\sqrt[]{3}cosx)^3}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]I=\frac{1}{16}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{.cos^2(x-\frac{\pi}{6})}-\frac{\sqrt[]{3}}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d(sinx+\sqrt[]{3}cosx)}{(sinx+\sqrt[]{3}cosx)^3}[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{16}tan|x-\frac{\pi}{6}|+\frac{\sqrt[]{3}}{8(sinx+\sqrt[]{3}cosx)^2}[/TEX]
sau đó thay cận vào

cậu ơi , nói cho tớ biết sao cậu nghĩ ra được vậy? Cả bàn của tớ phải bó tay. hic hic. Xem nốt cho tớ con này ná
[TEX]\int_{}^{}\frac{\sqrt[]{a}da}{\sqrt[]{1-a^2}}[/TEX]

 

[quang1234554321]

cậu ơi , nói cho tớ biết sao cậu nghĩ ra được vậy? Cả bàn của tớ phải bó tay. hic hic. Xem nốt cho tớ con này ná

Đó là phương pháp hệ số bất định của tích phân hàm lượng giác , sử dụng các công thức và cách làm tương tự phương pháp hệ số bất định ở hàm phân thức hữu tỷ bình thường , tuy nhiên nó khó hơn .

[TEX]\int_{}^{}\frac{\sqrt[]{a}da}{\sqrt[]{1-a^2}}[/TEX]

Hàm này là hàm elliptic nên không có nguyên hàm của hàm sơ cấp

 

[camdorac_likom]

Ai xem con tích phân này đi:[TEX]\int_{0}^{/pi}\frac{dx}{sinx +2cosx+3}[/TEX]

 

[diemhang307]

Ai xem con tích phân này đi:[TEX]\int_{0}^{/pi}\frac{dx}{sinx +2cosx+3}[/TEX]

[TEX] \[ \int\limits_0^\pi {} \frac{{dx}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 2\cos x + 3}} = \int\limits_0^\pi {} \frac{{dx}} 2\sin \frac{x}{2}c{\rm{os}}\frac{x}{2} + 2\left( {c{\rm{os}}^2 \frac{x}{2} - \sin ^2 \frac{x}{2}} \right) + 3\left( {c{\rm{os}}^2 \frac{x}{2} + \sin ^2 \frac{x}{2}} \right) \\ = \int\limits_0^\pi {} \frac{{dx}}{{c{\rm{os}}^2 \frac{x}{2}\left( {2\tan \frac{x}{2} + 2 - 2\tan ^2 \frac{x}{2} + 3 + 3\tan ^2 \frac{x}{2}} \right)}} \\ = 2\int\limits_0^\pi \begin{array}{l} \frac{{d\left( {\tan \frac{x}{2}} \right)}}{{\tan ^2 \frac{x}{2} + 2\tan x + 5}} \\ = 2\int\limits_0^\pi {} \frac{{d\left( {1 + \tan \frac{x}{2}} \right)}}{{\left( {1 + \tan ^{} \frac{x}{2}} \right)^2 + 2^2 }} = \arctan \frac{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}\frac{x}{2}}}{2}\int\limits_0^\pi {} \\ =.................(thay.so.) [/TEX]

 

[thong1990nd]

Ai xem con tích phân này đi:[TEX]\int_{0}^{/pi}\frac{dx}{sinx +2cosx+3}[/TEX]

bài này nếu đi thi chắc sẽ ko cho đâu
nếu đặt [TEX]t=tan\frac{x}{2}[/TEX] thì sẽ ko làm đc vì khi [TEX]x=\pi[/TEX] thì [TEX]t=tan\frac{\pi}{2}[/TEX] là ko xác định
bạn trên làm như vậy là lại động đến [TEX]tan\frac{x}{2}[/TEX] rùi
anh chế cách này nhưng nó ko ra 1 đáp số cụ thể ko biết có đc hay ko
dựa vào PP giải PT bậc nhất đối với [TEX]sin[/TEX] và [TEX]cos[/TEX]
đặt [TEX]2=tan\alpha \Rightarrow sinx+2cosx+3=sinx+tan\alpha.cosx+3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow I=\int_{0}^{\pi}\frac{cos\alpha}{sinx.cos\alpha+sin\alpha.cosx+3cos\alpha}dx[/TEX] [TEX]=cos\alpha\int_{0}^{\pi}\frac{dx}{sin(x+\alpha)+3cos\alpha}[/TEX]
[TEX]=cos\alpha\int_{0}^{\pi}\frac{dx}{sin(x+\alpha)+A}[/TEX] (vì [TEX]3cos\alpha[/TEX] là hằng số nên tạm gọi là [TEX]A[/TEX] cho gọn)
đặt [TEX]t=tan\frac{x+\alpha}{2} \Rightarrow dt=\frac{1}{2}. [1+tan^2(\frac{x+\alpha}{2})]d(\frac{x}{2})=\frac{1}{4}.[1+tan^2(\frac{x+\alpha}{2})]dx \Rightarrow dx=\frac{4dt}{1+t^2}[/TEX]
cận [TEX]x=0 \Rightarrow t=tan\frac{\alpha}{2},x=\pi \Rightarrow t=tan\frac{\pi+\alpha}{2}=-cot\frac{\alpha}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow I=4cos\alpha\int_{tan\frac{\alpha}{2}}^{-cot\frac{\alpha}{2}}\frac{dt}{At^2+2t+A}[/TEX] (với [TEX]A[/TEX] là hằng số) cái tích phân này giải bình thường với [TEX]A=3cos\alpha[/TEX]

 

[o0o_meocon]

sao ra gì mà lắm vậy ta,toàn bài cơ bản thui.ban muon giai het sao.