K
kimxakiem2507
Sử dụng bổ đề sau để giải cho nhanh
[TEX]M(a,b),(d):y=k(x-a)+b[/TEX]
[TEX](d)[/TEX] tiếp xúc [TEX](C)[/TEX] khi hệ sau có nghiệm (hữu hạn)
[TEX]\left{-x^2+4x-4=(x-1)(k[x-a]+b)\\-2x+4=k[x-a]+b+k(x-1)\\x\neq1[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{-x^2+4x+4=(x-1)[-2x+4-k(x-1)]\\-2(x-1)+2=2k(x-1)+k(1-a)+b\\x\neq1[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{(x-1)^2(k+1)=1\\x-1=\frac{k(a-1)+2-b}{2(k+1)}\\x\neq1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow{ \left{ k\neq{-1}\\(k(a-1)+2-b)^2=4(k+1)[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{k\neq{-1}\\(a-1)^2k^2+[2(a-1)(2-b)-4]k+b^2-4b=0[/TEX][TEX]\ \ \ (1)[/TEX]
Để kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau thì [TEX](1)[/TEX] phải có hai nghiệm phân biệt [TEX](\neq {-1}) k_1,k_2[/TEX] thoả :[TEX]k_1.k_2=-1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow{\left{\frac{b^2-4b}{(a-1)^2}=-1\\(a-1)^2-2(a-1)(2-b)+(2-b)^2\neq0[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{a\neq1\\a+b-3\neq0\\(a-1)^2+(b-2)^2=4[/TEX]
Vậy tập hợp những điểm thoả mãn yêu cầu bài toán là đường tròn [TEX](C) :(x-1)^2+(y-2)^2=4[/TEX] bỏ ra [TEX]4[/TEX] giao điểm của [TEX](C)[/TEX] và hai đường thẳng [TEX]:x=1[/TEX] và [TEX]x+y-3=0[/TEX] là [TEX](1,4),(1,0),(1+\sqrt2,2-\sqrt2),(1-\sqrt2,2+\sqrt2)[/TEX]
(Anh cố gắng giải thật tỉ mỉ cho dễ hiểu,thật ra biến đổi ra rất nhanh.Hạn chế sử dụng phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép do sách giáo khoa đã bỏ qua,Dạng toán này chưa thể sử dụng để thi đại học trong tương lai gần được)
[TEX]b/M(1+a,2-a-\frac{1}{a})\ \ (a>0),\ \ N(1-b,2+b+\frac{1}{b})\ \ (b>0)[/TEX]
[TEX]\vec{NM}=(a+b,-(a+b)(1+\frac{1}{ab})\Rightarrow{MN=\sqrt{(a+b)^2+(a+b)^2(1+\frac{1}{ab})^2[/TEX][TEX]\ge{\sqrt{(a+b)^2+(a+b)^2(1+\frac{4}{(a+b)^2})^2}[/TEX][TEX]=\sqrt{2(a+b)^2+\frac{16}{(a+b)^2}+8}[/TEX]
[TEX]\ge{\sqrt{8\sqrt2+8}[/TEX][TEX]\Rightarrow{MN_{min}=\sqrt{8\sqrt2+8}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow{\left{a=b\\(a+b)^4=8[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{a=b=\frac{1}{\sqrt[4]2}[/TEX]
[TEX]TCD:x=1,TCX:x+y-3=0[/TEX]
[TEX]\left{d(M,TCD)=a=\frac{1}{\sqrt[4]2}\\d(M,TCX)=\frac{\|1+a+2-a-\frac{1}{a}-3\|}{\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2.a}=\frac{1}{\sqrt[4]2}[/TEX]
nên [TEX]M[/TEX] nằm trên đường phân giác của hai tiệm cận,tương tự cho [TEX]N[/TEX].ok
Cách 1:
[TEX]M(m,1),(d):y=k(x-m)+1[/TEX]
[TEX](d)[/TEX] tiếp xúc [TEX](C)[/TEX] hệ sau phải có nghiệm (hữu hạn)
[TEX]\left{x^2-3x+3=(x-1)[k(x-m)+1]\\2x-3=k(x-m)+1+k(x-1)\\x\neq1[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{x^2-3x+3=(x-1)[2x-3-k(x-1)]\\2(x-1)-1=2k(x-1)+k(1-m)+1\\x\neq1[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{(x-1)^2(1-k)=1\\x-1=\frac{k(1-m)+2}{2(1-k)\\x\neq1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow{\left{[k(1-m)+2]^2=4(1-k)\\k\neq1[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{(1-m)^2k^2+4k(2-m)=0\\k\neq1[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{{\left[k=0\\k(1-m)^2=4(m-2)}\\k\neq1[/TEX]
Do qua[TEX] M[/TEX] luôn vẽ được một tiếp tuyến nằm ngang[TEX](k=0)[/TEX] nên để vẽ được hai tiếp tuyến hợp với nhau một góc [TEX]45^0[/TEX] thì tiếp tuyến thứ hai phải có [TEX]k=-1[/TEX] hoặc[TEX] k=1[/TEX](loại)
[TEX]YCBT\Leftrightarrow{\frac{4(m-2)}{(1-m)^2}=-1[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left[m=-1+2\sqrt2\\m=-1-2\sqrt2[/TEX][TEX]\Rightarrow{\left[M(-1+2\sqrt2,1)\\M(-1-2\sqrt2,1)[/TEX]
(Lưu ý :Nếu không đặc biệt thì ta sử dụng công thức :
[TEX]tga=\|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\|[/TEX]
Cách 2 :chúng ta phát hiện ra khi vẽ đồ thị (nếu thi đại học sẽ nằm ở dạng bài này)
Do qua[TEX] M(m,1)[/TEX] luôn vẽ được một tiếp tuyến nằm ngang[TEX](k=0)[/TEX] nên để vẽ được hai tiếp tuyến hợp với nhau một góc [TEX]45^0[/TEX] thì tiếp tuyến thứ hai phải có [TEX]k=-1[/TEX] hoặc[TEX] k=1[/TEX]
mặt khác :[TEX]k=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2-1}{(x-1)^2}<1\ \ \forall{x\neq1}[/TEX][TEX]\Rightarrow{\frac{(x-1)^2-1}{(x-1)^2}=-1\Leftrightarrow{\left[x=1+\frac{1}{\sqrt2}\\x=1-\frac{1}{\sqrt2}[/TEX]
Hai tiếp điểm tương ứng là [TEX]A(1+\frac{1}{\sqrt2},\frac{3}{\sqrt2}-1),B(1-\frac{1}{\sqrt2},-1-\frac{3}{\sqrt2})[/TEX]
Hai tiếp tuyến là :[TEX](d_1):y=-x+2{\sqrt2},(d_2):y=-x-2\sqrt2[/TEX]
giao [TEX](d_1),(d_2)[/TEX] với đường thẳng [TEX]y=1[/TEX] ta được hai điểm cần tìm là [TEX]:M_1(-1+2\sqrt2,1) , M_2(-1-2\sqrt2,1)[/TEX]
Last edited by a moderator:
