Toán [Chuyên đề] Các Bài Toán Đại Hay Và Khó

[manhnguyen0164]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chào các bạn !:Mloa_loa:

Mình thấy dạo này Box Toán 8 không có topic nào thấy mọi người thảo luận sôi nổi nên mình lập ra topic này để mọi người cũng trao đổi về những bài toán khó. Những bài mình post dưới đây do mình sưu tầm được, có thể trùng nhiều trong sách nhưng mong các bạn ủng hộ nhiệt tình.

Chú ý: Bài làm phải gõ LaTeX, không spam các kiểu.

Đây là các bài khá hay và khó, kiến thức thì với HKI lớp 8 đều có thể làm được. Có các dạng BĐT, cực trị, phân thức,... Các bạn có thể rèn luyện từ bây giờ để chuẩn bị cho kì thi HSG.

Về kiến thức trọng tâm thì hằng đẳng thức, bất đẳng thức kinh điển khá quan trọng.
BĐT và cực trị có thể tham khảo tại đây..
Phương trình và bất phương trình thì các bạn biết rồi, chủ yếu là kĩ năng.

Bắt đầu đi từ dễ đến khó nhỉ, mấy bài đầu dễ thôi: :M38:

Bài 1: Cho a,b,c khác nhau thõa mãn $a^2(b+c)=b^2(c+a)$. Chứng minh $b^2(c+a)=c^2(a+b)$.

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a. $(x^2-3x+2)^2-4x+2$
b. $(x^2-5x+8)^2-6x+8$

Bài 3: Tồn tại hay không số nguyên x thõa mãn:
$(x-3)^3+(x-2)^2+|x-1|+x=2013$

 

[tien_thientai]

để mình mở đầu trước cho nào!!!!!!
Câu 1:
$a^2(b+c)$=$b^2(c+a)$
\Rightarrow $a^2b+a^2c$-$b^2c$-$b^2a$=0
\Rightarrow $ab.(a-b)$+$c.(a-b).(a+b)$=0
\Rightarrow $(ab+ac+bc).(a-b)$=0
vậy $(ab+ac+bc)$=0
\Rightarrow $(ab+ac+bc).(b-c)$=0
\Rightarrow $b^2a+b^2c-c^2b-c^2a$=0
\Rightarrow $b^2(c+a)=c^2(a+b)$

 

[manhnguyen0164]

để mình mở đầu trước cho nào!!!!!!
Câu 1:
$a^2(b+c)$=$b^2(c+a)$
\Rightarrow $a^2b+a^2c$-$b^2c$-$b^2a$=0
\Rightarrow $ab.(a-b)$+$c.(a-b).(a=b)$=0
\Rightarrow $(ab+ac+bc).(a-b)$=0
vậy $(ab+ac+bc)$=0
\Rightarrow $(ab+ac+bc).(b-c)$=0
\Rightarrow $b^2a+b^2c-c^2b-c^2a$=0
\Rightarrow $b^2(c+a)=c^2(a+b)$

Nhầm chỗ đỏ bạn ơi !

Dạo này Box mình buồn quá.

 

[trinhminh18]

MềNH chữa cho nhá:
$a^2(b+c)=b^2(c+a)$
\Leftrightarrow $ab(a-b)+c(a-b)(a+b)=0$
\Leftrightarrow$(a-b)(ab+bc+ca)=0$
Vì a khác b nên ab+bc+ca=0
\Rightarrow $(b-c)(ab+bc+ca)=0$
\Rightarrow nhân ra đc đpcm

 

[tien_thientai]

Nhầm chỗ đỏ bạn ơi !

Dạo này Box mình buồn quá.

Sửa rồi bạn ạ!!!
Dể tối nghĩ 2 bài kia
Chứ mới có thời gian làm bai dầu
Đã đọc 2 bài kia đâu

 

[tien_thientai]

Mình làm bài 3 nha
Th1
X>1
$(x−3)^3+(x−2)^2+(x−1)+x$
=$x^3-9x^2+27x-1+x^2-4x+4+x-1+x$
=$x^3-8x^2+25x+2$
=$x.(x-5)^2+(x^2-1).2$
Do $x.(x-5)^2$ là số chẵn
$(x^2-1).2$ là số chẵn
$x.(x-5)^2+(x^2-1).2$ là số chẵn
Mà tổng là 2013 là số lẻ
Vậy ko có số đó
Bài này mình ko chắc chắn đâu!!!
Còn Th2 thì tương tự thôi
\infty

 

[manhnguyen0164]

Mình làm bài 3 nha
Th1
X>1
$(x−3)^3+(x−2)^2+(x−1)+x$
=$x^3-9x^2+27x-1+x^2-4x+4+x-1+x$
=$x^3-8x^2+25x+2$
=$x.(x-5)^2+(x^2-1).2$
Do $x.(x-5)^2$ là số chẵn
$(x^2-1).2$ là số chẵn
$x.(x-5)^2+(x^2-1).2$ là số chẵn
Mà tổng là 2013 là số lẻ
Vậy ko có số đó
Bài này mình ko chắc chắn đâu!!!
Còn Th2 thì tương tự thôi
\infty

Bài này cần gì hai TH bạn !

Dễ thấy $x-3, x-2, x-1, x$ là các số nguyên liên tiếp nên trong 4 số này có 2 số chẵn và 2 số lẻ.

Tức là $(x-3)^3, (x-2)^2, |x-1|, x$ có 2 số lẻ, 2 số chẵn.

Nên tổng của 4 số này là một số chẵn, mà 2013 lẻ suy ra không tồn tại x thõa mãn. Xong !!!

 

[tien_thientai]

Haha mình cứ tưởng xét TH
thế bạn xem lại giúp mình bài 2 đi hình như nó có "vấn đề" thì phai???

 

[manhnguyen0164]

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a. $(x^2-3x+2)^2-4x+2$

Giải một câu PTTNT, câu b tương tự, ai giải xem nhé:

a. $(x^2-3x+2)^2-4x+2=(x^2-3x+2)^2-x^2+x^2-4x+2$

$=(x^2+3x+2+x)(x^2-3x+2-x)+(x^2-4x+2)$

$=(x^2-4x+2)(x^2-2x+2+1)=(x^2-4x+2)(x^2-2x+3)$

 

[trinhminh18]

2a/ bung ra r hệ số bất định kết quả là $(x^2-4x+2)(x^2-2x+3)$..................................

 

[tien_thientai]

thế mà mình nghĩ ko ra thêm bớt cái j
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[tien_thientai]

ra bài tiếp đi bạn
mình luôn ủng hộ bạn
mong topic sẽ có nhiều người tham gia thêm nữa
mình thấy thế này rất hữu ích!!!

@manhnguyen0164: Câu b bài 2 tương tự đấy, bạn làm nốt đi rồi mình ra tiếp.

 

[trinhminh18]

mình góp thêm vài bài cho vui nhé; bài cũng dễ thoy:
4/cho $A=a^2+b^2+c^2$ trong đó a và b là 2 số tự nhiên liên tiếp ; c=ab. CHứng minh $\sqrt{A}$ là 1 số tự nhiên lẻ
5/CHứng minh $A=(n+1)^4+n^4+1$ chia hết cho 1 số chính phuơng khác 1 với mọi n nguyên dương

 

[tien_thientai]

Thế để mai mình lằm
chứ mình buồn ngủ lắm rồi!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[manhnguyen0164]

4. Giải vậy được không ?

Giả sử $b=a+1$.

$A= a^2+(a+1)^2+a^2(a+1)^2=(a^2+a+1)^2$.

a và b là 2 số tự nhiên liên tiếp $\to A$ lẻ.

Do đó A là số chính phương lẻ $\to \sqrt{A}$ là 1 số tự nhiên lẻ.

5. $A=(n+1)^4+n^4+1=2(n^2+n+1)^2 \to \mathfrak{DPCM}$

 

[manhnguyen0164]

Bài 6: Cho số nguyên tố $p>3$. Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết thập phân của số $p^n$ có đúng 20 chữ số. Chứng minh rằng trong 20 chữ số này có ít nhất 3 chữ số giống nhau.

Bài 7: Tìm GTNN của các số tự nhiên a,b,c thõa mãn:
$\ \ \ \ \ \ a+(a+1)+(a+2)+...+(a+14)$
$ \ \ \ \ =b+(b+1)+(b+2)+...+(b+16)$
$\ \ \ \ \ =c+(c+1)+(c+2)+...+(c+18$

Bài 8: Tìm ba chữ số bên trái đầu tiên của M biết:
$M=1^1+2^2+3^3+...+999^{999}+1000^{1000}$

 

[tien_thientai]

Bài 6
Giả sử $p^n$ có $20$ chữ số, trong đó không có $3$ chữ số nào giống nhau, thì theo nguyên lý Dirichlet $p^n$ có đúng $10$ cặp chữ số giống nhau (từ 0 đến 9). Khi đó tổng các chữ số của $p^n$ là $2(0+1+...+9)=90$ Suy ra $p^n\;\vdots\; 9$ Và 10
Điều này vô lý bởi vì các ước của $p^n$ chỉ là $1,p,p^2,...,p^n$ mà $p>3$

Vậy điều giả sử là sai! (đpcm)
Nguồn :internet

 

[manhnguyen0164]

Bài 6
Giả sử $p^n$ có $20$ chữ số, trong đó không có $3$ chữ số nào giống nhau, thì theo nguyên lý Dirichlet $p^n$ có đúng $10$ cặp chữ số giống nhau (từ 0 đến 9). Khi đó tổng các chữ số của $p^n$ là $2(0+1+...+9)=90$ Suy ra $p^n\;\vdots\; 9$ Và 10
Điều này vô lý bởi vì các ước của $p^n$ chỉ là $1,p,p^2,...,p^n$ mà $p>3$

Vậy điều giả sử là sai! (đpcm)
Nguồn :internet

Chỗ chữ đỏ không ổn.

Từ $p^n \vdots 9 \to p^n \vdots \to p \vdots 3$ mà p nguyên tố lớn hơn 3 nên giả sử sai.

Giải kiểu này cũng được.

 

[manhnguyen0164]

Bài 7: Tìm GTNN của các số tự nhiên a,b,c thõa mãn:
$\ \ \ \ \ \ a+(a+1)+(a+2)+...+(a+14)$
$ \ \ \ \ =b+(b+1)+(b+2)+...+(b+16)$
$\ \ \ \ \ =c+(c+1)+(c+2)+...+(c+18$

Giải bài này phát! Chán quá.

$\ \ \ \ \ \ a+(a+1)+(a+2)+...+(a+14)$
$ \ \ \ \ =b+(b+1)+(b+2)+...+(b+16)$
$\ \ \ \ \ =c+(c+1)+(c+2)+...+(c+18$

Suy ra $15a+105=17b+136=19c+171=t (t\in N, t>171)$

$\to a=\dfrac{t}{15}-7, b=\dfrac{t}{17}-8, c=\dfrac{t}{19}-9$

Để $a,b,c \in N$ nhỏ nhất thì $t=BCNN(15,17,19)=48$

$\to a=316, b=277, c=246$.

 

[tien_thientai]

Bài 7 thì mình biết làm lâu lắm rồi còn bài 8,6 là tớ ko biét thôi
___________________________________________________