Toán [Chuyên đề 4] Tổ hợp, dãy số!!

[tieuphong_1802]

tớ xin đố các bạn nha. Bài toán là thế này:Có 100 cái kẹo chia cho 5 cháu.hỏi có bao nhiêu cách chia thoả mãn cháu nào cũng có kẹo(100 cái đều phải chia hết)?

Tớ giải thế này. Xếp 100 cái kẹo đó thành 1 hàng ngang.vậy có 99 khe giữa 2 cái kẹo liên tiếp.dùng 4 cái que đặt vào 4 khe .ta sẽ có 5 phần kẹo cho 5 cháu rồi.có
C4 99 cách đặt 4 que đó cũng là số cách chia.

 

[gaconthaiphien]

Mọi người giúp cho:

n là số tự nhiên lớn hơn 1, c/m rằng:
[TEX]C{0\choose n}.C{1\choose n}......C{n\choose n} \leq (\frac{2^n-2}{n-1})^{n-1}[/TEX]

 

[duynhan1]

Mọi người giúp cho:

n là số tự nhiên lớn hơn 1, c/m rằng:
[TEX]C{0\choose n}.C{1\choose n}......C{n\choose n} \leq (\frac{2^n-2}{n-1})^{n-1}[/TEX]

[TEX]C_n^0 = 1 \\ C_n^1= 1[/TEX]

Xét khai triển :

[TEX](1+x)^n = C_n^0 + C_n^1 x+ .... + C_n^n x^n[/TEX]

Cho x=1 ta được :

[TEX]C_n^0 + C_n^1 + .... + C_n^n = 2^n[/TEX]

[TEX]\Rightarrow C_n^2 + C_n^3 + ...+C_n^n = 2^n - 2 [/TEX]

Theo BDT Co si:

[TEX]C{0\choose n}.C{1\choose n}......C{n\choose n} \\ = C{2\choose n}.C{3\choose n}......C{n\choose n} \le (\frac{C{2\choose n}+C{3\choose n}.+.....+C{n\choose n} }{n-1} )^{n-1} =( \frac{2^n-2}{n-1})^{n-1}[/TEX]

 

[duynhan1]

Chúng ta thảo luận tiếp chuyên đề dãy số nào !!!!

Các bài cơ bản :

[TEX]1. [/TEX] Xác định công thức tổng quát(CTTQ) của dãy số [TEX](u_n)[/TEX] được xác định bởi :

[TEX]\left{ u_1 = -2 \\ u_n= 3u_{n-1}-1 \ \ \forall n \ge 2[/TEX]

[TEX]2. [/TEX] Xác định công thức tổng quát(CTTQ) của dãy số [TEX](u_n)[/TEX] được xác định bởi :

[TEX]\left{ u_1 = 2 \\ u_n= 2u_{n-1} + 3n -1 \ \forall n \ge 2[/TEX]

[TEX]3.[/TEX]Xác định công thức tổng quát(CTTQ) của dãy số [TEX](u_n)[/TEX] được xác định bởi :

[TEX]\left{ u_1 = -2 \\ u_n = 5u_{n-1} + 2.3^n - 6.7^n + 12[/TEX]

 

[lantrinh93]

cho mình hỏi tí ,
các bài toán về dãy số
nếu dãy số đề bài cho là một dãy số nói chung là khi đọc đề khong thấy một quy luật nào cả
thế làm sao để xác định số hạng tổng quát của dãy số đó nhĩ
)
p/s : khong biết các bn hiểu mình nói gì không ,nghiên cứu trả lời giúp tớ ha,mai tớ vào post đề sau

 

[silvery21]

Chúng ta thảo luận tiếp chuyên đề dãy số nào !!!!

Các bài cơ bản :

[TEX]1. [/TEX] Xác định công thức tổng quát(CTTQ) của dãy số [TEX](u_n)[/TEX] được xác định bởi :

[TEX]\left{ u_1 = -2 \\ u_n= 3u_{n-1}-1 \ \ \forall n \ge 2[/TEX]

[TEX]2. [/TEX] Xác định công thức tổng quát(CTTQ) của dãy số [TEX](u_n)[/TEX] được xác định bởi :

[TEX]\left{ u_1 = 2 \\ u_n= 2u_{n-1} + 3n -1 \ \forall n \ge 2[/TEX]

[TEX]3.[/TEX]Xác định công thức tổng quát(CTTQ) của dãy số [TEX](u_n)[/TEX] được xác định bởi :

[TEX]\left{ u_1 = -2 \\ u_n = 5u_{n-1} + 2.3^n - 6.7^n + 12[/TEX]

qui trình là em tự bấm máy ......c đưa kq cm lại = qui nạp ( đi thi ko đc dùng pt đtrưng nên hạn chế dùng pp này )

1; [TEX]u_n= \frac{ -5}{2} . 3^{n-1} - \frac{ 1}{2}[/TEX] ( bài này dùng pp tách cũng nhanh [TEX]u_n- \frac{ 1}{2}= 3(u_{n-1} - \frac{ 1}{2}) ).[/TEX]

2: thấy có vẻ ko đẹp nhưng đúng : [TEX]u_n= \frac{ 5}{2} . n^2 - \frac{ 11}{2} n + \frac{ 5}{2}[/TEX]

3. bấm máy sao nó lẻ wa'....nếu e có kq p.m lại cho chị nhé

p/s: dạng này c học tủ năm lớp 11 thế mà đi thi mấy lần ko tủ ;

 

[duynhan1]

Chúng ta thảo luận tiếp chuyên đề dãy số nào !!!!

Các bài cơ bản :

[TEX]1. [/TEX] Xác định công thức tổng quát(CTTQ) của dãy số [TEX](u_n)[/TEX] được xác định bởi :
[TEX]\left{ u_1 = -2 \\ u_n= 3u_{n-1}-1 \ \ \forall n \ge 2[/TEX]

[TEX]\huge u_n = 3u_{n-1} - 1 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \huge u_n - \frac12 = 3( u_{n-1} - \frac12 ) =....= 3^{n-1}.(u_1 - \frac12 ) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \huge u_n =- \frac52 3^{n-1} + \frac12[/TEX]

[TEX]2. [/TEX] Xác định công thức tổng quát(CTTQ) của dãy số [TEX](u_n)[/TEX] được xác định bởi :

[TEX]\left{ u_1 = 2 \\ u_n= 2u_{n-1} + 3n -1 \ \forall n \ge 2[/TEX]

[TEX]u_n = 2u_{n-1} + 3n - 1 [/TEX]

[TEX]\huge \Leftrightarrow ( u_n + 3n + 5) = 2(u_{n-1} + 3(n-1) + 5) =....= 2^{n-1} (u_1 + 3 +5) = 2^{n-1}.10 - 3n - 5 = 5.2^n - 3n -5 [/TEX]

[TEX]3.[/TEX]Xác định công thức tổng quát(CTTQ) của dãy số [TEX](u_n)[/TEX] được xác định bởi :
[TEX]\left{ u_1 = -2 \\ u_n = 5u_{n-1} + 2.3^n - 6.7^n + 12[/TEX]

Ta sẽ tách từng hạng tử
[TEX]2.3^n = - 3. 3^n + 15.3^{n-1} [/TEX]

[TEX]{-6.7^n = -21.7^n + 105.7^{n-1}[/TEX]

[TEX]12 = -3 + 5.3 [/TEX]

[TEX]\huge \Rightarrow u_n+ 3.3^n + 21. 7^n + 3 = 5( u_{n-1} + 3.3^{n-1} + 21.7^{n-1}+3 ) =...= 5^{n-1} ( u_1 + 3.3^1+ 21.7^1 + 3) =157.5^{n-1} [/TEX]

[TEX]\huge \Leftrightarrow u_n = 157.5^{n-1} - 3^{n+1} - 3. 7^{n+1} - 3[/TEX]

Tổng quát:
[TEX]\huge \blue \fbox{u_n =a.u_{n-1} + f(n) \\ \Leftrightarrow u_n - g(n) = a( u_{n-1} - g(n-1) ) [/TEX]

Nhiệm vụ của ta là xác định g(n).
TH1:[TEX] a= 1 \ \ \Rightarrow g(n) [/TEX]là đa thức lớn hơn [TEX]f(n)[/TEX] 1 bậc . Cho[TEX] k+1 [/TEX] ( k là bậc của đa thức [TEX]f(n)[/TEX] ) giá trị [TEX]n [/TEX]ta xác định được đa thức [TEX]g(n)[/TEX]

TH2:[TEX] a\not= 1 \ \ \Rightarrow g(n) [/TEX]là đa thức cùng bậc với [TEX]f(n)[/TEX] . Cho[TEX] k [/TEX] ( k là bậc của đa thức [TEX]f(n)[/TEX] ) giá trị [TEX]n [/TEX]ta xác định được đa thức [TEX]g(n)[/TEX]

.

 

[duynhan1]

Ta sẽ đi qua dạng mới, và giải bài toán khá nổi tiếng " Dãy số Fibonacci"
Xác định CT tổng quát của dãy số được xác định bởi :
[TEX]\huge \left{ u_0 = 1 \\ u_1 = 1 \\ u_n= u_{n-1} + u_{n-2} \ \ \forall n \ge 2 [/TEX]

Khó hơn )

Xác định CT tổng quát của dãy số được xác định bởi :
[TEX]\huge \left{ u_0 = -1 \\ u_1 = 3 \\ u_n-5.u_{n-1} + 6u_{n-2}= 2n^2 + 2n + 1 \ \ \forall n \ge 2 [/TEX]

 

[lamtrang0708]

4)Gọi S là tập các số tự nhiên biểu diễn ở dạng thập phân gồm 6 chữ số là hoán vị của các chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7.
- Tính số phần tử của tập con B của S gồm các số có hai chữ số lẻ liền nhau.
- Tính số phần tử của tập con C của S gồm các số lớn hơn 352764.

1.(TK 10_11) Trong tập hợp các số tự nhiên N, tìm số các ước của A = 6001128000 mà số đó chia hết cho B = 1260
ĐS: 270 số
2.(TK 10_11) Cho tập hợp A = { 1;2;4;5;8 }
Từ các chữ số của A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau. Tính tổng tất cả các số đó.
ĐS: 120 số; 533280
3.(HV Quân y 2000) Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ô trống
a. Hỏi có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
b. Có bao nhiêu cách xếp sao cho 3 vien bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?
ĐS: 210 cách; 36 cách

 

[letrang3003]

4)Gọi S là tập các số tự nhiên biểu diễn ở dạng thập phân gồm 6 chữ số là hoán vị của các chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7.
- Tính số phần tử của tập con B của S gồm các số có hai chữ số lẻ liền nhau.
- Tính số phần tử của tập con C của S gồm các số lớn hơn 352764.

Xếp trước 2,4,6 thành 1 hàng, Mỗi hoán vị của 2,4,6 thì có 4 cách đặt 1 số lẻ vào, 3 cách đặt số lẻ thứ 2 và 2 cách đặt cách số lẻ thứ 3

như vậy có :

cách để cho không có số lẻ nào cạnh nhau:

suy ra số cách để có được 2 số lẻ cạnh nhau là :

 

[bigbang195]

3.(HV Quân y 2000) Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ô trống
a. Hỏi có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
b. Có bao nhiêu cách xếp sao cho 3 vien bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?
ĐS: 210 cách; 36 cách

Phần b : 3 viên màu xanh cạnh nhau đẳng sau là 3 viên màu đỏ:

sẽ có 3! hoán vị màu xanh và khi cho ô trống chạy trong 7 ô thì ta có 7 cách với mỗi hoán vị tức là có 3!.7

3 viên đỏ cạnh nhau đứng trước, 3 viên xanh đứng sau làm tương tự cũng có 3!.7

vậy có 84 cách xếp

 

[lamtrang0708]

Phần b : 3 viên màu xanh cạnh nhau đẳng sau là 3 viên màu đỏ:

sẽ có 3! hoán vị màu xanh và khi cho ô trống chạy trong 7 ô thì ta có 7 cách với mỗi hoán vị tức là có 3!.7

3 viên đỏ cạnh nhau đứng trước, 3 viên xanh đứng sau làm tương tự cũng có 3!.7

vậy có 84 cách xếp

đáp số là 36 cách ạ ....................................................................

Đề sai. :|. Phải là 6 ô thì câu a mới đúng

 

[duynhan1]

2.(TK 10_11) Cho tập hợp A = { 1;2;4;5;8 }
Từ các chữ số của A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau. Tính tổng tất cả các số đó.
ĐS: 120 số; 533280

[TEX]A_5^4 = 120 [/TEX] số.

Tổng các chữ số :
[TEX](1+2+4+5+8)*A_4^3 * (10^0+10^1+10^2+10^3) = 533280 [/TEX]

Tham khảo bài này để hiểu ý b http://diendan.hocmai.vn/showpost.php?p=1280174&postcount=16

 

[lamtrang0708]

uầy hiểu cái cách tính đó
làm thử bài nì nữa
tính tổng các số chẵn có 4 c/s phân biệt tạo ra từ các c/s từ 0->6

 

[lamtrang0708]

1)có 9 bi xanh , 5 bi đỏ , 4 bi vàng , đôi 1 # nhau
chọn trong đó 6 viên bi sao cho
a) có đủ 3 màu
b) có bi xanh = bi đỏ
2) có 20 sinh viên (SV) 8sv chỉ biết tiếng anh , 7 sv chỉ bik tiếng pháp , 5 sv chỉ biết tiếng nhật . lập 1 đội gồm 7 sv sao cho
a) có đủ sv để dịch cả 3 laoị ngoại ngữ
b) mỗi loại ngoại ngữ chỉ có ít nhất 2 sv để hỗ trợ lẫn nhau
...........

 

[duynhan1]

1)có 9 bi xanh , 5 bi đỏ , 4 bi vàng , đôi 1 # nhau
chọn trong đó 6 viên bi sao cho
a) có đủ 3 màu
b) có bi xanh = bi đỏ

a) Chọn tùy ý : [TEX]C_{18}^6 [/TEX]
Toàn xanh: [TEX]C_9^6[/TEX]
Xanh và đỏ nhưng không có vàng : [TEX] C_14^6 - C_9^6[/TEX]
Xanh và vàng nhưng không có đỏ: [TEX] C_13^6 - C_9^6[/TEX]
ĐỎ và vàng nhưng không có xanh : [TEX] C_9^6[/TEX]

Số cách thỏa mãn đề bài : [TEX] C_{18}^6 -(C_9^6 +C_14^6 - C_9^6+ C_13^6 - C_9^6+ C_9^6) [/TEX]

b) Có các TH sau :
-1 X, 1Đ, 4 vàng: [TEX]9.5.1[/TEX]

-2X,2Đ, 2 vàng: [TEX] C_9^2 . C_5^2 . C_4^2[/TEX]

-3 X , 3Đ, 0 vàng: [TEX] C_9^3.C_5^3[/TEX]

 

[duynhan1]

2) có 20 sinh viên (SV) 8sv chỉ biết tiếng anh , 7 sv chỉ bik tiếng pháp , 5 sv chỉ biết tiếng nhật . lập 1 đội gồm 7 sv sao cho
a) có đủ sv để dịch cả 3 laoị ngoại ngữ
b) mỗi loại ngoại ngữ chỉ có ít nhất 2 sv để hỗ trợ lẫn nhau
...........

a) Tương tự câu a bài trên

b) Có các TH:

- 2 A, 2 P, 3 N
-2A,3P,2N
-3A,2P,2N

A: anh ; P : Pháp; N: Nhật

 

[tvxq289]

Cho các chữ số 0,1,2,3,4 có bao nhiêu các viết thành số có 7 chữ số sao cho số 4 có mặt đúng 3 lần các số khác có mặt 1 lần

 

[bigbang195]

Cho các chữ số 0,1,2,3,4 có bao nhiêu các viết thành số có 7 chữ số sao cho số 4 có mặt đúng 3 lần các số khác có mặt 1 lần

7 số thì có 7! hoán vị nhưng do số 4 có mặt 3 lần nên khi đổi chỗ các số 4 này cho nhau ta vẫn được số như ban đầu vậy thức chất chỉ có[TEX] \frac{7!}{3!}[/TEX]

nhưng trong này vẫn chứa các số hạng có số 0 đứng đầu và số các số đó là :

- vì nếu loại bỏ số 0 ở đầu thì coi như số đó còn 6 chữ số 1,2,3,4 và số 4 lặp lại 3 lần nên lặp luận tương tự ta có số các số như thế là [TEX]\frac{6!}{3!}[/TEX]

Đáp số là[TEX] \frac{7!-6!}{3!}[/TEX]

 

[duynhan1]

Cho các chữ số 0,1,2,3,4 có bao nhiêu các viết thành số có 7 chữ số sao cho số 4 có mặt đúng 3 lần các số khác có mặt 1 lần

Dùng chỉnh hợp
[TEX]A_7^4 - A_6^3 = 720 [/TEX] cách