[Chuyên đề 1 ] Lượng giác

Status
Không mở trả lời sau này.
D

duynhan1

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC​

Để bắt đầu cuộc hành trình, ta không thể không chuẩn bị hành trang lên đường. Toán học cũng vậy. Muốn khám phá cái hay cái đẹp của lượng giác, ta cần có những "vật dụng" chắc chắn và hữu dụng. Vì vậy mình lập ra topic này để các bạn cùng nhau post những bài lượng giác hay để chúng ta cùng nhau thảo luận và làm quen với dạng toán này, chuẩn bị kiến thức cho phần phương trình lượng giác lớp 11.
Mong các bạn ủng hộ.

Mình xin post trước 2 bài:

Bài 1:Tính

a) [TEX]tan 9^o -tan 27^o - tan 63^o + tan 81^o[/TEX]

b) [TEX]\frac{1}{sin 18^o} - \frac{1}{sin 54^o}[/TEX]

Bài 2: Rút gọn:

a) [TEX]cos ({\pi}/{11}) + cos ({3\pi}/{11}) + cos ({5\pi}/{11})+ cos ({7\pi}/{11}) +cos ({9\pi}/{11})[/TEX]

b) [TEX]sin ({2 \pi}/{7}) + sin ({4 \pi}/{7}) + sin ({6 \pi}/{7})[/TEX]

c) [TEX]sin ({\pi}/{11}) + sin ({2 \pi}/{11}) + .....+sin ({10 \pi}/{11})[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
R

rooney_cool

Bài 1 :D |-)

gif.latex

Câu [TEX] b[/TEX] đã được tính luôn trong câu [TEX]a[/TEX] :) He
 
Last edited by a moderator:
P

phuong10a3

1,rút gọn:A=[tex]\frac{tan2a+cot2a}{1+tan2a.tan4a}[/tex]
2,tính:B=cosa.cos2a.cos4a..... .cos2^n a
3,rút gọn:D=cos^3 a.cos3a+sin^3 a.sin3a
4,cmr: tana+tanb+tanc-[tex]\frac{sin(a+b+c)}{cosa.cosb.cosc}[/tex] = tana.tanb.tanc
5,so sánh: sin1, sin2, sin3
6,rut gọn: C=[tex]\frac{1}{cos^6x}[/tex] - tan^6 x- [tex]\frac{3tan^2 x}{cos^2 x}[/tex]
 
Last edited by a moderator:
D

duynhan1

2,tính:B=cosa.cos2a.cos4a..... .cos2^n a

[TEX]B.sin a= sina.cosa.cos2a.....cos 2^n.a[/TEX]

[TEX]B. sina = \frac{sin 2^na.cos2^n.a}{2^n} = \frac{sin 2^{n+1}. a}{2^{n+1}}}[/TEX]

[TEX]B= \frac{sin( 2^{n+1}.a)}{2^{n+1}.sina}[/TEX]

So sánh sin1, sin2, sin 3

[TEX]sin1 - sin2 = 2. cos {\frac{3}{2}}. cos{\frac{-1}{2}} >0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow sin1>sin2[/TEX]

Tương tự [TEX]sin2>sin3[/TEX]

3. rút gọn [TEX]A=cos^3.cos3a + sin^3a.sin3a[/TEX]

[TEX]A=cos^3.(4cos^3a-3 cos a) + sin^3a(3sina - 4sin^3a)[/TEX]

[TEX]A= 4(cos^6a-sin^6a) + 3 (sin^4a-cos^4a)[/TEX]

[TEX]DAT: t=sin^2a[/TEX]

[TEX]A=4((1-t)^3-t^3) + 3 (t^2-(1-t)^2 )[/TEX]

[TEX]A= 4 -12t + 12t^2 - 8 t^3 - 3 + 6t[/TEX]

[TEX]A=-8t^3 +12t^2 -6t +1[/TEX]

[TEX]A=(1-2t)^2 = (1-2sin^2a)^2 = (cos 2a)^2= cos^2 2a[/TEX]

[TEX]6. C= \frac{1}{cos ^6 x} - tan^6 x - 3 \frac{tan^2 x}{cos^2x}[/TEX]

[TEX]C= \frac{1-sin^6x}{cos^6} - \frac{3sin^2x}{cos^4x}[/TEX]

[TEX]C = \frac{1-sin^6x - 3sin^2x.cos^2x}{cos^6x}[/TEX]

[TEX]Dat: t=sin^2x[/TEX]

[TEX]C= \frac{1-t^3 -3t + 3t^2}{(1-t)^3} =1[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
D

duynhan1

1.Tìm max: [TEX]\sqrt{sinx} + \sqrt{cos x} \forall x \in (0; \frac{{\pi}}{2})[/TEX]

2.Chứng minh rằng với mọi số thực a và x ta luôn có:

[TEX]\mid \frac{(1-x^2)sina + 2x cosa}{1+x^2} \mid \leq 1[/TEX]

3. CHứng minh rằng với mọi [TEX]\Delta ABC[/TEX] ta có:

[TEX]\frac{{sin A} + {sin B} + {sin C}}{{cos A} + {cos B} + {cos C}} \leq \frac{tan A + tan B + tan C}{3}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
R

rooney_cool

1.Tìm max: [TEX]\sqrt{sinx} + \sqrt{cos x} \forall x \in (0; \frac{{\pi}}{2})[/TEX]

2.Chứng minh rằng với mọi số thực a và x ta luôn có:

[TEX]\mid \frac{(1-x^2)sina + 2x cosa}{1+x^2} \mid \leq 1[/TEX]

3. CHứng minh rằng với mọi [TEX]\Delta ABC[/TEX] ta có:

[TEX]\frac{{sin A} + {sinb B} + {sin C}}{{cos A} + {cos B} + {cos C}} \leq \frac{tan A + tan B + tan C}{3}[/TEX]

Áp dụng [TEX]Cauchy - Schwars[/TEX]

gif.latex


Dấu bằng xảy ra khi [TEX]sinx = cos x = \frac{\pi}{4}[/TEX]

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

gif.latex


Áp dụng [TEX]Cauchy - Schwars [/TEX]là ra (trong đó có cặp số [TEX]sina ; cosa[/TEX])
 
Last edited by a moderator:
R

rooney_cool

BT thôi ^^

Cho [TEX]a,b[/TEX] là 2 số thực thỏa

[TEX]cosa + cosb + cosacosb \geq 0[/TEX]

[TEX]CMR: cosa + cosb \geq 0[/TEX]
 
G

giotbuonkhongten

Ủng hộ vài bài^^!

Giải pt
[tex]1. \frac{ Sin^{10}{x} + cos^{10}{x} }{4}= \frac{ sin^6{x} + cos^6{x}}{4cos^2{2x} + sin^2{2x} }[/tex]

[TEX]2. tanx + tan^2{x} + tan^3{x} + cotx + cot^2{x} + cot^3{x} = 6[/TEX]

[TEX]3. cos^{13}{x} + sin^{14}{x} = 1[/TEX]

[TEX]4. sin x + {\sqrt{2 - sin^2x} + sin x \sqrt {2 - sin^2x} = 3[/TEX]

Đinh a để pt sau có nghiệm

[tex]5. \left\{ cosx = a cos^3{y} \\ sinx = a sin^3{y} \right.[/tex]



Giải hệ pt


[tex]6. \left\{ cosx - cos2y = x - 2y\\ tanx = 3 tany \right.[/tex]

Khi nào rảnh lại post tiếp :)
Sr mấy e. Mấy bài hệ nếu chưa học thì sau này giải cũng được. :D
 
Last edited by a moderator:
R

rua_it

Cho [TEX]a,b[/TEX] là 2 số thực thỏa

[TEX]cosa + cosb + cosacosb \geq 0[/TEX]

[TEX]CMR: cosa + cosb \geq 0[/TEX]
[tex]\mathrm{Dat:\left{\begin{x=cosa}\\{y=cosb \ (DK:\ 0 \leq x,y \leq 1)[/tex]

[tex]\mathrm{AM-GM \Rightarrow \frac{cosa+cosb}{2}+1 \geq 2.\sqrt{(1+x).(1+y)}(1)[/tex]

[tex]x+y+x.y=(x+1).(y+1)-1 \Rightarrow cosa + cosb + cosacosb \geq 0 \Leftrightarrow (x=y)(y+1) \geq 1(2)[/tex]

[tex](1)&(2)\Rightarrow cosa+cosb \geq 0[/tex]
 
Last edited by a moderator:
Q

quyenuy0241

\Leftrightarrow
Giải pt
[tex]1. \frac{ Sin^{10}{x} + cos^{10}{x} }{4}= \frac{ sin^6{x} + cos^6{x}}{4cos^2{2x} + sin^2{2x} }[/tex]

[TEX]2. tanx + tan^2{x} + tan^3{x} + cotx + cot^2{x} + cot^3{x} = 6[/TEX]

[TEX]3. cos^{13}{x} + sin^{14}{x} = 1[/TEX]

[TEX]4. sin x + {\sqrt{2 - sin^2x} + sin x \sqrt {2 - sin^2x} = 3[/TEX]

Đinh a để pt sau có nghiệm

[tex]5. \left\{ cosx = a cos^3{y} \\ sinx = a sin^3{y} \right.[/tex]



Giải hệ pt

[tex]6. \left\{ cosx - cos2y = x - 2y\\ tanx = 3 tany \right.[/tex]

Khi nào rảnh lại post tiếp :)
Sr mấy e. Mấy bài hệ nếu chưa học thì sau này giải cũng được. :D

1.[tex]sin^10x+cos^10x \le sin^6x+cos^6x [/tex]

[tex]4=4sin^22x+4cos^22x \le 4cos^2x+sin^2x[/tex]

Suy ra [tex]VP \ge VP [/tex]

Giải dấu = ra là ok

2. [tex] tanx+cosx \ge 2 [/tex]

[tex]cot^2x+tan^2x \ge 2 [/tex]

[tex]cot^3x+tan^3x \ge 2 [/tex]

[tex]VT \ge VP [/tex]

Giải dấu = ra là ok

3. [tex]\left{\begin{cos^13x \le cos^2x \\ sin^14x \le sin^2x}[/tex]

[tex]VT \le VP[/tex]

Giải dấu = ra là ok

4.

BCS:

[tex](sinx+\sqrt{2-sin^2x})^2 \le (1+1)(sin^2x+2-sin^2x)=4 \Rightarrow sinx+\sqrt{2-sin^2x}\le 2 [/tex]

[tex]sinx.\sqrt{2-sin^2x} \le |sinx.\sqrt{2-sin^2x}| \le \frac{sin^2x+2-sin^2x}{2}=1[/tex]

Công 2 BDT trên

[tex]Vt \le Vp [/tex]

Giải dấu = là ok
 
R

rua_it

3. CHứng minh rằng với mọi [TEX]\Delta ABC[/TEX] ta có:

[TEX]\frac{{sin A} + {sin B} + {sin C}}{{cos A} + {cos B} + {cos C}} \leq \frac{tan A + tan B + tan C}{3}[/TEX]
Dễ nhận thấy [tex]\mathrm{Chebyshev's \ inequality}[/tex] :D

[tex]\mathrm{(\frac{cosA+cosB+cosC}{3}).(\frac{tanA+tanB+tanC}{3}) \geq \frac{1}{3}.(sinA+sinB+sinC)(Ass:C \geq B \geq A)}[/tex]
 
Last edited by a moderator:
D

duynhan1


[TEX]\frac{sin {\frac{a+b}{2}}}{cos {\frac{a+b}{2}}} = \frac{sin a + sinb }{cos a + cos b} = \frac{21}{27} [/TEX]

Lại có : [TEX]sin ^2({\frac{a+b}{2}}) + cos^2 ({\frac{a+b}{2}}) =1 [/TEX]

Do đk: [TEX]2 \pi <a+b< 3 \pi[/TEX] [TEX]\Rightarrow cos {\frac{a+b}{2}} <0 & sin {\frac{a+b}{2}} <0[/TEX]

Tính được [TEX]\Rightarrow cos {\frac{a+b}{2}} & sin {\frac{a+b}{2}} [/TEX]

Áp dụng công thức nhân đôi tính cái còn lại
 
Last edited by a moderator:
B

bigbang195

Tính
gif.latex


Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có

gif.latex
 
Last edited by a moderator:
Status
Không mở trả lời sau này.
Top Bottom