Toán 10 Cho a,b,c≥1a,b,c\geq 1. CMR: ∑11+a≥31+abc3\sum \frac{1}{1+a}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{abc}}

[minhchau2003xp]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giúp mình với

 

[Ann Lee]

BĐT bổ đề: Với $$x;y\geq 1$$ ta luôn có $$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$
(có thể chứng minh bằng cách biến đổi tương đương)

BĐT cần chứng minh:
$$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{abc}}\\\Leftrightarrow \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{abc}}\geq \frac{4}{1+\sqrt[3]{abc}}$$
Áp dụng BĐT bổ đề ta được:
$$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{abc}}\\\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}+\frac{2}{1+\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}}\\=2.\left ( \frac{1}{1+\sqrt{ab}}+\frac{1}{1+\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}} \right )\\\geq 2.\frac{2}{1+\sqrt[4]{abc\sqrt[3]{abc}}}\\=\frac{4}{1+\sqrt[3]{abc}}$$
Vậy BĐT được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]

 

[minhchau2003xp]

sao đang căn 4 bên dưới lại căn 3

 

[minhchau2003xp]

BĐT bổ đề: Với $$x;y\geq 1$$ ta luôn có $$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$
(có thể chứng minh bằng cách biến đổi tương đương)

BĐT cần chứng minh:
$$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{abc}}\\\Leftrightarrow \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{abc}}\geq \frac{4}{1+\sqrt[3]{abc}}$$
Áp dụng BĐT bổ đề ta được:
$$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{abc}}\\\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}+\frac{2}{1+\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}}\\=2.\left ( \frac{1}{1+\sqrt{ab}}+\frac{1}{1+\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}} \right )\\\geq 2.\frac{2}{1+\sqrt[4]{abc\sqrt[3]{abc}}}\\=\frac{4}{1+\sqrt[3]{abc}}$$
Vậy BĐT được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]

chỗ dấu = thứ nhất rồi làm kiểu gì vậy

 

[Ann Lee]

sao đang căn 4 bên dưới lại căn 3

$$\sqrt[4]{abc\sqrt[3]{abc}}=\sqrt[4]{\sqrt[3]{(abc)^4}}=\sqrt[3]{\sqrt[4]{(abc)^4}}=\sqrt[3]{abc}$$

chỗ dấu = thứ nhất rồi làm kiểu gì vậy

Mình không hiểu câu hỏi của bạn.

 

[minhchau2003xp]

$$\sqrt[4]{abc\sqrt[3]{abc}}=\sqrt[4]{\sqrt[3]{(abc)^4}}=\sqrt[3]{\sqrt[4]{(abc)^4}}=\sqrt[3]{abc}[/t$$

Cảm ơn bạn

$$\sqrt[4]{abc\sqrt[3]{abc}}=\sqrt[4]{\sqrt[3]{(abc)^4}}=\sqrt[3]{\sqrt[4]{(abc)^4}}=\sqrt[3]{abc}$$

Mình không hiểu câu hỏi của bạn.

mà áp dụng BDT nào mà lại ra căn bậc 4 vậy

 

[Ann Lee]

Cảm ơn bạn

mà áp dụng BDT nào mà lại ra căn bậc 4 vậy

BĐT này bạn nhé
BĐT bổ đề: Với $$x;y\geq 1$$ ta luôn có $$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$

$$\frac{1}{1+\sqrt{ab}}+\frac{1}{1+\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}} \geq \frac{2}{1+\sqrt{\sqrt{ab}.\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}}}=\frac{2}{1+\sqrt[4]{abc\sqrt[3]{abc}}}$$

 

[Hoàng Vũ Nghị]

BĐT bổ đề: Với $$x;y\geq 1$$ ta luôn có $$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$
(có thể chứng minh bằng cách biến đổi tương đương)

BĐT cần chứng minh:
$$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{abc}}\\\Leftrightarrow \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{abc}}\geq \frac{4}{1+\sqrt[3]{abc}}$$
Áp dụng BĐT bổ đề ta được:
$$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{abc}}\\\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}+\frac{2}{1+\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}}\\=2.\left ( \frac{1}{1+\sqrt{ab}}+\frac{1}{1+\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}} \right )\\\geq 2.\frac{2}{1+\sqrt[4]{abc\sqrt[3]{abc}}}\\=\frac{4}{1+\sqrt[3]{abc}}$$
Vậy BĐT được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]

Dòng thứ 4 và 5 từ dưới lên là sao ạ .dùng Bđt gì ạ??

 

[Ann Lee]

Áp dụng BĐT bổ đề ta được:
$$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{abc}}\\\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}+\frac{2}{1+\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}}\\=2.\left ( \frac{1}{1+\sqrt{ab}}+\frac{1}{1+\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}} \right )\\\geq 2.\frac{2}{1+\sqrt[4]{abc\sqrt[3]{abc}}}\\=\frac{4}{1+\sqrt[3]{abc}}$$

Đây em, đọc thật kĩ vào.
Còn BĐT bổ đề là gì thì phiền em đọc lại bài của chị ở #2

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Đây em, đọc thật kĩ vào.

dạ hiểu rồi ạ cảm ơn chị )