Bất đẳng thức

[uptotheair]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng: [TEX]x^2 + y^2 + z^2 +xyz \geq4[/TEX]
2. Cho [TEX]\left\{ \begin{array}{l} x, y, z\geq0 \\ x + y + z =1 \end{array} \right. [/TEX]. Chứng minh rằng:[TEX] 0\leq xy + yz + zx -2xyz\leq\frac{7}{27}[/TEX].
3. Cho [TEX] 0\leq a, b, c\leq 1[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]a^2 + b^2 + c^2 \leq a^2 b +b^2 c +c^2 a+1[/TEX].
4. Cho [TEX]\left\{ \begin{array}{l} x, y, z\geq 0 \\ x + y + z = 1 \end{array} \right.[/TEX].Chứng minh rằng: [TEX]x^3 + y^3 + z^3 + 6xyz\geq\frac{1}{4}[/TEX].
5. Cho [TEX]\left\{ \begin{array}{l} x, y, z\geq0 \\ x + y + z =1 \end{array} \right.[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]x^2 y +y^2 z+ z^2 x \leq\frac{4}{27}[/TEX].
6. Chứng minh rằng với [TEX]\forall m \leq 1[/TEX] thì [TEX]x^2 -2(3m - 1)x + m + 3\geq 0[/TEX] với [TEX]\forall x \in \ [1; +\infty)[/TEX].

 

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1. Giả thuết $(y-1)(z-1)\ge 0$, khi đó ta có $x^2+xyz\ge 2x$ nên $x^2+y^2+z^2+xyz\ge y^2+z^2+2x$
Ngoài ra $y^2+z^2\ge 2y+2z-2$ nên $x^2+y^2+z^2+xyz\ge 2(x+y+z)-2=4$
Bài 2. $xy+yz+zx-2xyz=yz(1-2x)+x(y+z)\ge 0$ với giả thiết $x\le y,z$
Áp dụng bất đẳng thức Schur: $xy+yz+zx-2xyz\le xy+yz+zx-\dfrac{8(xy+yz+zx)+2}{9}=\dfrac{xy+yz+zx+2}{9}\le \dfrac{7}{27}$
Bài 3. Biến đổi bất đẳng thức về dạng: $(1-b)a^2-c^2a+b^2+c^2-b^2c\le 1$
Vế trái là một hàm lồi theo $a$, ta chỉ cần kiểm tra bất đẳng thức khi:
+ $a=0$, bất đẳng thức trở thành: $b^2+c^2\le b^2c+1$
Ta có $b^2+c^2\le b^2+c=b^2c+1+(b^2-1)(1-c)\le b^2c+1$
+ $a=1$, bất đẳng thức trở thành: $(1-c)b^2\le b$
Ta có $(1-c)b^2\le b^2\le b$
Bài 5. $x^2y+y^2z+z^2x\le x^2y+y^2z+z^2x+xyz$
Xét hàm số $f(t)=4(x+y+z+3t)^3-27((x+t)^2(y+t)+(y+t)^2(z+t)+(z+t)^2(x+t))$ với $0\ge t\ge -z=\text{min}\{x,y,z\}$
Ta có $f'(t)=\dfrac{9((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)}{2}\ge 0$ nên $f(t)\ge f(-z)$
Ta chuyển về chứng minh cho trường hợp $z=0$ hay là chứng minh: $x^2y\le \dfrac{4}{27}$
Bất đẳng thức này đúng theo AM-GM: $xxy\le \dfrac{(x+x+2y)^2}{54}=\dfrac{4}{27}$
Bài 6. $f(x)=x^2-2(3m-1)x+m+3$. Ta có $f'(x)=2(x-3m+1)=0$ thì $x=3m-1$
Nếu $m\le \dfrac{2}{3}$ thì $f'(x)\ge 0$ nên $f(x)\ge f(1)=-5m+6>0$
Nếu $1\ge m\ge \dfrac{2}{3}$ thì $f(x)\ge f\left(3m-1\right)=-(3m-1)^2+m+3=(9m+2)(1-m)\ge 0$