Bất đẳng thức

Thảo luận trong 'Chuyên đề 10: Bất đẳng thức, tìm Min-Max' bắt đầu bởi uptotheair, 16 Tháng tám 2015.

Lượt xem: 662

  1. uptotheair

    uptotheair Guest

    [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn học. Click ngay để nhận!


    Bạn đang TÌM HIỂU về nội dung bên dưới? NẾU CHƯA HIỂU RÕ hãy ĐĂNG NHẬP NGAY để được HỖ TRỢ TỐT NHẤT. Hoàn toàn miễn phí!

    1. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng: [TEX]x^2 + y^2 + z^2 +xyz \geq4[/TEX]
    2. Cho [TEX]\left\{ \begin{array}{l} x, y, z\geq0 \\ x + y + z =1 \end{array} \right. [/TEX]. Chứng minh rằng:[TEX] 0\leq xy + yz + zx -2xyz\leq\frac{7}{27}[/TEX].
    3. Cho [TEX] 0\leq a, b, c\leq 1[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]a^2 + b^2 + c^2 \leq a^2 b +b^2 c +c^2 a+1[/TEX].
    4. Cho [TEX]\left\{ \begin{array}{l} x, y, z\geq 0 \\ x + y + z = 1 \end{array} \right.[/TEX].Chứng minh rằng: [TEX]x^3 + y^3 + z^3 + 6xyz\geq\frac{1}{4}[/TEX].
    5. Cho [TEX]\left\{ \begin{array}{l} x, y, z\geq0 \\ x + y + z =1 \end{array} \right.[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]x^2 y +y^2 z+ z^2 x \leq\frac{4}{27}[/TEX].
    6. Chứng minh rằng với [TEX]\forall m \leq 1[/TEX] thì [TEX]x^2 -2(3m - 1)x + m + 3\geq 0[/TEX] với [TEX]\forall x \in \ [1; +\infty)[/TEX].
     
    Last edited by a moderator: 16 Tháng tám 2015
  2. [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn học. Click ngay để nhận!


    Bạn đang TÌM HIỂU về nội dung bên dưới? NẾU CHƯA HIỂU RÕ hãy ĐĂNG NHẬP NGAY để được HỖ TRỢ TỐT NHẤT. Hoàn toàn miễn phí!

    Bài 1. Giả thuết $(y-1)(z-1)\ge 0$, khi đó ta có $x^2+xyz\ge 2x$ nên $x^2+y^2+z^2+xyz\ge y^2+z^2+2x$
    Ngoài ra $y^2+z^2\ge 2y+2z-2$ nên $x^2+y^2+z^2+xyz\ge 2(x+y+z)-2=4$
    Bài 2. $xy+yz+zx-2xyz=yz(1-2x)+x(y+z)\ge 0$ với giả thiết $x\le y,z$
    Áp dụng bất đẳng thức Schur: $xy+yz+zx-2xyz\le xy+yz+zx-\dfrac{8(xy+yz+zx)+2}{9}=\dfrac{xy+yz+zx+2}{9}\le \dfrac{7}{27}$
    Bài 3. Biến đổi bất đẳng thức về dạng: $(1-b)a^2-c^2a+b^2+c^2-b^2c\le 1$
    Vế trái là một hàm lồi theo $a$, ta chỉ cần kiểm tra bất đẳng thức khi:
    + $a=0$, bất đẳng thức trở thành: $b^2+c^2\le b^2c+1$
    Ta có $b^2+c^2\le b^2+c=b^2c+1+(b^2-1)(1-c)\le b^2c+1$
    + $a=1$, bất đẳng thức trở thành: $(1-c)b^2\le b$
    Ta có $(1-c)b^2\le b^2\le b$
    Bài 5. $x^2y+y^2z+z^2x\le x^2y+y^2z+z^2x+xyz$
    Xét hàm số $f(t)=4(x+y+z+3t)^3-27((x+t)^2(y+t)+(y+t)^2(z+t)+(z+t)^2(x+t))$ với $0\ge t\ge -z=\text{min}\{x,y,z\}$
    Ta có $f'(t)=\dfrac{9((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)}{2}\ge 0$ nên $f(t)\ge f(-z)$
    Ta chuyển về chứng minh cho trường hợp $z=0$ hay là chứng minh: $x^2y\le \dfrac{4}{27}$
    Bất đẳng thức này đúng theo AM-GM: $xxy\le \dfrac{(x+x+2y)^2}{54}=\dfrac{4}{27}$
    Bài 6. $f(x)=x^2-2(3m-1)x+m+3$. Ta có $f'(x)=2(x-3m+1)=0$ thì $x=3m-1$
    Nếu $m\le \dfrac{2}{3}$ thì $f'(x)\ge 0$ nên $f(x)\ge f(1)=-5m+6>0$
    Nếu $1\ge m\ge \dfrac{2}{3}$ thì $f(x)\ge f\left(3m-1\right)=-(3m-1)^2+m+3=(9m+2)(1-m)\ge 0$
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY