Bất Đẳng Thức

H

huynhbachkhoa23

Ta sẽ chứng minh giá trị nhỏ nhất sẽ bằng $\dfrac{3}{4}$
Đặt $x=a^{-1}, y=b^{-1}, z=c^{-1} \to a,b,c>0$ và $abc=1$. Đặt $t=a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}=3$
$\sum \dfrac{1}{x^4(y+1)(z+1)}=\sum \dfrac{a^4bc}{(b+1)(c+1)}=\sum \dfrac{a^3}{(b+1)(c+1)}$
Áp dụng bất đẳng thức Holder:
$\left[\sum \dfrac{a^3}{(b+1)(c+1)}\right]\left(a+b+c+3\right)^2 \ge (a+b+c)^3$
Do đó ta cần chứng minh: $4(a+b+c)^3\ge 3(a+b+c+3)^2 \leftrightarrow 4t^3-3(t+3)^2\ge 0 \leftrightarrow (t-3)(4t^2+9t+9) \ge 0$ luôn đúng.
Ta có điều cần chứng minh.
 
H

hocmai.toanhoc

steelheart1809 said:

Cho các số thực dương thỏa mãn $xyz=1$. Tìm min:
$\frac{1}{x^4(y+1)(z+1)}+\frac{1}{y^4(z+1)(x+1)}$+$\frac{1}{z^4(x+1)(y+1)}$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Đặt tương tự như bạn #huynhbachkhoa23
ta được ........

$${{{a^3} \over {\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}}} + \dfrac{{1 + b}}{8} + \dfrac{{1 + c}}{8} \ge \dfrac{3}{4}a$$
$${{{{b^3}} \over {\left( {1 + c} \right)\left( {1 + a} \right)}}} + \dfrac{{1 + c}}{8} + \dfrac{{1 + a}}{8} \ge \dfrac{3}{4}b$$
$${{{{c^3}} \over {\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)}}} + \dfrac{{1 + a}}{8} + \dfrac{{1 + b}}{8} \ge \frac{3}{4}c$$
$$= > {{{{a^3}} \over {\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}}} + {{{{b^3}} \over {\left( {1 + c} \right)\left( {1 + a} \right)}}} + {{{{c^3}} \over {\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)}}} + \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}\left( {a + b + c} \right) \ge {{3 \over 4}}\left( {a + b + c} \right)$$
$$= > {{{{a^3}} \over {\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}}} + {{{{b^3}} \over {\left( {1 + c} \right)\left( {1 + a} \right)}}} + {{{{c^3}} \over {\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)}}} \ge {{1 \over 2}}\left( {a + b + c} \right) - \dfrac{3}{4}={{3 \over 2}} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}$$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom