Ta sẽ chứng minh giá trị nhỏ nhất sẽ bằng $\dfrac{3}{4}$
Đặt $x=a^{-1}, y=b^{-1}, z=c^{-1} \to a,b,c>0$ và $abc=1$. Đặt $t=a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}=3$
$\sum \dfrac{1}{x^4(y+1)(z+1)}=\sum \dfrac{a^4bc}{(b+1)(c+1)}=\sum \dfrac{a^3}{(b+1)(c+1)}$
Áp dụng bất đẳng thức Holder:
$\left[\sum \dfrac{a^3}{(b+1)(c+1)}\right]\left(a+b+c+3\right)^2 \ge (a+b+c)^3$
Do đó ta cần chứng minh: $4(a+b+c)^3\ge 3(a+b+c+3)^2 \leftrightarrow 4t^3-3(t+3)^2\ge 0 \leftrightarrow (t-3)(4t^2+9t+9) \ge 0$ luôn đúng.
Ta có điều cần chứng minh.