Bất Đẳng Thức

Thảo luận trong 'Chuyên đề 10: Bất đẳng thức, tìm Min-Max' bắt đầu bởi steelheart1809, 1 Tháng hai 2015.

Lượt xem: 890

  1. [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn học. Click ngay để nhận!


    Bạn đang TÌM HIỂU về nội dung bên dưới? NẾU CHƯA HIỂU RÕ hãy ĐĂNG NHẬP NGAY để được HỖ TRỢ TỐT NHẤT. Hoàn toàn miễn phí!


    Cho các số thực dương thỏa mãn $xyz=1$. Tìm min:

    $\frac{1}{x^4(y+1)(z+1)}+\frac{1}{y^4(z+1)(x+1)}$+$\frac{1}{z^4(x+1)(y+1)}$
     
  2. Ta sẽ chứng minh giá trị nhỏ nhất sẽ bằng $\dfrac{3}{4}$
    Đặt $x=a^{-1}, y=b^{-1}, z=c^{-1} \to a,b,c>0$ và $abc=1$. Đặt $t=a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}=3$
    $\sum \dfrac{1}{x^4(y+1)(z+1)}=\sum \dfrac{a^4bc}{(b+1)(c+1)}=\sum \dfrac{a^3}{(b+1)(c+1)}$
    Áp dụng bất đẳng thức Holder:
    $\left[\sum \dfrac{a^3}{(b+1)(c+1)}\right]\left(a+b+c+3\right)^2 \ge (a+b+c)^3$
    Do đó ta cần chứng minh: $4(a+b+c)^3\ge 3(a+b+c+3)^2 \leftrightarrow 4t^3-3(t+3)^2\ge 0 \leftrightarrow (t-3)(4t^2+9t+9) \ge 0$ luôn đúng.
    Ta có điều cần chứng minh.
     
  3. Đặt tương tự như bạn #huynhbachkhoa23
    ta được ........

    $${{{a^3} \over {\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}}} + \dfrac{{1 + b}}{8} + \dfrac{{1 + c}}{8} \ge \dfrac{3}{4}a$$
    $${{{{b^3}} \over {\left( {1 + c} \right)\left( {1 + a} \right)}}} + \dfrac{{1 + c}}{8} + \dfrac{{1 + a}}{8} \ge \dfrac{3}{4}b$$
    $${{{{c^3}} \over {\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)}}} + \dfrac{{1 + a}}{8} + \dfrac{{1 + b}}{8} \ge \frac{3}{4}c$$
    $$= > {{{{a^3}} \over {\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}}} + {{{{b^3}} \over {\left( {1 + c} \right)\left( {1 + a} \right)}}} + {{{{c^3}} \over {\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)}}} + \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}\left( {a + b + c} \right) \ge {{3 \over 4}}\left( {a + b + c} \right)$$
    $$= > {{{{a^3}} \over {\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}}} + {{{{b^3}} \over {\left( {1 + c} \right)\left( {1 + a} \right)}}} + {{{{c^3}} \over {\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)}}} \ge {{1 \over 2}}\left( {a + b + c} \right) - \dfrac{3}{4}={{3 \over 2}} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}$$
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY