), hem biết nó có đơn giản bằng cách khác hay ko =((Sao kia lại là số 2 nhỉ? Vậy thì $a,b,c$ phải không âm thì dấu bằng mới xảy ra:Lâu òi, chưa có thời gian cùng pic
Hôm nay, có 1 bài, vừa chế hôm qua
Bài 47:
Cho a,b,c là các số đương, chứng minh rằng:
$1+ \sum a + \sum a^2 + \sum a^3 \ge (1+\sqrt[3]{abc})^2 + 2.(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\ (*)$
)Nếu $a=b=c=1$ thì sao nhể
Thay vào nhá:
$1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 \ge (1+\sqrt[3]{1.1.1})^3 + 2.(1+1-1).(1+1-1).(1+1-1)$
$<-> 10 \ge 10$
Vậy dấu "=" có xảy ra ko nhể
Búa liềm giề, nhìn cái cục đằng sau suy ra BĐT nó $ \le 2abc$ là đúng òi^^
Hai tuần kí túc giờ ms về pic được,lâu k thấy bò mần hộ nên đăng lời giải mn tham khảo
Bài này bổ sung thêm được rằng chỉ cần a;b;c là 3 số thực dương là đủ
Nếu $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$ k dương thì ta có ngay đpcm.Mặt khác, thấy rằng 2 số bất kì trong 3 số k thể cùng âm vì nó có tổng là 2a;2b;2c.Vậy ta đưa bài toán đc về trường hợp 3 cạnh 1 tam giác
Sử dụng hệ thức Lai-bơ-nít đã nêu ở trên,ta suy ra được:
$9R^2$ \geq $a^2+b^2+c^2$
\Leftrightarrow $\frac{a^2b^2c^2}{16R^2}$ \leq $\frac{9a^2b^2c^2}{16(a^2+b^2+c^2)}$
\Leftrightarrow $$ 16S^2(a^2+b^2+c^2) \le 9a^2b^2c^2 $$
Sử dụng hệ thức Hê-rông ta suy ra được đpcm
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c
Bò: Sắp off, phải lo hậu sự trước, ko để ý tới mấy page dưới :">
):
Bác cứ từ từ cho bọn em suy nghĩ, nóng thế
---------
*) Nếu có 2 biến không bé hơn $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$, một biến không lớn hơn $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ thì: ...
*) Nếu cả ba biến không lớn hơn $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ thì:
Áp dụng Cauchy 3 số ta có:
$$(\dfrac{2}{9}-c^2)(\dfrac{2}{9}-b^2)(\dfrac{2}{9}-a^2)\le \dfrac{\left(\dfrac{2}{3}-a^2-b^2-c^2\right)^3}{27}\ (1)$$
Mà do $a+b+c=1\Rightarrow a^2+b^2+c^2=1-2(ab+bc+ca)$, thay $a^2+b^2+c^2$ vào $(1)$ có:
$$(\dfrac{2}{9}-c^2)(\dfrac{2}{9}-b^2)(\dfrac{2}{9}-a^2)\le \dfrac{[6(ab+bc+ca)-1)^3]}{729}$$
Đặt $ab+bc+ca=p$ với $0<p\le \dfrac{1}{3}$, ta cần c/m:
$$p\ge 9\sqrt{\dfrac{(6p-1)^3}{729}}\\ \Leftrightarrow p^2\ge 81. \dfrac{(6p-1)^3}{729}\\ \Leftrightarrow 9p^2-(6p-1)^3\ge 0\\ \Leftrightarrow (1-3p)(72p^2-15p+1)\ge 0$$
Đúng vì $0<p\le \dfrac{1}{3}$
Vậy BĐT được c/m. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}\ \square$
