Bất đẳng thức THCS!(lớp 9)

[bboy114crew]

mấy dễ:
Cho a,b,c > 0 và (a+b)(b+c)(a+c)=8
CMR : $$abc(a+b+c)^3 \leq 3^3$$

 

[bboy114crew]

có bài này cũng hay!
Cho các số thực dương $$a,b,c$$ thỏa mãn $$a+b+c=1$$. Chứng minh:
$$\dfrac{a+b}{3a^2+2b+c}+\dfrac{b+c}{3b^2+2c+a}+\dfrac{c+a}{3c^2+2a+b} \le \dfrac{3}{2}$$

bài này giải như sau:
Ta có:$$3a^2+2b+c$$$$=3a^2+1-a+b$$ $$\geq a+b+\frac{2}{3}.$$
do đó:
$$\frac{a+b}{3a^2+2b+c}+\frac{b+c}{3b^2+2c+a}+\frac{c+a}{3c^2+2a+b}$$$$\le \frac{a+b}{a+b+2/3}+\frac{b+c}{b+c+2/3}+\frac{c+a}{c+a+2/3}$$$$=3-(\frac{1}{a+b+2/3}+\frac{1}{b+c+2/3}+\frac{1}{c+a+2/3})$$$$\leq 3-\frac{9}{a+b+2/3+b+c+2/3+c+a+2/3}=3/2.$$
suy ra Đpcm. dấu bằng khi và chỉ khi a=b=c=1/3

 

[thjenthantrongdem_bg]

mấy dễ:
Cho a,b,c > 0 và (a+b)(b+c)(a+c)=8
CMR : $$abc(a+b+c)^3 \leq 3^3$$

nếu sửa thành dấu lớn hơn hoặc bằng thì làm đc =))

theo Cosi ta có
(a+b)(b+c)(a+c) [TEX]\geq 8.abc[/TEX]

để (a+b)(b+c)(a+c) = 8 [TEX]\Leftrightarrow abc=1 \Leftrightarrow {a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}= 1[/TEX]

Mặt khác :

 

[daodung28]

nếu sửa thành dấu lớn hơn hoặc bằng thì làm đc =))

theo Cosi ta có
(a+b)(b+c)(a+c) [TEX]\geq 8.abc[/TEX]

để (a+b)(b+c)(a+c) = 8 [TEX]\Leftrightarrow abc=1 \Leftrightarrow {a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}= 1[/TEX]

Mặt khác :

thienthan ơi, hình như có chút nhầm lẫn
[TEX](a+b)(b+c)(a+c)\geq 8.abc \Rightarrow abc \leq 1 \Rightarrow a^2b^2c^2 \leq abc \leq 1[/TEX] chớ sao [TEX] a^2b^2c^2[/TEX]= 1 nhỉ

 

[thjenthantrongdem_bg]

thienthan ơi, hình như có chút nhầm lẫn
[TEX](a+b)(b+c)(a+c)\geq 8.abc \Rightarrow abc \leq 1 \Rightarrow a^2b^2c^2 \leq abc \leq 1[/TEX] chớ

thank you, sr nhầm chỗ đấy )

thế thì đúng đầu bài rùi đấy ạ )

 

[bboy114crew]

bài tập tự luyện!
Bài 1 : Cho a,b,c > 0 :[TEX]abc \ge 1[/TEX]
CMR : [TEX]\frac{1}{{1 + a + b}} + \frac{1}{{1 + b + c}} + \frac{1}{{1 + a + c}} \le 1[/TEX]
Bài 2 : Cho a,b,c > 0
CMR : [TEX]\frac{{{a^3}}}{{bc}} + \frac{{{b^3}}}{{ca}} + \frac{{{c^3}}}{{ab}} \ge a + b + c[/TEX]
Bài 3 :Cho x,y,z > 1 : x + y + z = 3
CMR :[TEX]\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z \ge xy + yz + z{\rm{x}}[/TEX]
Bài 4 : Cho x,y [TEX] \ge [/TEX] 0 : x+y = 2
CMR : [TEX]{{\rm{x}}^2}{y^2}({x^2} + {y^2}) \le 2[/TEX]
Bài 5 :Cho a,b,c > 0 và [TEX]\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}} \ge 2[/TEX]
CMR : [TEX]abc \le \frac{1}{8}[/TEX]
Bài 6 :x,y,z > 0 và [TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4[/TEX]
CMR : [TEX]\frac{1}{{2{\rm{x}} + y + z}} + \frac{1}{{2y + x + z}} + \frac{1}{{2{\rm{z}} + x + y}} \le 1[/TEX]
Bài 7 : [TEX]a,b,c \ge 0[/TEX]
CMR : [TEX]\sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} + \sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} + \sqrt {{c^2} - ac + {a^2}} \ge a + b + c[/TEX]

--------------------

 

[bboy114crew]

ấn tượng mãi bài này!
(a,b,c>0)cm
$$\sum\limits_{cyc} \sqrt{a^4+a^2b^2+b^4} \geq \sum\limits_{cyc} a\sqrt{2a^2+bc}$$

 

[vodichhocmai]

ấn tượng mãi bài này!
(a,b,c>0)cm
$$\sum\limits_{cyc} \sqrt{a^4+a^2b^2+b^4} \geq \sum\limits_{cyc} a\sqrt{2a^2+bc}$$

[TEX]\sum\limits_{cyc} \sqrt{a^4+a^2b^2+b^4}\ge \sqrt{3}\(a^2+b^2+c^2) [/TEX]

[TEX]3a^2+$2a^2+bc$\ge 2\sqrt{3}a\sqrt{2a^2+bc}[/TEX]

[TEX]\righ 3$a^2+b^2+c^2$\ge \sqrt{3} \sum_{cyclic} $a\sqrt{2a^2+bc}$[/TEX]

[TEX]\righ Done!![/TEX]

 

[bboy114crew]

tiếp nè!
bài 1:

$$\sum {\frac{a}{{b^2 + c^2 }}} \geq \sum {\frac{1}{{2a}}}$$

bài 2:

$$\sum {\sqrt {\frac{a}{{b + c}}} } \geq \frac{{3\sqrt 2 }}{2}$$

bài 3:

$$\sum {\sqrt[3]{{\frac{{a^2 }}{{b + c - a}}}}}\geq \sum {\sqrt[3]{a}}$$ với a,b,c là độ dài 3 cạnh một tam giác.

 

[star_music]

bài này giải như sau:
Ta có:$$3a^2+2b+c$$$$=3a^2+1-a+b$$ $$\geq a+b+\frac{2}{3}.$$
do đó:
$$\frac{a+b}{3a^2+2b+c}+\frac{b+c}{3b^2+2c+a}+\frac{c+a}{3c^2+2a+b}$$$$\le \frac{a+b}{a+b+2/3}+\frac{b+c}{b+c+2/3}+\frac{c+a}{c+a+2/3}$$$$=3-(\frac{1}{a+b+2/3}+\frac{1}{b+c+2/3}+\frac{1}{c+a+2/3})$$$$\leq 3-\frac{9}{a+b+2/3+b+c+2/3+c+a+2/3}=3/2.$$
suy ra Đpcm. dấu bằng khi và chỉ khi a=b=c=1/3

Bạn giải kĩ hơn được ko?mình thay hơi khó hiểu