Bất đẳng thức THCS!(lớp 9)

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi bboy114crew, 20 Tháng mười hai 2010.

Lượt xem: 4,706

Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

  1. bboy114crew

    bboy114crew Guest

    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Bầu chọn TV BQT được yêu thích nhất nào cả nhà ơi!


    - Như chúng ta đã biết, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có dạng như sau:
    Với hai dãy số thực [tex](a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})[/tex] và [tex](b_{1}, b_{2}, ..., b_{m})[/tex] ta luôn có bất đẳng thức sau:
    [tex](a_{1}^2+a_{2}^2+...+ a_{m}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2+...+b_{m}^2) \geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{m}b_{m})^2[/tex]
    Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [tex]\frac{a_{1}}{b_{1}}= \frac{a_{2}}{b_{2}}=...= \frac{a_{m}}{b_{m}}[/tex]
    - Nó cũng có một số hệ quả:
    1, Bất đẳng thức Schwarz:
    Với hai dãy số thực [tex](a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})[/tex] và [tex](b_{1}, b_{2}, ..., b_{m})[/tex] sao cho [tex]b_{i} \geq 0[/tex] ta luôn có bất đẳng thức:
    [tex]\frac{a_{1}^2}{b_{1}}+ \frac{a_{2}^2}{b_{2}}+...+ \frac{a_{m}^2}{b_{m}} \geq \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{m})^2}{b_{1}+b_{2}+...+b_{m}[/tex]
    2, Bất đẳng thức Minkovsky:
    Với 2 dãy số thực [TEX]\Large (a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})[/TEX] và [TEX]\Large (b_{1}, b_{2}, ..., b_{m})[/TEX] ta có:
    [TEX]\Large \sum\limits_{i=1}^{m} \sqrt{a_{i}^2+b_{i}^2} \geq \sqrt{(\sum\limits_{i=1}^{m} a_{i})^2+(\sum\limits_{i=1}^{m} b_{i})^2}[/TEX]
    3, Với mọi dãy số thực [TEX]\Large (a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})[/TEX] ta có:
    [TEX]\Large (a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{m})^2 \leq n(a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{m}^2)[/TEX]
    - Đây là một bất đẳng thức rất thông dụng với các bạn THCS và hay được dùng trong các kì thi.
    Sau đây là một số bài tập ứng dụng:
    1)Cho [tex]|x|<1[/tex] và [tex]|y|<1[/tex]. CMR:
    [tex]\frac{1}{1-x^2}+ \frac{1}{1-y^2} \geq \frac{2}{1-xy}[/tex]
    2)CM bất đẳng thức sau với [tex]x[/tex] là số thực không âm:
    [tex]\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+ \sqrt{x} \leq \sqrt{x+9}[/tex]
    3) [tex]a,b,c >0[/tex]. CMR: [tex]abc(a+b+c) \leq a^3b+b^3c+c^3a[/tex]
    4)CMR:
    [tex]\sqrt{abc}+ \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} <1 [/tex]
    với mọi [tex]a,b,c \in (0;1)[/tex]
    5)T“m min:
    [tex]\sum \limits_{i=1}^{n} (x_{i}+ \frac{1}{x_{i}})^2[/tex]
    với [tex]\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}=1[/tex]
    p/s: Mong các mod giúp đỡ thêm về phần bài tập để topic không bị rơi vào "quên lãng" :D
     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng bảy 2014
  2. vodichhocmai

    vodichhocmai Guest

    Cho các số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX] chứng minh rằng khi đó ta có :

    [TEX]\sum_{cyclyc} \frac{1}{a+ab} \ge \frac{3}{1+abc}[/TEX]
     
  3. vodichhocmai

    vodichhocmai Guest

    Cho các số thực dương [TEX]a,b,c,d[/TEX] chứng minh rằng khi đó ta có :

    [TEX] \(\sum_{cyc} \frac{1}{a}\) \(\sum_{cyc} \frac{1}{a+b}\) \ge \frac{16}{1+abcd}[/TEX]
     
  4. bigbang195

    bigbang195 Guest


    [TEX]\bigg(\sum_{cyc} \frac{abc+1}{a+ab}+1\bigg) =\sum_{cyc}\bigg( \frac{ab(c+1)+a+1}{a+ab}\bigg)=\sum_{cyc}\bigg(\frac{b(c+1)}{b+1}+\frac{a+1}{a(b+1)}\bigg) \ge^{\text{AM-GM}} 6\sqrt[6]{\bigg(\frac{abc(a+1)(b+1)(c+1)}{abc(a+1)(b+1)(c+1)}\bigg)^2}=6[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 21 Tháng mười hai 2010
  5. pe_ilove009

    pe_ilove009 Guest

    1) Cho các số thực a,c,b sao cho abc=1 . Tìm max của
    [tex]\frac{1}{b + c + 4}+ \frac{1}{a + c + 4} + \frac{1}{b + a + 4}[/tex]
     
  6. bboy114crew

    bboy114crew Guest

    bai này:
    Sử dụng đánh giá
    [TEX]\frac{1}{x+y}\le \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})[/TEX]
    Ta có [TEX]\frac{1}{a+b+4}\le \frac{1}{4}(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2})[/TEX]
    Tiếp đến là chứng minh
    [TEX]\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\le 1[/TEX]
     
  7. bboy114crew

    bboy114crew Guest

    4)CMR:
    [tex]\sqrt{abc}+ \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} <1 [/tex]
    với mọi [tex]a,b,c \in (0;1)[/tex]
    moi nguoi thu lam bai nay!
     
  8. daodung28

    daodung28 Guest

    cho [TEX]a,b,c > 0 [/TEX] và [TEX] \frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}[/TEX]

    cmr [TEX]\frac{a+b}{2a-b}+\frac{b+c}{2c-b} \geq 4[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 26 Tháng mười hai 2010
  9. 01263812493

    01263812493 Guest

  10. daodung28

    daodung28 Guest

    mình quên mất, cái này có ở BDT của bigbang195 rồi nhỉ
    bài khác
    cho x,y,z tuỳ ý, cmr

    [TEX]\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{x^2+xz+z^2} \geq \sqrt{y^2+zy+y^2}[/TEX]
    ko biết bài này đã có chưa :D
     
  11. dandoh221

    dandoh221 Guest

    Có rồi thì phải, bài này tách ra và dùng Mincowsky
     
  12. quan8d

    quan8d Guest

    [​IMG]
    [​IMG]
     
  13. bigbang195

    bigbang195 Guest

    Cho a,b,c>0 . Chứng minh :

    [TEX]\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2} \ge \sqrt{a^2+ac+c^2}[/TEX]
     
  14. aklpt12345

    aklpt12345 Guest

     
    Last edited by a moderator: 27 Tháng mười hai 2010
  15. dandoh221

    dandoh221 Guest

    [tex]\sqrt{abc}+ \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} <1 [/tex]
    [TEX]\Leftrightarrow \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} < 1 - sqrt{abc}[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow a+b+c + 2abc > ab+bc+ac+2\sqrt{abc}[/TEX]
    Dễ thấy rằng [TEX]c(1-a)(1-b) > 0 \Leftrightarrow abc+c > ac+bc[/TEX]
    tiếp theo là [TEX]abc+a+b>ab+2\sqrt{bc} \Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 + (1-c)(2\sqrt{ab} - ab - ab\sqrt{c}) > 0[/TEX] ;)
    chắc còn có cách nhanh hơn :D
     
  16. bboy114crew

    bboy114crew Guest

    có bài này cũng hay!
    Cho các số thực dương [tex] a,b,c [/tex] thỏa mãn [tex] a+b+c=1 [/tex]. Chứng minh:
    [tex] \frac{a+b}{3a^2+2b+c}+\frac{b+c}{3b^2+2c+a}+\frac{c+a}{3c^2+2a+b} \le \frac{3}{2} [/tex]
     
    Last edited by a moderator: 28 Tháng mười hai 2010
  17. bboy114crew

    bboy114crew Guest

    bài này ko bít với mọi người là dễ hay khó nhỉ?
    Cho a, b, c > 0 và [tex]abc=1[/tex]
    CMR: [tex]\frac{a}{(ab+a+1)^{2}}[/tex] + [tex]\frac{b}{(cb+b+1)^{2}}[/tex] + [tex]\frac{c}{(ac+c+1)^{2}}[/tex] [tex]\geq\frac{1}{a+b+c}[/tex].
     
  18. aklpt12345

    aklpt12345 Guest



    [tex]\frac{a}{(ab+a+1)^{2}}[/tex] + [tex]\frac{b}{(cb+b+1)^{2}}[/tex] + [tex]\frac{c}{(ac+c+1)^{2}}[/tex] [tex]\geq\frac{1}{a+b+c}[/tex]
    suy ra [TEX](\frac{a}{ab+a+1})^2[/TEX]/a + [TEX](\frac{b}{cb+b+1})^2[/TEX]/b
    +[TEX](\frac{c}{ac+c+1})^2[/TEX]/c (1)
    lại có [TEX]\frac{a}{ab+a+1}[/TEX] + [TEX]\frac{b}{cb+b+1}[/TEX] + [TEX]\frac{c}{ac+c+1}[/TEX]= [TEX]\frac{1}{b+1+bc}[/TEX] + [TEX]\frac{b}{cb+b+1}[/TEX]+[TEX]\frac{bc}{1+b+bc}[/TEX]=1
    từ 1 lại có
    [TEX](\frac{a}{ab+a+1})^2[/TEX]/a + [TEX](\frac{b}{cb+b+1})^2[/TEX]/b
    +[TEX](\frac{c}{ac+c+1})^2[/TEX]/c \geq( [TEX]\frac{a}{ab+a+1}[/TEX] + [TEX]\frac{b}{cb+b+1}[/TEX] + [TEX]\frac{c}{ac+c+1}[/TEX])^2/a+b+c
    suy ra [tex]\frac{a}{(ab+a+1)^{2}}[/tex] + [tex]\frac{b}{(cb+b+1)^{2}}[/tex] + [tex]\frac{c}{(ac+c+1)^{2}}[/tex] [tex]\geq\frac{1}{a+b+c}[/tex]
     
    Last edited by a moderator: 30 Tháng mười hai 2010
  19. 01263812493

    01263812493 Guest

    [TEX]LHS=\sum\frac{a^2}{a(ab+a+1)^2}=\sum\frac{\frac{a^2}{(ab+a+1)^2}}{a} \geq \frac{(\sum \frac{a}{ab+a+1})^2}{a+b+c} =\frac{1}{a+b+c}[/TEX]

     
    Last edited by a moderator: 30 Tháng mười hai 2010
  20. aklpt12345

    aklpt12345 Guest

    cho a,b,c > 0 [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]

    CMR
    [TEX]\frac{a}{b^2+c^2}[/TEX]+[TEX]\frac{b}{a^2+c^2}[/TEX]+[TEX]\frac{c}{b^2+a^2}[/TEX] \geq [TEX]\frac{3}{2}[/TEX]
     
Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

CHIA SẺ TRANG NÀY