bất đẳng thức ngon ngon ngon!

[ohmymath]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

mình ra mấy bài bđt hóc quá sao mà hổng ai giải??? thui, ngẫm thử bài này xem. Mình nghĩ cách mình không lắm!

Cho a,b,c >0. Cm:
[TEX]\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}+\frac{{b}^{3}}{{b}^{2}+{c}^{2}}+\frac{{c}^{3}}{{c}^{2}+{a}^{2}}\geq \frac{a+b+c}{2}[/TEX]

 

[bboy114crew]

mình ra mấy bài bđt hóc quá sao mà hổng ai giải??? thui, ngẫm thử bài này xem. Mình nghĩ cách mình không lắm!

Cho a,b,c >0. Cm:
[TEX]\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}} +\frac{{b}^{3}}{{b}^{2} +{c}^{2}}+\frac{{c}^{3}}{{c}^{2}+{a}^{2}}\geq \frac{a+b+c}{2} [/TEX]

bài này dễ thui!
ta có:
[TEX]\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}} = a - \frac{ab^2}{a^2+b^2} \geq a - \frac{ab^2}{2ab} = a- \frac{b}{2}[/TEX]
tương tự:
[TEX]\frac{{b}^{3}}{{b}^{2} +{c}^{2}} \geq b - \frac{c}{2}[/TEX]
[TEX]\frac{{c}^{3}}{{c}^{2}+{a}^{2}} \geq c - \frac{a}{2}[/TEX]
cộng từng vế của ba BĐT trên \Rightarrow ĐPCM!


Một BĐT cùng dạng trên là :
Cho a,b,c >0. Cm:
[TEX]\frac{{a}^{4}}{{a}^{3}+2{b}^{3}} +\frac{{b}^{4}}{{b}^{3} +2{c}^{3}}+\frac{{c}^{4}}{{c}^{3}+2{d}^{2}}+ \frac{{d}^{4}}{{d}^{3}+2{a}^{3}} \geq \frac{a+b+c+d}{2} [/TEX]

 

[ohmymath]

cách làm được đấy!

Một BĐT cùng dạng trên là :
Cho a,b,c >0. Cm:
[TEX]\frac{{a}^{4}}{{a}^{3}+2{b}^{3}} +\frac{{b}^{4}}{{b}^{3} +2{c}^{3}}+\frac{{c}^{4}}{{c}^{3}+2{d}^{2}}+ \frac{{d}^{4}}{{d}^{3}+2{a}^{3}} \geq \frac{a+b+c+d}{2} [/TEX][/QUOTE]

Cách sư phụ ngắn hơn cách em 3 dòng!
Còn bài dưới của sư phụ thì cũng làm như trên nhưng tách đôi [TEX]{b}^{3}[/TEX] rồi dùng cosi là được!

 

[ohmymath]

sư phụ thử làm bài này nữa xem!

cho dãy số u1,u2,...u3 được xác định như sau: [TEX]{u}_{n}=\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}[/TEX]. đặt S=[TEX]{u}_{1}+{u}_{2}...+{u}_{n}[/TEX]. CM:18<[TEX]\frac{1}{S}[/TEX]<24

tui nghĩ tui làm bài này tạm ổn!

 

[bboy114crew]

cho dãy số u1,u2,...u3 được xác định như sau: [TEX]{u}_{n}=\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}[/TEX]. đặt S=[TEX]{u}_{1}+{u}_{2}...+{u}_{n}[/TEX]. CM:18<[TEX]\frac{1}{S}[/TEX]<24

tui nghĩ tui làm bài này tạm ổn!

ta có:

S=[TEX]{u}_{1}+{u}_{2}...+{u}_{n}=\frac{1}{1.2.3.4} + \frac{1}{2.3.4.5} + ... + \frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}[/TEX]
=[TEX]\frac{1}{3}(\frac{1}{6} - \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}) < 18[/TEX]
\RightarrowĐỀ sai Ở hỗ S > 18

 

[keropik]

mình ra mấy bài bđt hóc quá sao mà hổng ai giải??? thui, ngẫm thử bài này xem. Mình nghĩ cách mình không lắm!

Cho a,b,c >0. Cm:
[TEX]\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}+\frac{{b}^{3}}{{b}^{2}+{c}^{2}}+\frac{{c}^{3}}{{c}^{2}+{a}^{2}}\geq \frac{a+b+c}{2}[/TEX]

Tìm min của bt này xem

Với a,b,c>0 a+b+c=1 nhé
Cái này có vẻ còn dễ hơn cái trên

 

[ohmymath]

oh yeah

Tìm min của bt này xem

Với a,b,c>0 a+b+c=1 nhé
Cái này có vẻ còn dễ hơn cái trên

Bài này đúng là dễ thật!
Mình làm thế này nhé:
[TEX]\frac{{a}^{3}}{{(b+c)}^{2}}+(b+c)+(b+c)\geq 3a[/TEX]
mình đánh đén đây thì bị lỗi hà! thôi ,làm tiếp như trên rồi cộng vào thôi.
dáu = khi [TEX]a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX]

 

[keropik]

Bài này đúng là dễ thật!
Mình làm thế này nhé:
[TEX]\frac{{a}^{3}}{{(b+c)}^{2}}+(b+c)+(b+c)\ge 3a[/TEX]
..... \Rightarrow vế trái [TEX]\geq 3(a+b+c)-2(a+b+c)=1[/TEX]
dáu = khi [TEX]a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX]

Thử thế [TEX]a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX] vào xem P bằng mấy?
Xem lại cái vụ dấu đẳng thức xảy ra ấy

 

[trydan]

Bài này đúng là dễ thật!
Mình làm thế này nhé:
[TEX]\frac{{a}^{3}}{{(b+c)}^{2}}+(b+c)+(b+c)\geq 3a[/TEX]
.....\Rightarrow vế trái [TEX]\geq 3(a+b+c)-2(a+b+c)=1[/TEX]
dáu = khi [TEX]a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX]

Bạn dùng Cauchy sai rồi. Nếu [TEX]\frac{{a}^{3}}{{(b+c)}^{2}}+(b+c)+(b+c)\geq 3a[/TEX]
thì dấu = xảy ra khi [TEX] a^3=(b+c)^3\Leftrightarrow a=b+c[/TEX] (không thể xảy ra)

Phải sửa thành

Dấu bằng xảy ra khi

Tương tự, ta có

 

[ohmymath]

Thử thế [TEX]a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX] vào xem P bằng mấy?
Xem lại cái vụ dấu đẳng thức xảy ra ấy

Chêt! Cảm ơn đã nhắc nha! Mình sửa lại là
[TEX]\frac{{a}^{3}}{{b+c}^{2}}+\frac{1}{8(b+c}+\frac{1}{8(b+c}[/TEX]

 

[keropik]

Bạn dùng Cauchy sai rồi. Nếu [TEX]\frac{{a}^{3}}{{(b+c)}^{2}}+(b+c)+(b+c)\geq 3a[/TEX]
thì dấu = xảy ra khi [TEX] a^3=(b+c)^3\Leftrightarrow a=b+c[/TEX] (không thể xảy ra)

Phải sửa thành

Dấu bằng xảy ra khi

Tương tự, ta có

Mình bonus thêm 1 cách này nói chung là không hay hơn cauchy nhưng cũng khác khác 1 tị

Có thể chứng minh cái trên bằng cách nhân ra rồi dùng hằng đẳng thức :|
Làm tương tự rồi cộng lại là okie

 

[ohmymath]

thôi làm bài này đi

Bài này là đề tham dự của iran. Mình không làm nổi!!!!
Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. CM
[TEX]\frac{1}{2+{a}^{2}+{b}^{2}}+\frac{1}{2+{b}^{2}+{c}^{2}}+\frac{1}{2+{a}^{2}+{c}^{2}}\leq \frac{3}{4}[/TEX]

 

[ohmymath]

thôi nếu khó quá thì bàn thử bài này xem
Cho a,b,c là các số thực dương CM
[TEX]\frac{{a}^{2}}{b}+\frac{{b}^{2}}{a}+7(a+b)\geq 8\sqrt{2({a}^{2}+{b}^{2})}[/TEX]
lời giải nhìn qua bình thường ngưng càng đọc càng thích!!!

Bộ mọi người đi ngủ hết rồi nè!
Ai có ý kiến gì thì cứ xả đi!

 

[vodichhocmai]

Bài này là đề tham dự của iran. Mình không làm nổi!!!!
Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. CM
[TEX]\frac{1}{2+{a}^{2}+{b}^{2}}+\frac{1}{2+{b}^{2}+{c}^{2}}+\frac{1}{2+{a}^{2}+{c}^{2}}\leq \frac{3}{4}[/TEX]

Bài này chuyển qua thuận rồi [TEX]Cauchy-Schwart[/TEX] dễ mà em

thôi nếu khó quá thì bàn thử bài này xem
Cho a,b,c là các số thực dương CM
[TEX]\frac{{a}^{2}}{b}+\frac{{b}^{2}}{a}+7(a+b)\geq 8\sqrt{2({a}^{2}+{b}^{2})}[/TEX]
lời giải nhìn qua bình thường ngưng càng đọc càng thích!!!

Bộ mọi người đi ngủ hết rồi nè!
Ai có ý kiến gì thì cứ xả đi!

Tổng bình phương hoán vị

 

[ohmymath]

anh nói rõ xem! em còn chưa hiểu chuyển qua thuận là cái gì đâu!

 

[vodichhocmai]

anh nói rõ xem! em còn chưa hiểu chuyển qua thuận là cái gì đâu!

[TEX]\sum_{cyclic} \frac{a^2+b^2}{2+a^2+b^2} \ge \frac {3}{2}[/TEX]

Tới đây chém dễ dàng bằng CU CHI XỜ WÉ ZƠ bằng phương pháp khử mẫu

 

[keropik]

[TEX]\sum_{cyclic} \frac{a^2+b^2}{2+a^2+b^2} \ge \frac {3}{2}[/TEX]

Tới đây chém dễ dàng bằng CU CHI XỜ WÉ ZƠ bằng phương pháp khử mẫu

Cauchy-schwarz:

Lại có

nên

[TEX]=\frac{3}{2}[/TEX] (do a+b+c=3)
Anh vdhm nói khó hỉu wa, hd có 1 2 câu zị làm ăn sao? (
Chém vậy đúng ko a?

 

[01263812493]

Một BĐT cùng dạng trên là :
Cho a,b,c >0. Cm:
[TEX]\frac{{a}^{4}}{{a}^{3}+2{b}^{3}} +\frac{{b}^{4}}{{b}^{3} +2{c}^{3}}+\frac{{c}^{4}}{{c}^{3}+2{d}^{2}}+ \frac{{d}^{4}}{{d}^{3}+2{a}^{3}} \geq \frac{a+b+c+d}{2} [/TEX]

[TEX]\huge \frac{a^4}{a^3+2b^3}=a- \frac{2ab^3}{a^3+2b^3} \geq a-\frac{2b}{3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sum \frac{{a}^{4}}{{a}^{3}+2{b}^{3}} \geq a+b+c+d-\frac{2b}{3}-\frac{2c}{3}-\frac{2d}{3}-\frac{2a}{3}=\frac{a+b+c+d}{3}[/TEX]

Đề nên sửa số 2 thành 3

 

[ohmymath]

Em nghĩ có rất nhiều bạn cấp 2 muốn tham gia diễn đàn. Nhưng nếu mọi người cứ dùng kiến thức cấp>2 thì sẽ rất khó hiểu cho các bạn (kể cả em). Những bài toán nêu lên hoàn toàn giải được bằng kiến thức thcs nên mọi người hãy cố gắng giải bằng kiến thức thấp hơn , tránh trở thành diễn đàn hoang!!cảm ơn trước nếu mọi người thực hiện!!!!!!!!!!!!

 

[hn9atp]

Thử bài này nhé cho x^2+y^2+z^2=1
1)tìm Max
P=x+2y+3z biết P>0
2)tìm cực trị của
P=(x-1)^4+(x-3)^4+6(x-1)^2(x-3)^2
3)x,y,z >0 t/m x.y^2.z^2+x^2.z+y=3z^2 tìm max
Q=\frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}