Toán Bài tập toán 8

[Mai Hải Đăng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bài 1: phân tích đa thức thành nhân tử
a) [tex]A=3x^{2}-8x+4[/tex]
b) [tex]B=3x^{3}-7x^{2}+17x-5[/tex]
bài 2: tính giá trị của các giá trị của x (x nguyên) để : [tex]P=\frac{2x^{2}+3x+3}{2x-1}[/tex] có giá trị là một số nguyên
bài 3: cho a>b>0. So sánh 2 số x,y với:
[tex]x=\frac{1+a}{1+a+a^{2}}[/tex] và [tex]y=\frac{1+b}{1+b+b^{2}}[/tex]
bài 4:
a) giải phương trình sau: [tex]\frac{x^{2}-4x+1}{x+1}+2=-\frac{x^{2}-5x+1}{2x+1}[/tex]
b) Chứng minh bất đẵng thức: [tex]x^{2}+y^{2}+1\geq xy+x+y[/tex]
bài 5: a) Cho a=1111...1 (35 chữ số 1), b=1111...1 (40 chữ số một).
Chứng minh: [tex]ab+1\vdots3[/tex]
b) Tìm x,y,z biết [tex]\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}[/tex] và 2x + 3y - z=50
bài 6: a) Tính giá trị biểu thức [tex]S=\frac{5}{1.2}+\frac{5}{2.3}+\frac{5}{3.4}+...+\frac{5}{2014.2015}[/tex]
b)tìm GTNN của [tex]T=(x-2)^{2}+(x+4)^{2}-3[/tex]
bài 7: a) Rút gọn biểu thức:
[tex]M=\frac{x-4}{x-2}[1: (\frac{80x}{x^{3}-8}+\frac{2x}{x^{2}+2x+4}-\frac{x-16}{2-x})]-\frac{4+6x}{(4-x)^{2}}[/tex]
(với [tex]x\neq 2[/tex] và [tex]x \neq 4[/tex])
b) Giải phương trình [tex]\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x+3}=\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}+x-6}[/tex]
bài 8: Cho ba số a,b,c thỏa mãn điều kiện abc=2013. Tính giá trị biểu thức:
[tex]H= \frac{2013a^{2}bc}{ab+2013a+2013}+\frac{ab^{2}c}{bc+b+2013}+\frac{abc^{2}}{ac+c+1}[/tex]
bài 9: Cho hai đa thức:
[tex]P(x)=(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+a[/tex] và [tex]Q(x)=x^{2}+8x+9[/tex]
Tính giá trị của a để P(x) chia hết cho Q(x)
bài 10: Giải các phương trình:
a) [tex]2x^{2}+2xy+y^{2}+9=6x-\left | y+3 \right |[/tex]
b)[tex](2x^{2}+x-2013)^{2}+4(2x^{2}+x-2013)(x^{2}-5x-2012)[/tex]
bài 11: Cho x,y thỏa mãn [tex]x^{2}+y^{2}=1[/tex].
Tìm GTLN của [tex]A= x^{6}+y^{6}[/tex]
bài 12: Cho biểu thức [tex]A=(\frac{1-x^{3}}{1-x}-x) : \frac{1-x^{2}}{1-x-x^{2}+x^{3}}[/tex] (với [tex]x\neq \pm 1[/tex])
a) rút gọn A
b) Tính giá trị của A khi [tex]x=-1\tfrac{2}{3}[/tex]
c) Tìm giá trị củ x để A<0
d) Tính S khi [tex]\left | x-4 \right |=5[/tex]
bài 13: Cho [tex](a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=4(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac)[/tex]
CM: a=b=c
bài 14: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vi và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.
bài 15: Tìm GTNN của [tex]A= a^{4}-2a^{3}+3a^{2}-4a+5[/tex]
bài 16: a) Giải phương trình [tex]x^{4}+3x^{3}+4x^{2}+3x+1=0[/tex]
b)Giải phương trình nghiệm nguyên : [tex]2x^{2}+3xy-2y^{2}=7[/tex]
bài 17: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn [tex]\frac{4}{x^{2}}+\frac{5}{y^{2}}\geq 9[/tex]
Tìm GTNN của [tex]Q=2x^{2}+\frac{6}{x^{2}}+3y^{2}+\frac{8}{y^{2}}[/tex]
bài 18: Cần dùng bao nhiêu tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 để phủ kín một tam giác đều có cạnh bằng 3, với giả thiết không được cắt tấm bìa.

 

[machung25112003]

bài 18: Cần dùng bao nhiêu tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 để phủ kín một tam giác đều có cạnh bằng 3, với giả thiết không được cắt tấm bìa.

Giả sử ABC là tam giác đều có cạnh bằng 3. Chia mỗi cạnh của tam giác ABC thành ba phần bằng nhau. Nối các điểm chia bởi các đoạn thẳng song song với các cạnh, tam giác ABC được chia thành 9 tam giác đều có cạnh bằng 1.
Gọi I, J, K lần lượt là 3 điểm trên các cạnh BC, CA và AB sao cho IC = JA = KB =1. Ba đường tròn bán kính bằng 1, tâm tương ứng là I, J, K sẽ phủ kín được tam giác ABC (mỗi hình tròn phủ được 3 tam giác nhỏ). Như vậy dùng 3 tấm bìa sẽ phủ kín được tam giác ABC.
Số tấm bìa ít nhất phải dùng cũng là 3, bởi vì nếu ngược lại sẽ phải có hai trong ba đỉnh của tam giác ABC thuộc một hình tròn bán kính 1. Điều này không thể xảy ra bởi vì cạnh của tam giác ABC bằng 3.

 

[lê thị hải nguyên]

1.
[tex]A=3x^{2}-8x+4[/tex]
=[tex] \left ( 3x^{2}-6x \right )-\left ( 2x-4 \right )[/tex]
=[tex]3x\left ( x-2 \right )-2\left ( x-2 \right )[/tex]
=[tex]\left ( 3x-2 \right )\left ( x-2 \right )[/tex]
[tex]B=3x^{3}-7x^{2}+17x-5[/tex]
=[tex]\left ( 3x^{3}-3x^{2} \right )-\left ( 4x^{2} -16x+4\right )+\left ( x-1 \right )[/tex]
=[tex]3x^{2}\left ( x-1 \right )-\left ( 2x-2 \right )^{2}+\left ( x-1 \right )[/tex]
=[tex]\left [ 3x^{2}-4\left ( x-1 \right ) +1\right ]\left ( x-1 \right )[/tex]
=[tex]\left ( 3x^{2}-4x+5 \right )\left ( x-1 \right )[/tex]
2.
vì [tex]P=\frac{2x^{2}+3x+3}{2x-1}[/tex] là số nguyên
[tex]\Rightarrow \left ( 2x^{2}+3x+3 \right )\vdots \left ( 2x-1 \right )[/tex]
mà [tex]2x^{2}+3x+3=\left ( 2x-1 \right )\left ( x+2 \right )+5[/tex]
[tex]\Rightarrow 5\vdots \left ( 2x-1 \right )[/tex]
[tex]\Rightarrow 2x-1\in Ư\left ( 5 \right )=\left \{ \pm 1;\pm 5 \right \}[/tex]
+/[tex]2x-1=1\Rightarrow x=1[/tex]
+/[tex]2x-1=-1\Rightarrow x=0[/tex]
+/[tex]2x-1=5\Rightarrow x=3[/tex]
+/[tex]2x-1=-5\Rightarrow x=-2[/tex]

 

[machung25112003]

bài 16: a) Giải phương trình

b)Giải phương trình nghiệm nguyên :

a)

Ta thấy x = 0 không là nghiệm của PT. Chia cả hai vế của phương trình cho x2 khác 0, ta được:
[tex]x^{2}[/tex] + 3x + 4 + [tex]\frac{3}{x}+ \frac{1}{x^{2}}[/tex] = 0
<=> [tex]\left ( x^{2}+ \frac{1}{x^{2}} \right )+3\left ( x+\frac{1}{x} \right )+4 = 0[/tex]
Đặt [tex]x+\frac{1}{x}[/tex] = y thì [tex]x^{2}+\frac{1}{x^{2}}[/tex] = [tex]y^{2}[/tex] – 2, ta được PT: [tex]y^{2}[/tex] + 3y + 2 = 0 (*)
Giải (*) được [tex]y_{1}[/tex]= -1 ; [tex]y_{2}[/tex] = -2
Với [tex]y_{1}[/tex]= -1 ta có [tex]x+\frac{1}{x}[/tex] = -1 nên [tex]x^{2}[/tex] + x + 1 = 0. PT vô nghiệm
Với [tex]y_{2}[/tex]= -2 ta có [tex]x+\frac{1}{x}[/tex] = -2 nên [tex](x+1)^{2}[/tex] = 0, do đó x = -1
Vậy S= {-1}
b) Ta có [tex]2x^{2}[/tex] + 3xy – [tex]2y^{2}[/tex] = 7
<=> [tex]2x^{2}[/tex] + 4xy – xy – [tex]2y^{2}[/tex] = 7
<=> 2x(x + 2y) - y(x + 2y) = 7
<=> (2x - y)(x + 2y) = 7
Vì x, y nguyên nên 2x-y, x+2y nguyên và là ước của 7
Mà 7 = 1.7 = (-1).(-7) = 7.1 = (-7).(-1)
Ta có bảng sau:
Vậy nghiệm của phương trình là (x,y) = (3;-1) và (-3;1)
Bài 17:

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Bài 1:
$a)3x^2-8x+4=3x^2-6x-2x+4=3x(x-2)-2(x-2)=(x-2)(3x-2)$
$b)3x^3-7x^2+17x-5=3x^3-x^2-6x^2+2x+15x-5=x^2(3x-1)-2x(3x-1)+5(3x-1)=(3x-1)(x^2-2x+5)$
Bài 2:
$P=\dfrac{2x^{2}+3x+3}{2x-1}=\dfrac{x(2x-1)+2(2x-1)+5}{2x-1}=x+2+\dfrac{5}{2x-1}\\P\in Z\Leftrightarrow \dfrac{5}{2x-1}\in Z\Rightarrow 5\vdots (2x-1)\Rightarrow 2x-1\in Ư(5)=\left \{ \pm 1;\pm 5 \right \}\\\Rightarrow x\in \left \{ -2;0;1;3 \right \}$
Bài 3:
$x=\dfrac{1+a}{1+a+a^{2}}=1-\dfrac{a^2}{1+a+a^2};y=\dfrac{1+b}{1+b+b^{2}}=1-\dfrac{b^2}{1+b+b^2}$
$a>b>0\Rightarrow a^2>b^2;a^2b>ab^2\Rightarrow a^2+a^2b>b^2+ab^2\\\Leftrightarrow a^2+a^2b+a^2b^2>b^2+ab^2+a^2b^2\\\Leftrightarrow a^2(1+b+b^2)>b^2(1+a+a^2)\\\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{1+a+a^2}>\dfrac{b^2}{1+b+b^2}\\\Rightarrow 1-\dfrac{a^2}{1+a+a^2}<1-\dfrac{b^2}{1+b+b^2}\\hay \ x<y$
Bài 4:
$\dfrac{x^{2}-4x+1}{x+1}+2=-\dfrac{x^{2}-5x+1}{2x+1}$ ĐKXĐ:$x\neq -1;x\neq \dfrac{-1}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{x^2-2x+3}{x+1}+\dfrac{x^2-5x+1}{2x+1}=0\\\Leftrightarrow (x^2-2x+3)(2x+1)+(x^2-5x+1)(x+1)=0\\\Leftrightarrow 2x^3-3x^2+4x+3+x^3-4x^2-4x+1=0\\\Leftrightarrow 3x^3-7x^2+4=0\\\Leftrightarrow 3x^3-6x^2-x^2+4=0\\\Leftrightarrow 3x^2(x-2)-(x+2)(x-2)=0\\\Leftrightarrow (x-2)(3x^2-x-2)=0\\\Leftrightarrow (x-2)(3x^2-3x+2x-2)=0\\\Leftrightarrow (x-2)[3x(x-1)+2(x-1)]=0\\\Leftrightarrow (x-2)(x-1)(3x+2)=0\\\Leftrightarrow x=1;x=2;x=\dfrac{-2}{3}$
Bài 5:
a)$a=111...1$ ($35$ chữ số $1$) chia $3$ dư $2$ vì tổng các chữ số chia $3$ dư $2$
$b=111...1$ ($40$ chữ số $1$) chia $3$ dư $1$ vì tổng các chữ số chia $3$ dư $1$
Đặt $a=3x+2;b=3y+1$
=> $ab+1=(3x+2)(3y+1)+1=9xy+3x+6y+3=3(3xy+x+2y+1)\vdots 3$
$b)\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-3}{4}=\dfrac{2x-2}{4}=\dfrac{3y-6}{9}=\dfrac{z-3}{4}\\=\dfrac{2x-2+3y-6-z+3}{4+9-4}=\dfrac{50-2-6+3}{4+9-4}=5\\\Rightarrow x=11;y=17;z=23$
Bài 6:
$a)S=\dfrac{5}{1.2}+\dfrac{5}{2.3}+\dfrac{5}{3.4}+...+\dfrac{5}{2014.2015}\\=5\left ( \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{2014.2015} \right )\\=5\left ( 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2014}-\dfrac{1}{2015} \right )\\=5\left ( 1-\dfrac{1}{2015} \right )=5.\dfrac{2014}{2015}=\dfrac{2014}{403}$
$b)T=(x-2)^{2}+(x+4)^{2}-3=x^2-4x+4+x^2+8x+16-3\\=2x^2+4x+17=2(x^2+2x+1)+15=2(x+1)^2+15\geq 15$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=-1$
Vậy...
Bài 7:
a) Rút gọn chắc bạn làm đc rôi
b) Giải pt câu này cx đơn giản thôi
Bài 8:
Bạn thay $2013=abc$ vào $H$ rồi rút gọn còn $abc=2013$
Bài 9:
$P(x)=(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+a\\=[(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)]+a\\=(x^2+8x+8)(x^2+8x+15)+a$
Đặt $x^2+8x+9=y$ $\Rightarrow P(x)=(y-1)(y+6)+a=y^2+5y-6+a$
Để $P(x)\vdots Q(x)$ thì $a-6=0\iff a=6$
Bài 10:
$a)2x^{2}+2xy+y^{2}+9=6x-|y+3|\\\Leftrightarrow (x^2+2xy+y^2)+(x^2-6x+9)+|y+3|=0\\\Leftrightarrow (x+y)^2+(x-3)^2+|y+3|=0\\\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+y=0\\ x-3=0\\y+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=3;y=-3$
Vậy $(x;y)=(3;-3)$
$b)(2x^{2}+x-2013)^{2}+4(2x^{2}+x-2013)(x^{2}-5x-2012)$
Cái này ko có VP à bạn?
Bài 11:
$A=x^6+y^6=(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)\\=x^4-x^2y^2+y^4=(x^2+y^2)-3x^2y^2\leq 1$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x=0\Rightarrow y=\pm 1\\ y=0\Rightarrow x=\pm 1\end{matrix}\right.$
Vậy...
Bài 12:
a) Rút gọn đc $A=(x^2+1)(x-1)$
b) Bạn tự thay vào tính nha
c) $A<0\Leftrightarrow (x^2+1)(x-1)<0\\mà \ x^2+1>0\Rightarrow x-1<0\Leftrightarrow x<1$
d) S ở đâu ra vậy bạn?
Bài 13:
$(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=4(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac)\\\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=4(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac)\\\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0\\\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0\\\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0\\\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c$

 

[Mai Hải Đăng]

1.
[tex]B=3x^{3}-7x^{2}+17x-5[/tex]
=[tex]\left ( 3x^{3}-3x^{2} \right )-\left ( 4x^{2} -16x+4\right )+\left ( x-1 \right )[/tex]
=[tex]3x^{2}\left ( x-1 \right )-\left ( 2x-2 \right )^{2}+\left ( x-1 \right )[/tex]
=[tex]\left [ 3x^{2}-4\left ( x-1 \right ) +1\right ]\left ( x-1 \right )[/tex]
=[tex]\left ( 3x^{2}-4x+5 \right )\left ( x-1 \right )[/tex]

bài này mình phân tích khác theo tính chất: nếu f(x) có nghiệm là a thì phân tích thành nhân tử có nhân tử x-a
vì vậy: ta có nghiệm của B là [tex]\frac{1}{3}[/tex] suy ra khi phân tích sẽ có nhân tử là [tex]x-\frac{1}{3}[/tex] hay 3x-1

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

[tex]B=3x^{3}-7x^{2}+17x-5[/tex]
=[tex]\left ( 3x^{3}-3x^{2} \right )-\left ( 4x^{2} -16x+4\right )+\left ( x-1 \right )[/tex]
=[tex]3x^{2}\left ( x-1 \right )-\left ( 2x-2 \right )^{2}+\left ( x-1 \right )[/tex]
=[tex]\left [ 3x^{2}-4\left ( x-1 \right ) +1\right ]\left ( x-1 \right )[/tex]
=[tex]\left ( 3x^{2}-4x+5 \right )\left ( x-1 \right )[/tex]

$4x^2-16x+4$ đâu có bằng $(2x-2)^2$ bạn nhỉ?

 

[Mai Hải Đăng]

Bài 9:
P(x)=(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+a=[(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)]+a=(x2+8x+8)(x2+8x+15)+aP(x)=(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+a=[(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)]+a=(x2+8x+8)(x2+8x+15)+aP(x)=(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+a\\=[(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)]+a\\=(x^2+8x+8)(x^2+8x+15)+a
Đặt x2+8x+9=yx2+8x+9=yx^2+8x+9=y ⇒P(x)=(y−1)(y+6)+a=y2+5y−6+a⇒P(x)=(y−1)(y+6)+a=y2+5y−6+a\Rightarrow P(x)=(y-1)(y+6)+a=y^2+5y-6+a
Để P(x)⋮Q(x)P(x)⋮Q(x)P(x)\vdots Q(x) thì a−6=0⟺a=6

chỗ đánh dấu đỏ là 7 không phải 8

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

chỗ đánh dấu đỏ là 7 không phải 8

mk nhầm là 7 nha
Vậy làm như này:
$P(x)=(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+a\\=[(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)]+a\\=(x^2+8x+7)(x^2+8x+15)+a$
Đặt $x^2+8x+9=y$ $\Rightarrow P(x)=(y-2)(y+6)+a=y^2+4y-12+a$
Để $P(x)\vdots Q(x)$ thì $a-12=0\iff a=12$

 

[Mai Hải Đăng]

Bài 10:
$b)([2x^{2}+x-2013)^{2}+4(2x^{2}+x-2013)(x^{2}-5x-2012)$
Cái này ko có VP à bạn?

mình nhầm phải là [TEX]2x^{2}+x-2013)^{2}=4(2x^{2}+x-2013)(x^{2}-5x-2012)[/TEX] mới đúng

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

mình nhầm phải là [TEX]2x^{2}+x-2013)^{2}=4(2x^{2}+x-2013)(x^{2}-5x-2012)[/TEX] mới đúng

$(2x^{2}+x-2013)^{2}=4(2x^{2}+x-2013)(x^{2}-5x-2012)\\\Leftrightarrow (2x^2+x-2013)(4x^2-20x-8048-2x^2-x+2013)=0\\\Leftrightarrow (2x^2+x-2013)(2x^2-21x-6035)=0$
Bạn xem lại đề bài đc ko nếu như vậy thì k/q ko đc đẹp

 

[Mai Hải Đăng]

c

$(2x^{2}+x-2013)^{2}=4(2x^{2}+x-2013)(x^{2}-5x-2012)\\\Leftrightarrow (2x^2+x-2013)(4x^2-20x-8048-2x^2-x+2013)=0\\\Leftrightarrow (2x^2+x-2013)(2x^2-21x-6035)=0$
Bạn xem lại đề bài đc ko nếu như vậy thì k/q ko đc đẹp

các bài trên đều là nhưng đề thi HSG mấy năm trước mình lọc ra nên đảm bào là không sai

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

c

các bài trên đều là nhưng đề thi HSG mấy năm trước mình lọc ra nên đảm bào là không sai

cô mk có cho bài như thế này $(2x^{2}+x-2013)^{2}+4(x^2-5x-2012)^2=4(2x^{2}+x-2013)(x^{2}-5x-2012)$ và như vậy thì nghiệm sẽ đẹp hơn