Toán 11 Ánh xạ ngược (fix)

thegooobs

Học sinh chăm học
Thành viên
16 Tháng ba 2022
291
188
51
29
Vĩnh Xuân, Trà Ôn, Vĩnh Long
Vĩnh Long
Last edited:
  • Like
Reactions: Alice_www

Alice_www

Cựu Mod Toán
Thành viên
8 Tháng mười một 2021
1,806
4
2,216
316
Bà Rịa - Vũng Tàu
Cho ánh xạ [imath]f: \mathbb R[/imath] \{0} [imath]\rightarrow \mathbb R[/imath]
theo quy tắc [imath]f(x)=\frac{x+1}{x-1}[/imath].
i) Chứng minh [imath]f[/imath] đơn ánh.
ii) Xác định tập [imath]f^{-1}((0;3])[/imath]
thegooobs
Đề phải là này chứ em nhỉ: [imath]f: \mathbb{R}\backslash \{1\}\to \mathbb{R}[/imath]
 
  • Love
Reactions: thegooobs

Alice_www

Cựu Mod Toán
Thành viên
8 Tháng mười một 2021
1,806
4
2,216
316
Bà Rịa - Vũng Tàu
a) Lấy [imath]f(x),f(y)\in \mathbb{R}[/imath] sao cho [imath]f(x)=f(y)[/imath]

Khi đó [imath]\exists x,y \in \mathbb{R}\backslash\{1\}[/imath] sao cho [imath]f(x)=f(y)[/imath]

[imath]\Rightarrow \dfrac{x+1}{x-1}=\dfrac{y+1}{y-1}\iff (y-1)(x+1)=(y+1)(x-1)[/imath]

[imath]\iff xy-x+y-1=xy+x-y-1\iff x=y[/imath]

Vậy [imath]f[/imath] đơn ánh

b) Lấy [imath]f(x)\in (0,3][/imath]

Khi đó [imath]\exists x \in \mathbb{R}\backslash\{1\}[/imath] sao cho [imath]f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}[/imath]

[imath]\Rightarrow (x-1)f(x)=x+1\Rightarrow x(f(x)-1)=1+f(x)[/imath] (*)

Xét [imath]f(x)=1[/imath] (*)[imath]\iff 0=2[/imath] (vô lí)

Xét [imath]f(x)\ne 1[/imath] ta có: [imath]x=\dfrac{f(x)+1}{f(x)-1}[/imath]

Xét [imath]g(x)=\dfrac{x+1}{x-1},\quad x\in (0,3]\backslash\{1\}[/imath]

[imath]g'(x)=\dfrac{-2}{(x-1)^2}<0\forall x\ne 1[/imath]

Vậy [imath]g[/imath] nghịch biến trên [imath]x\in (0,3]\backslash\{1\}[/imath]
BBT
1667865959973.png

Vậy [imath]f^{-1}((0,3])=(-\infty,-1)\cup [2,+\infty)[/imath]

Có gì khúc mắc em hỏi lại nha
Ngoài ra, em xem thêm tại Tổng hợp kiến thức toán 11
 

7 1 2 5

Cựu TMod Toán
Thành viên
19 Tháng một 2019
6,871
11,478
1,141
Hà Tĩnh
THPT Chuyên Hà Tĩnh
i) Viết lại [imath]f(x)=1+\dfrac{2}{x-1}[/imath]
Giả sử tồn tại [imath]x_1,x_2 \neq 1[/imath] sao cho [imath]f(x_1)=f(x_2)[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{2}{x_1-1}=\dfrac{2}{x_2-1} \Leftrightarrow x_1=x_2[/imath]
Vậy [imath]f[/imath] là đơn ánh.
ii) Xét bảng biến thiên của hàm số [imath]y=\dfrac{x+1}{x-1}[/imath]
[math]\begin{array}{c|ccccccccccc} x & -\infty & & -1 & & & 1 & & & 2 & & +\infty \\ \hline y' & & & - & & & || & & - \\ \hline y & 1 & & & & & || & & & & & \\ & & \searrow & & & & || & & & & & \\ & & & 0 & & & || & & & & & \\ & & & & \searrow & & || & & & & & \\ & & & & & -\infty & || & +\infty & & & & \\ & & & & & & || & & \searrow & & & \\ & & & & & & || & & & 3 & & \\ & & & & & & || & & & & \searrow & \\ & & & & & & || & & & & & 1 \end{array}[/math]Từ đó ta thấy miền giá trị của [imath]y[/imath] là [imath]\mathbb{R}[/imath], suy ra [imath]f[/imath] là song ánh. Từ đó tồn tại [imath]f^{-1}[/imath]
Ta thấy [imath](0,3]=(0,1) \cup [1,3][/imath]. Nhìn vào bảng biến thiên ta có [imath]f^{-1}((0,1))=(-\infty,-1), f^{-1}([1,3])=[2,+\infty)[/imath] nên [imath]f^{-1}((0,3])=(-\infty,-1) \cup [2,+\infty)[/imath]

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé

Bài giảng Trường hè học sinh - giáo viên trường THPT chuyên 2022

 
Top Bottom