B. Phương trình lượng giác cơ bản
1) Phương trình [imath]\sin x = m[/imath] (1)
- [imath]|m| > 1[/imath]: phương trình (1) vô nghiệm.
- [imath]|m| \leq 1[/imath]: gọi [imath]\alpha[/imath] là một cung thỏa mãn [imath]\sin \alpha = m[/imath]. Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là: [imath]\left[\begin{matrix} x= \alpha + k2\pi\\ x = \pi - \alpha + k2\pi\end{matrix}\right.( k \in \mathbb{Z})[/imath]
Nếu [imath]\alpha[/imath] thỏa mãn điều kiện [imath]\dfrac{-\pi}{2} \leq \alpha \leq \dfrac{\pi}{2}[/imath] và [imath]\sin \alpha = m[/imath] thì ta viết [imath]\alpha = \arcsin m[/imath]
Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là:
[imath]\left[\begin{matrix} x= \arcsin m + k2\pi\\ x = \pi - \arcsin m + k2\pi\end{matrix}\right. ( k \in \mathbb{Z})[/imath]
.
Các trường hợp đặc biệt:
- [imath]\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}[/imath]
- [imath]\sin x = -1 \Leftrightarrow x = \dfrac{-\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}[/imath]
- [imath]\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi,k \in \mathbb{Z}[/imath]
2) Phương trình [imath]\cos x = m[/imath] (2)
- [imath]|m| > 1[/imath]: phương trình (2) vô nghiệm.
- [imath]|m| \leq 1[/imath]: gọi [imath]\alpha[/imath] là một cung thỏa mãn [imath]\cos \alpha = m[/imath]. Khi đó phương trình (2) có các nghiệm là: [imath]\left[\begin{matrix} x= \alpha + k2\pi\\ x =- \alpha + k2\pi\end{matrix}\right.( k \in \mathbb{Z})[/imath]
Nếu [imath]\alpha[/imath] thỏa mãn điều kiện [imath]0 \leq \alpha \leq \pi[/imath] và [imath]\cos\alpha = m[/imath] thì ta viết [imath]\alpha = \arccos m[/imath]
Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là: [imath]\left[\begin{matrix} x= \arccos m + k2\pi\\ x = - \arccos m + k2\pi\end{matrix}\right. ( k \in \mathbb{Z})[/imath]
Các trường hợp đặc biệt:
- [imath]\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}[/imath]
- [imath]\cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi, k \in \mathbb{Z}[/imath]
- [imath]\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi, k \in \mathbb{Z}[/imath]
3) Phương trình [imath]\tan x = m[/imath] (3)
Điều kiện: [imath]x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}[/imath]
Nếu [imath]\alpha[/imath] thỏa mãn điều kiện [imath]\dfrac{-\pi}{2} \leq \alpha \leq \dfrac{\pi}{2}[/imath] và [imath]\tan\alpha = m[/imath] thì ta viết [imath]\alpha = \arctan m.[/imath]
Khi đó các nghiệm của phương trình (3) là : [imath]x = \arctan m + k\pi, k \in \mathbb{Z}[/imath]
4) Phương trình [imath]\cot x = m[/imath] (4)
Điều kiện: [imath]x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}[/imath]
Nếu [imath]\alpha[/imath] thỏa mãn điều kiện [imath]\dfrac{-\pi}{2} \leq \alpha \leq \dfrac{pi}{2}[/imath] và [imath]\cot \alpha = m[/imath] thì ta viết [imath]x = \arccot m[/imath]
Khi đó các nghiệm của phương trình (4) là: [imath]x = \arccot m + k\pi, k \in \mathbb{Z}[/imath]
5) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Là phương trình có dạng : [imath]a.f^2(x) + b.f(x) + c = 0[/imath] với [imath]f(x) = \sin u(x)[/imath] hoặc [imath]f(x) = \cos u(x), \tan u(x), \cot u(x).[/imath]
Cách giải:
Đặt [imath]t = f(x)[/imath] ta có phương trình : [imath]at^2 + bt +c = 0[/imath]
Giải phương trình này ta tìm được [imath]t[/imath], từ đó tìm được [imath]x[/imath]
Khi đặt [imath]t = \sin u(x)[/imath] hoặc [imath]t = \cos u(x)[/imath], ta có điều kiện: [imath]-1 \leq t \leq 1[/imath]
6) Phương trình bậc nhất đối với [imath]\sin x[/imath] và [imath]\cos x.[/imath]
Xét phương trình [imath]a\sin x + b\cos x = c (1)[/imath] với [imath]a, b[/imath] là các số thực khác 0.
Cách giải:
- Chia cả 2 vế của phương trình cho [imath]\sqrt{a^2 + b^2}[/imath] ta được:
[imath]\dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}. sinx + \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} . cosx = \dfrac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}[/imath]
- Khi đó phương trình (1) được đưa về dạng: [imath]\sin (x + \alpha) = \dfrac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} (2)[/imath] Ở đó [imath]\alpha[/imath] là cung thỏa mãn : [imath]\cos \alpha = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \sin \alpha = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}[/imath]
- Giải phương trình (2) tương tự mục 1.
Lưu ý: Phương trình chỉ có nghiệm khi [tex]a^2+b^2\geq c^2[/tex]
7) Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với [imath]\sin x[/imath] và [imath]\cos x[/imath] : [imath]a.\sin^2x + b\sin x.\cos x + c.\cos^2x = 0[/imath]
( trong đó [imath]a,b,c[/imath] là những số đã cho, với [imath]a \neq 0[/imath] hoặc [imath]b \neq 0[/imath] hoặc [imath]c \neq 0[/imath])
Cách giải:
TH1: Xét [imath]\cos x = 0[/imath] xem có là nghiệm của phương trình không?
TH2: Xét [imath]\cos x \neq 0[/imath]. Chia hai vế phương trình cho [imath]\cos^2x[/imath] ta được phương trình bậc 2 ẩn là [imath]\tan x.[/imath]
Giải và kết hợp nghiệm của cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình đã cho.
Hoàn toàn tương tự ta có thể làm như trên đối với [imath]\sin x.[/imath]
8) Phương trình đối xứng bậc nhất của [imath]\sin x[/imath] và [imath]\cos x[/imath]: là phương trình có dạng
[imath]a(\sin x + \cos x) + b\cdot \sin x \cdot \cos x + c = 0 (3)[/imath]
Cách giải:
Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ:
- B1: Đặt [imath]t = \sin x + \cos x = \sqrt{2}. \sin (x + \frac{\pi}{4}) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{t^2 - 1}{2} = \sin x \cdot \cos x \\ t \epsilon [ -\sqrt{2}; \sqrt{2}] \end{matrix}\right.[/imath]
- B2: Thay vào (3) ta được phương trình bậc hai theo t.
- B3: Giải nghiệm của pt t = ... theo cách giải phương trình lượng giác cơ bản.
Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng:
[imath]a(\sin x - \cos x) + b\sin x \cos x + c = 0 (4)[/imath]
Để giải phương trình này ta cũng đặt [imath]t = \sin x - \cos x = \sqrt{2}. sin(x - \frac{\pi}{4}) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{-t^2 + 1}{2} = \sin x \cdot \cos x \\ t \in [ -\sqrt{2}; \sqrt{2}] \end{matrix}\right.[/imath]
C. Phương pháp loại nghiệm trong phương trình lượng giác
Phương pháp 1: Biểu diễn các nghiệm và điều kiện xác định lên đường tròn lượng giác. Ta loại đi những điểm biểu diễn của nghiệm trùng với điểm biểu diễn của điều kiện.
Lưu ý:
- Điểm biểu diễn cung [imath]\alpha[/imath] và [imath]\alpha+k2\pi,k \epsilon Z[/imath] là trùng nhau
- Để biểu diễn cung [imath]\alpha + k2\pi[/imath] lên đường tròn lượng giác ta cho k nhận n giá trị (thường chọn k = 0, 1, 2,…,n – 1) nên ta có được n điểm phân biệt cách đều nhau trên đường tròn
Phương pháp 2: Thử trực tiếp
Với điều kiện cũng như bài toán ít nghiệm ta có thể giải phương trình tìm nghiệm rồi thay nghiệm vào điều kiện để kiểm tra.
D. Áp dụng điều kiện có nghiệm để tìm min, max hàm số
Dạng 1: [imath]y = a\sin x + b\cos x[/imath] . ĐK có nghiệm của phương trình : [imath]a^2 + b^2 \geq y^2[/imath]
[imath]\Leftrightarrow - \sqrt{a^2 + b^2} \leq y \leq \sqrt{a^2 + b^2}[/imath]
Dạng 2: Cho [imath]x^2 + y^2 = a[/imath]. Tìm min, max [imath]P = f(x;y)[/imath]
(Phần sau)
E. Tìm điều kiện tham số m để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước (Phần sau)
F. Giải phương trình lượng giác nâng cao (Phần sau)
PP1: Đưa về phương trình tích
PP2: Biến đổi tổng thành tích và ngược lại
PP3: Sử dụng một số đẳng thức quen thuộc
PP4: Sử dụng đánh giá
Bài tập chương I
1) Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau :
[imath]a)[/imath] [imath]y = \sqrt{3- \sin x}[/imath]
[imath]b)[/imath] [imath]y = \dfrac{1-\cos x}{\sin x}[/imath]
[imath]c)[/imath] [imath]y = \sqrt{\dfrac{1 – \sin x}{1+\cos x}}[/imath]
[imath]d)[/imath] [imath]y = \tan (2x + \dfrac{\pi}{3})[/imath]
[imath]e)[/imath] [imath]y = \dfrac{1}{\cos (x - \dfrac{\pi}{3})}[/imath]
[imath]f)[/imath] [imath]y = \dfrac{1 – \cos x}{2\sin x + \sqrt{2}}[/imath]
[imath]g)[/imath] [imath]y = \dfrac{\tan x}{1+\tan x}[/imath]
[imath]h)[/imath] [imath]y = \dfrac{1}{\sqrt{3} \cot (2x) +1)}[/imath]
Bài 2 : Xét tính chẵn lẻ của hàm số sau:
[imath]a)[/imath] [imath]y= -2\sin x[/imath]
[imath]b)[/imath] [imath]y = 3\sin x – 2[/imath]
[imath]c)[/imath] [imath]y = \sin x – \cos x[/imath]
[imath]d)[/imath] [imath]y= \sin x\cos^2 x + \tan x[/imath]
Bài 3: Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
[imath]a)[/imath] [imath]y = \sin x + 2\cos x[/imath]
[imath]b)[/imath] [imath]y = 2\cos (x + \dfrac{\pi}{3}) +3[/imath]
[imath]c)[/imath] [imath]y = \sqrt{1- \sin(x^2)} – 1[/imath]
[imath]d)[/imath] [imath]y = 4 \cdot \sin (\sqrt{x})[/imath]
[imath]e)[/imath] [imath]y = \dfrac{\sin x + 2\cos x +1}{\sin x + \cos x +2}[/imath]
[imath]f)[/imath] [imath]y = \sin^2x + \sin x\cos x + 3\cos^2x[/imath]
Bài 4 : Giải các phương trình lượng giác sau:
[imath]a)[/imath] [imath]\sin 4x = \sin \dfrac{\pi}{5}[/imath]
[imath]b)[/imath] [imath]\sin (\dfrac{x+\pi}{5}) = \dfrac{-1}{2}[/imath]
[imath]c)[/imath] [imath]\cos (\dfrac{x}{2}) = \cos (\sqrt{2})[/imath]
[imath]d)[/imath] [imath]\cos ( x + \dfrac{\pi}{18}) = \dfrac{2}{5}[/imath]
[imath]e)[/imath] [imath]\tan 3x = \tan \dfrac{3\pi}{5}[/imath]
[imath]f)[/imath] [imath]\tan (x – 15^o) = 5[/imath]
[imath]g)[/imath] [imath]\tan (2x – 1) = \sqrt{3}[/imath]
[imath]h)[/imath] [imath]\cot 2x = \cot (\dfrac{-1}{3})[/imath]
[imath]i)[/imath] [imath]3\cos x +4\sin x = -5[/imath]
[imath]j)[/imath] [imath]2\sin 2x -2\cos 2x = \sqrt{2}[/imath]
[imath]k)[/imath] [imath]5\sin 2x – 6\cos^2x =13[/imath]
[imath]l)[/imath] [imath]2\cos^2x – 3\cos x + 1 =0[/imath]
[imath]m)[/imath] [imath]\cos^2x + \sin x + 1 = 0[/imath]
[imath]n)[/imath] [imath]\sqrt{3} \cdot \tan^2x – (1+ \sqrt{3}) \cdot \tan x +1 = 0[/imath]
[imath]o)[/imath] [imath]2\sin^2x + 3.\sqrt{3} \cdot \sin x \cdot \cos x – \cos^2x = 4[/imath]
[imath]p)[/imath] [imath]\sin^2x + \sin 2x – 2.\cos^2x = \dfrac{1}{2}[/imath]
[imath]q)[/imath] [imath]3(\sin x + \cos x) + 2\sin x \cdot \cos x+3 = 0[/imath]
[imath]r)[/imath] [imath]\cos x – \sin x +6\cos x \cdot \sin x = 1[/imath]
[imath]s)[/imath] [imath]1 + \sin^3x + \cos^3x – 3\sin x\cos x =0[/imath]