Toán 11 Ánh xạ ngược (fix)

[thegooobs]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho ánh xạ [imath]f: \mathbb R[/imath] \{1} [imath]\rightarrow \mathbb R[/imath]
theo quy tắc [imath]f(x)=\frac{x+1}{x-1}[/imath].
i) Chứng minh [imath]f[/imath] đơn ánh.
ii) Xác định tập [imath]f^{-1}((0;3])[/imath]

 

[Alice_www]

Cho ánh xạ [imath]f: \mathbb R[/imath] \{0} [imath]\rightarrow \mathbb R[/imath]
theo quy tắc [imath]f(x)=\frac{x+1}{x-1}[/imath].
i) Chứng minh [imath]f[/imath] đơn ánh.
ii) Xác định tập [imath]f^{-1}((0;3])[/imath]

thegooobs
Đề phải là này chứ em nhỉ: [imath]f: \mathbb{R}\backslash \{1\}\to \mathbb{R}[/imath]

 

[thegooobs]

Đề phải là này chứ em nhỉ: [imath]f: \mathbb{R}\backslash \{1\}\to \mathbb{R}[/imath]

Alice_wwwĐể em sửa ạ em ghi nhầm ạ

 

[Alice_www]

a) Lấy [imath]f(x),f(y)\in \mathbb{R}[/imath] sao cho [imath]f(x)=f(y)[/imath]

Khi đó [imath]\exists x,y \in \mathbb{R}\backslash\{1\}[/imath] sao cho [imath]f(x)=f(y)[/imath]

[imath]\Rightarrow \dfrac{x+1}{x-1}=\dfrac{y+1}{y-1}\iff (y-1)(x+1)=(y+1)(x-1)[/imath]

[imath]\iff xy-x+y-1=xy+x-y-1\iff x=y[/imath]

Vậy [imath]f[/imath] đơn ánh

b) Lấy [imath]f(x)\in (0,3][/imath]

Khi đó [imath]\exists x \in \mathbb{R}\backslash\{1\}[/imath] sao cho [imath]f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}[/imath]

[imath]\Rightarrow (x-1)f(x)=x+1\Rightarrow x(f(x)-1)=1+f(x)[/imath] (*)

Xét [imath]f(x)=1[/imath] (*)[imath]\iff 0=2[/imath] (vô lí)

Xét [imath]f(x)\ne 1[/imath] ta có: [imath]x=\dfrac{f(x)+1}{f(x)-1}[/imath]

Xét [imath]g(x)=\dfrac{x+1}{x-1},\quad x\in (0,3]\backslash\{1\}[/imath]

[imath]g'(x)=\dfrac{-2}{(x-1)^2}<0\forall x\ne 1[/imath]

Vậy [imath]g[/imath] nghịch biến trên [imath]x\in (0,3]\backslash\{1\}[/imath]
BBT


Vậy [imath]f^{-1}((0,3])=(-\infty,-1)\cup [2,+\infty)[/imath]

Có gì khúc mắc em hỏi lại nha
Ngoài ra, em xem thêm tại Tổng hợp kiến thức toán 11

 

[7 1 2 5]

i) Viết lại [imath]f(x)=1+\dfrac{2}{x-1}[/imath]
Giả sử tồn tại [imath]x_1,x_2 \neq 1[/imath] sao cho [imath]f(x_1)=f(x_2)[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{2}{x_1-1}=\dfrac{2}{x_2-1} \Leftrightarrow x_1=x_2[/imath]
Vậy [imath]f[/imath] là đơn ánh.
ii) Xét bảng biến thiên của hàm số [imath]y=\dfrac{x+1}{x-1}[/imath]
[math]\begin{array}{c|ccccccccccc} x & -\infty & & -1 & & & 1 & & & 2 & & +\infty \\ \hline y' & & & - & & & || & & - \\ \hline y & 1 & & & & & || & & & & & \\ & & \searrow & & & & || & & & & & \\ & & & 0 & & & || & & & & & \\ & & & & \searrow & & || & & & & & \\ & & & & & -\infty & || & +\infty & & & & \\ & & & & & & || & & \searrow & & & \\ & & & & & & || & & & 3 & & \\ & & & & & & || & & & & \searrow & \\ & & & & & & || & & & & & 1 \end{array}[/math]Từ đó ta thấy miền giá trị của [imath]y[/imath] là [imath]\mathbb{R}[/imath], suy ra [imath]f[/imath] là song ánh. Từ đó tồn tại [imath]f^{-1}[/imath]
Ta thấy [imath](0,3]=(0,1) \cup [1,3][/imath]. Nhìn vào bảng biến thiên ta có [imath]f^{-1}((0,1))=(-\infty,-1), f^{-1}([1,3])=[2,+\infty)[/imath] nên [imath]f^{-1}((0,3])=(-\infty,-1) \cup [2,+\infty)[/imath]

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé

Bài giảng Trường hè học sinh - giáo viên trường THPT chuyên 2022​