Toán 10 Bất đẳng thức

[uyyyn.-.]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mn giúp em vs ạ.

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\dfrac{4 \sqrt{bc}}{2a + b + c} + \dfrac{4\sqrt{ca}}{2b + c + a} + \dfrac{4\sqrt{ab}}{2c + a + b} \le \sqrt{\dfrac{2a}{b + c}} + \sqrt{\dfrac{2b}{c + a}} + \sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}$

 

[kido2006]

$$\sum \sqrt{\dfrac{2a}{b+c}}=\sum \dfrac{4a}{2\sqrt{2a(b+c)}}\geq \sum \dfrac{4a}{2a+b+c}$$Do đó ta chỉ cần chứng minh
$$\sum \dfrac{4a}{2a+b+c}\geq \sum \dfrac{4\sqrt{bc}}{2a+b+c}$$$$\Leftrightarrow \sum \left ( \dfrac{2a}{2a+b+c}-\dfrac{2\sqrt{bc}}{2a+b+c} \right )\geq 0$$$$\Leftrightarrow \sum \left ( \dfrac{2a}{2a+b+c}-\dfrac{2\sqrt{bc}}{2a+b+c}-1 \right )\geq -3$$$$\Leftrightarrow \sum \dfrac{-(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{2a+b+c}\geq -3$$$$\Leftrightarrow \sum \dfrac{(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{2a+b+c}\leq 3$$
Thật vậy
$$\sum \dfrac{(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{2a+b+c}\leq \sum \left (\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c} \right )=3(Q.E.D)$$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức

 

[uyyyn.-.]

$$\sum \sqrt{\dfrac{2a}{b+c}}=\sum \dfrac{4a}{2\sqrt{2a(b+c)}}\geq \sum \dfrac{4a}{2a+b+c}$$Do đó ta chỉ cần chứng minh
$$\sum \dfrac{4a}{2a+b+c}\geq \sum \dfrac{4\sqrt{bc}}{2a+b+c}$$$$\Leftrightarrow \sum \left ( \dfrac{2a}{2a+b+c}-\dfrac{2\sqrt{bc}}{2a+b+c} \right )\geq 0$$$$\Leftrightarrow \sum \left ( \dfrac{2a}{2a+b+c}-\dfrac{2\sqrt{bc}}{2a+b+c}-1 \right )\geq -3$$$$\Leftrightarrow \sum \dfrac{-(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{2a+b+c}\geq -3$$$$\Leftrightarrow \sum \dfrac{(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{2a+b+c}\leq 3$$
Thật vậy
$$\sum \dfrac{(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{2a+b+c}\leq \sum \left (\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c} \right )=3(Q.E.D)$$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức

kido2006em k hiểu đoạn này lắm

 

[kido2006]

em k hiểu đoạn này lắm

Hằng CaoỞ dấu tương đương thứ nhất thì bạn trừ vế rồi chia cả 2 vế cho 2
Ở dấu thứ hai thì bạn trừ 2 vế cho 3
Ở dấu thứ ba thì bạn quy đồng
Ở dấu thứ tư thì bạn nhân 2 vế với trừ 1 do đó bđt đổi chiều
Còn đoạn cuối thì dùng Cauchy Schwarz nhé ^^

 

[uyyyn.-.]

Ở dấu tương đương thứ nhất thì bạn trừ vế rồi chia cả 2 vế cho 2
Ở dấu thứ hai thì bạn trừ 2 vế cho 3
Ở dấu thứ ba thì bạn quy đồng
Ở dấu thứ tư thì bạn nhân 2 vế với trừ 1 do đó bđt đổi chiều
Còn đoạn cuối thì dùng Cauchy Schwarz nhé ^^

kido2006sao dòng 2 trừ 3 vậy ạ

 

[uyyyn.-.]

Ở dấu tương đương thứ nhất thì bạn trừ vế rồi chia cả 2 vế cho 2
Ở dấu thứ hai thì bạn trừ 2 vế cho 3
Ở dấu thứ ba thì bạn quy đồng
Ở dấu thứ tư thì bạn nhân 2 vế với trừ 1 do đó bđt đổi chiều
Còn đoạn cuối thì dùng Cauchy Schwarz nhé ^^

kido2006vs 3(Q.E.D) là sao ạ

 

[kido2006]

sao dòng 2 trừ 3 vậy ạ

Hằng Caotrừ 3 để tạo thành bình phương thôi bạn, còn đoạn cuối mình thêm vào làm màu mè th:vv, chứ $\le 3$ là xong rồi mà

 

[uyyyn.-.]

trừ 3 để tạo thành bình phương thôi bạn, còn đoạn cuối mình thêm vào làm màu mè th:vv, chứ $\le 3$ là xong rồi mà

kido20062 là cm cho 1 đúng đúng k ạ, nhg e vẫn chx hiểu đoạn đó lắm

 

[7 1 2 5]

2 là cm cho 1 đúng đúng k ạ, nhg e vẫn chx hiểu đoạn đó lắm

Hằng CaoToàn bộ đoạn biến đổi tương đương là nhằm để đưa việc chứng minh đề bài thành việc chứng minh bất đẳng thức cuối cùng nhé.

 

[uyyyn.-.]

Toàn bộ đoạn biến đổi tương đương là nhằm để đưa việc chứng minh đề bài thành việc chứng minh bất đẳng thức cuối cùng nhé.

7 1 2 5Chị hiểu sai ý e rồi.

 

[7 1 2 5]

Chị hiểu sai ý e rồi.

uyyyn.-.Hmm, thế em chưa hiểu chính xác đoạn nào vậy á?

 

[kido2006]

Chị hiểu sai ý e rồi.

uyyyn.-.Bạn hiểu nôm na là mình sẽ đi từ phần dưới cùng rồi lên nhé , mình ghi vậy cho bạn thấy được hướng đi của mình thôi, vì BĐT thường sẽ trình bày như thế:v