Toán 12 Bài toán liên quan đến nghiệm bội

[boywwalkman]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Dạ cho em hỏi bài này ạ: Cho [imath]f(x)[/imath] có nghiệm bội [imath]x=a[/imath] bậc [imath]n[/imath], chứng minh rằng giả thiết bài toán tương đương [imath]\left\{\begin{matrix} f(a)=0 & & & \\ f'(a)=0 & & & \\ ... & & & \\ f^{(n-1)}(a)=0 & & & \end{matrix}\right.[/imath].
Em cảm ơn.

 

[Timeless time]

Dạ cho em hỏi bài này ạ: Cho [imath]f(x)[/imath] có nghiệm bội [imath]x=a[/imath] bậc [imath]n[/imath], chứng minh rằng giả thiết bài toán tương đương [imath]\left\{\begin{matrix} f(a)=0 & & & \\ f'(a)=0 & & & \\ ... & & & \\ f^{(n-1)}(a)=0 & & & \end{matrix}\right.[/imath].
Em cảm ơn.

boywwalkmanBài này chị thấy giống như mình chứng minh công thức đạo hàm ý em
Giả sử hàm [imath]f(x) = (x - a)^n[/imath]
Ta có, đạo hàm bậc [imath]k[/imath] của [imath]f(x)[/imath] là: [imath]f^{(k)} = \dfrac{n!}{(n-k)!}(x-a)^{(n - k)}[/imath]
Từ công thức này em có thể thấy, nếu đạo hàm là cấp nhỏ hơn [imath]n[/imath] thì ta vẫn sẽ còn [imath](x - a)[/imath] và thi thay [imath]a[/imath] vào thì [imath]f(x)[/imath] chắc chắn bằng [imath]0[/imath]

Có gì không hiểu em hỏi lại nha
Em xem thêm kiến thức đạo hàm tại đây nhé:

• Đạo hàm của hàm số
• Đạo hàm cấp cao của hàm số

 

[2712-0-3]

Dạ cho em hỏi bài này ạ: Cho [imath]f(x)[/imath] có nghiệm bội [imath]x=a[/imath] bậc [imath]n[/imath], chứng minh rằng giả thiết bài toán tương đương [imath]\left\{\begin{matrix} f(a)=0 & & & \\ f'(a)=0 & & & \\ ... & & & \\ f^{(n-1)}(a)=0 & & & \end{matrix}\right.[/imath].
Em cảm ơn.

boywwalkmanChiều thuận:
Đặt [imath]f(x) = (x-a)^n g(x)[/imath]
[imath]\Rightarrow f'(x) = n(x-a)^{n-1} g(x) + (x-a)^n g'(x) = (x-a)^{n-1} ( n.g(x) + g'(x)) = (x-a)^{n-1} g_1(x)[/imath]
Cứ tương tự như thế, ta sẽ xuất hiện được:
[imath]\Rightarrow f^{(n-1)} (x) = (x-a) g_{n-1} (x)[/imath]
Suy ra [imath]f(a) =0 ; f'(a) =0 ; \cdots f^{(n-1)} (a) =0[/imath]
---Muốn tường minh, bạn có thể chứng minh theo quy nạp nhé, ở đây mình nghĩ không cần nhé---
Chiều đảo:
Vì [imath]f(a) = 0 \Rightarrow f(x) = (x-a) .g(x)[/imath]
[imath]\Rightarrow f'(x) = g'(x) (x-a) + g(x)[/imath]
Mà [imath]f'(a) =0 \Rightarrow g(a) =0 \Rightarrow g(x) =u_1 (x) (x-a) \Rightarrow f'(x) =(x-a) (g'(x) + u_1 (x) ) =(x-a) g_1 (x)[/imath]
Cứ như vậy, ta sẽ chỉ ra được [imath]f(x) = (x-a)^n g_{n-1}(x)[/imath]
Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Ngoài ra mời bạn tham khảo:

• Đạo hàm của hàm số
• Đạo hàm cấp cao của hàm số