Toán 11 Đạo hàm cấp cao của hàm số

Thảo luận trong 'Đạo hàm' bắt đầu bởi Sweetdream2202, 26 Tháng tám 2019.

Lượt xem: 262

  1. Sweetdream2202

    Sweetdream2202 Cố vấn Toán Cố vấn chuyên môn

    Bài viết:
    1,578
    Điểm thành tích:
    216
    Nơi ở:
    TP Hồ Chí Minh
    Trường học/Cơ quan:
    Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    1. đạo hàm cấp 2 của hàm số
    - cho hàm số [tex]f(x)[/tex] có đạo hàm là [tex]f'(x)[/tex]. nếu hàm số [tex]f'(x)[/tex] có đạo hàm thì thì ta nói đạo hàm của [tex]f'(x)[/tex] là đạo hàm cấp 2 của hàm số [tex]y=f(x)[/tex].
    - đạo hàm cấp 2 của hàm số [tex]y=f(x)[/tex] được kí hiệu là [tex]f''(x)[/tex] hoặc [tex]y''[/tex].

    ví dụ 1: cho hàm số [tex]y=sinx[/tex]. tính đạo hàm cấp 2 của hàm số đã cho.
    đạo hàm cấp 1: [tex]y'=(sinx)'=cosx[/tex]
    đạo hàm cấp 2: [tex]y''=(cosx)'=-sinx[/tex].

    ví dụ 2: cho hàm số [tex]y=\sqrt{x^2+x+1}[/tex]. tính [tex]y''[/tex].
    đạo hàm cấp 1: [tex]y'=\frac{(x^2+x+1)'}{2\sqrt{x^2+x+1}}=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}[/tex]
    đạo hàm cấp 2: [tex]y''=\left ( \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}} \right )'=\frac{(2x+1)'.\sqrt{x^2+x+1}-(2x+1).(\sqrt{x^2+x+1})'}{2(x^2+x+1)}=\frac{3}{4\sqrt{(x^2+x+1)^3}}[/tex]

    ví dụ 3: cho hàm số [tex]y=\sqrt{x^2+x+3}[/tex]. Chứng minh rằng: [tex]y.y''+(y')^2=1[/tex]
    cách 1: tính y' và y'' rồi thay vào biểu thức trên.
    cách 2:
    ta có: [tex]y'=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+3}}<=>2\sqrt{x^2+x+3}.y'=2x+1<=>2y.y'=2x+1[/tex]
    lấy đạo hàm 2 vế, ta có:
    [tex]2.(y.y')'=(2x+1)'[/tex] [tex]<=>2.(y.y''+(y')^2)=2<=>y.y''+(y')^2=1[/tex]
    - ý nghĩa của đạo hàm cấp 2:
    + một vật chuyển động theo phương trình [tex]s(t)[/tex], biểu thị quãng đường theo thời gian t vật chuyển động.
    + [tex]s'(t)=v(t)[/tex] : vận tốc
    + [tex]s''(t)=v'(t)=a(t)[/tex] : gia tốc ( đặc trương cho sự thay đổi vận tốc của vật ).

    2. đạo hàm cấp cao của hàm số
    cho hàm số [tex]y=f(x)[/tex] có đạo hàm cấp [tex](n-1)[/tex] là [tex]f^{(n-1)}[/tex]. nếu hàm số [tex]f^{(n-1)}[/tex] có đạo hàm thì ta nói đạo hàm của hàm số [tex]f^{(n-1)}[/tex] là đạo hàm cấp n của hàm số [tex]y=f(x)[/tex].
    kí hiệu đạo hàm cấp n là [tex]f^{(n)}(x)[/tex] hoặc [tex]y^{(n)}(x)[/tex]. [tex](n\geq 1;n\in \mathbb{N})[/tex]
    quan niệm: [tex]f^{(0)}(x)=f(x);f^{(1)}(x)=f'(x);f^{(2)}(x)=f''(x.)[/tex]
    - phương pháp tính đạo hàm cấp n:
    + về nguyên tắc, khi tính [tex]f^{(n)}(x)[/tex] ta phải đi tính [tex]f'(x), f''(x),...,f^{(n-1)}(x)[/tex]. [tex]f^{(n)}=[f^{(n-1)}]'[/tex]. tuy nhiên chỉ nên dùng khi tính đạo hàm cấp 5 trở xuống.
    + khi tính đạo hàm cấp cao của 1 số hàm số, ta có thể đạo hàm 1 vài lần, rồi dự đoán công thúc tổng quát của đạo hàm. rồi chứng minh công thức tổng quát bằng quy nạp.

    ví dụ 4: cho hàm số [tex]y=sin(ax+b)[/tex]. tính đạo hàm cấp n.
    đạo hàm cấp 1: [tex]y'=a.cos(ax+b)=a^1.sin(ax+b+\frac{\pi }{2})[/tex]
    đạo hàm cấp 2: [tex]y'=-a^2.sin(ax+b)=a^2.sin(ax+b+2.\frac{\pi }{2})[/tex]
    đạo hàm cấp 3: [tex]y'=-a^3.cos(ax+b)=a^3.sin(ax+b+3.\frac{\pi }{2})[/tex]
    như vậy, ta có thể dự đoán được công thức tổng quát của đạo hàm cấp thứ n của hàm số là: [tex]y^{(n)}=a^n.sin(ax+b+n.\frac{\pi }{2})[/tex] (*).

    chứng minh bằng quy nạp:
    với n=1, thì (*) đúng.
    giả sử (*) đúng với n=k. hay [tex]y^{(k)}=a^k.sin(ax+b+k.\frac{\pi }{2})[/tex]
    ta phải chứng minh (*) cũng đúng với n=k+1. ta có:
    [[tex]y^{(k+1)}=y^{(k)}'=a^{k+1}.cos(ax+b+k.\pi /2)=a^{k+1}.sin(ax+b+(k+1).\pi /2)[/tex]
    vậy, (*) đúng.

    * đạo hàm cấp cao của một số hàm thường gặp.
    - [tex]y=(ax+b)^\alpha[/tex]
    + nếu [tex]\alpha \neq 1: y^{(n)}=\alpha (\alpha -1)...(\alpha -(n-1)).\alpha ^n.(ax+b)^{\alpha -1}[/tex]
    + nếu [tex]\alpha =-1: y^{(n)}=\frac{(-1)^n.n!.a^n}{(ax+b)^{n+1}}[/tex]
     
    Phuong Viphuonghoahalam@gmail.com thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->