Cho: a,b,c [tex]\geq[/tex] 0; a+b+c=3. Tìm giá trị lón nhất và nhỏ nhất : P = [tex]\sqrt{3a+1} + \sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}[/tex]
Ta sẽ đi tìm m và n trong [tex]\sqrt{3a+1}\geq ma+n[/tex] $(1)$
Dễ thấy GTNN xảy ra tại $a=3$ hoặc $a=0$
Thay $a=3$ và $a=0$ vào $(1)$ ta có hệ [tex]\left\{\begin{matrix} 1=n\\ \sqrt{10}=3m+n \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n=1\\ m=\frac{\sqrt{10}-1}{3} \end{matrix}\right.[/tex]
Do đó ta đi chứng minh [tex]\sqrt{3a+1}\geq \frac{\sqrt{10}-1}{3}.a+1[/tex] (biến đôi tương đương ta được $0 \le a \le 3 \rightarrow $ đúng )
Chứng minh tương tự rồi cộng vế với vế ta được $P \ge \frac{\sqrt{10}-1}{3}.(a+b+c)+3=\sqrt{10}+2$
Dấu = xảy ra tại $a=3;b=c=0$ và các hoán vị
Nếu còn thắc mắc chỗ nào thì bảo mình nhé ^^