tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi a,b,c là độ đai ba cạnh tam giác. Chứng minh sinA/2=< a/2 căn bc
Hình:
Bài này phải dùng bài toán phụ nhe
____________________________________________________________________________
Kẻ phân giác góc A là [TEX]AF[/TEX] (F thuộc BC)
Ta có: [tex]S_{ABC}=S_{ABF}+S_{ACF}[/tex][tex]=\frac{AB.AF.\sin \frac{A}{2}}{2}+\frac{AC.AF.\sin \frac{A}{2}}{2}[/tex][tex]=\frac{AF.\sin \frac{A}{2}.(b+c)}{2}[/tex]
Lại có: [tex]S_{ABC}=\frac{BC.AD}{2}\leq \frac{BC.AF}{2}=\frac{a.AF}{2}[/tex] (Do [TEX]AD<AF[/TEX])
Từ 2 điều trên
=> [tex]\frac{a.AF}{2}\geq \frac{AF.\sin \frac{A}{2}.(b+c)}{2}[/tex]
Triệt tiêu mấy thứ vớ vẩn
=> [tex]\sin \frac{A}{2}\leq \frac{a}{b+c}[/tex]
Theo AM-GM
=> [tex]\sin \frac{A}{2}\leq \frac{a}{2\sqrt{bc}}[/tex] (đpcm)
Dấu "=" xảy ra <=> [TEX]b=c[/TEX] hay [TEX]AB=Ac[/TEX]
=> [tex]\Delta ABC[/tex] cân tại A
_______________________________________________________________________________
À quên, bạn tự CM bài toán phụ nha <3
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
