bất đẳng thức

H

huradeli

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,Cho 2 dãy số cùng chiều: $a_1\leq a_2\leq a_3$ ; $b_1\leq b_2\leq b_3$.
Chứng minh rằng : $(a_1+a_2+a_3)(b_1+b_2+b_3)\leq3(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)$
Áp dụng chứng minh rằng: Với $0\leq a\leq b\leq c$ thì: $\frac{a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}{a^{2006}+b^{2006}+c^{2006}}\leq\frac{3}{a+b+c}$
 
H

huynhbachkhoa23

Bài 1:

Đổi thứ tự lại cũng không làm "hư hỏng" bài toán =))

$a_1 \ge a_2 \ge a_3$

$b_1 \ge b_2 \ge b_3$

$(a_1-a_2)(b_1-b_2) \ge 0 \leftrightarrow a_1.b_1+a_2.b_2 \ge a_1.b_2+a_2.b_1$

Tương tự ta có $2(a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3) \ge a_1.b_2+a_2.b_1+a_2.b_3+a_3.b_2+a_3.b_1+a_1.b_3$

$\leftrightarrow 3(a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3) \ge (a_1+a_2+a_3)(b_1+b_2+b_3)$ (Cộng cả 2 vế cho $a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3$)

Đây là BDT Trebusep

Bài 2:

$\dfrac{a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}{a^{2006}+b^{2006}+c^{2006}}=\dfrac{a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}{a^{2005}.a+b^{2005}.b+c^{2005}.c}$

Theo Trebusep: $a^{2005}.a+b^{2005}.b+c^{2005}.c \ge \dfrac{1}{3}(a+b+c)(a^{2005}+b^{2005}+c^{2005})$

Suy ra điều cần chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
 
H

huynhbachkhoa23

You must log in or register to reply here.
Top Bottom