Toán $\color{Teal}{\fbox{Toán 9}\text {Chuyên đề hình học phẳng} }$

[toiyeu9a3]

Bài 1: Cho hình vuông [FONT=MathJax_Math]A[/FONT][FONT=MathJax_Math]B[/FONT][FONT=MathJax_Math]C[/FONT][FONT=MathJax_Math]D[/FONT] cố định, cạnh [FONT=MathJax_Math]a[/FONT]. [FONT=MathJax_Math]E[/FONT] di chuyển trên [FONT=MathJax_Math]C[/FONT][FONT=MathJax_Math]D[/FONT] và [FONT=MathJax_Math]A[/FONT][FONT=MathJax_Math]E[/FONT][FONT=MathJax_Main],[/FONT][FONT=MathJax_Math]B[/FONT][FONT=MathJax_Math]C[/FONT] cắt nhau tại [FONT=MathJax_Math]F[/FONT]. Đường thẳng vuôn góc với [FONT=MathJax_Math]A[/FONT][FONT=MathJax_Math]E[/FONT] tại [FONT=MathJax_Math]A[/FONT] cắt đường thẳng [FONT=MathJax_Math]C[/FONT][FONT=MathJax_Math]D[/FONT] tại [FONT=MathJax_Math]K[/FONT].

(a) Chứng minh: [FONT=MathJax_Math]A[/FONT][FONT=MathJax_Math]F[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]C[/FONT][FONT=MathJax_Math]K[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]C[/FONT][FONT=MathJax_Math]F[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Math]B[/FONT][FONT=MathJax_Math]D[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Math]F[/FONT][FONT=MathJax_Math]K[/FONT]

(b) Chứng minh [FONT=MathJax_Math]I[/FONT] là trung điểm của [FONT=MathJax_Math]K[/FONT][FONT=MathJax_Math]F[/FONT] và [FONT=MathJax_Math]I[/FONT] di động trên một đường thẳng cố định khi [FONT=MathJax_Math]E[/FONT] chuyển động trên [FONT=MathJax_Math]C[/FONT][FONT=MathJax_Math]D[/FONT].

(c) Chỉ ra [FONT=MathJax_Math]E[/FONT] để [FONT=MathJax_Math]E[/FONT][FONT=MathJax_Math]K[/FONT] ngắn nhất.

a.Ta có : $\widehat{FCK} = \widehat{FAK} = 90^0$ \Rightarrow $\diamond FCAK$ nội tiếp \Rightarrow $\widehat{ACK} = \widehat{AFK} = 45^0$ \Rightarrow $\triangle$ AFK vuông cân
Áp dụng định lí Pơtôlême ta có: AF.CK = CF.AK + AC.FK = CF.AF + AC.FK \Rightarrowđpcm
b. Chẳng thấy điểm I trong giả thiết . Nhưng với điều kiện I là trung điểm của FK \Rightarrow I là tâm đường tròn ngoại tiếp $\diamond$ ACFK \Rightarrow IA = IC \Rightarrow I thuộc đường trung trực của AC
c. $EK^2 = AE^2 + AK^2 = 2AD^2 + ED^2 + DK^2$ \geq $2AD^2 + \dfrac{EK^2}{2}$ \Rightarrow EK \geq 2AD
dấu = xảy ra \Leftrightarrow E trùng với C

 

[toiyeu9a3]

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O:R)
cm: $\frac{BC}{sinA}=\frac{CA}{sinB}=\frac{AB}{sinC}=2R$.

Chứng minh $\dfrac{BC}{sinA} = 2R$
Kẻ đường kính BB' \Rightarrow BB' = 2R
Ta có: $\dfrac{BC}{BB'}$ = sin$\widehat{BB'C}$
Mà $\widehat{BB'C} = \widehat{BAC}$ ( cùng chắn cung BC nhỏ) \RightarrowĐpcm
Hoàn toàn tương tự

 

[tanngoclai]

Bài 2: Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB=2R$, dây cung $AC$. Gọi $M$ là điểm chính giữa cung $AC$. Đường thẳng qua $C$ song song với $MB$ cắt $AM$ ở $K$ và cắt đường $OM$ ở $D$. $OD$ cắt $AC$ ở $H$.

(a) Chứng minh:
- $CKMH$ nội tiếp.
- $CD=MB$ và $DM=CB$.

(b) Xác định $C$ để $AD$ là tiếp tuyến.

(c) Khi $AD$ là tiếp tuyến. Tính $S_{ADC}$ "ở ngoài $(O)$" theo $R$

Lâu lắm rồi không làm bài hình nào =)) Hình tự vẽ nhá =))

a) Dễ dàng chứng minh : $\widehat{AHM}=\widehat{AMB}=\widehat{AKC}=90^o \to MHCK$ nội tiếp.

- Lại có : $MO \bot AC; BC \bot AC \to MO // BC \to \widehat{OMB}=\widehat{MBC}$

$\rightarrow \widehat{DMB}+\widehat{MBC}=\widehat{MBC}+\widehat{BCD}=180^o \to DM // BC$

$\to BCDM$ là hình bình hành $\to CD=BM; \ DM=BC$

b) AD là tiếp tuyến $\leftrightarrow \widehat{DAC}+\widehat{BAC}=90^o$

Chứng minh : $\widehat{DAC}=\widehat{HCD}; \ \widehat{MAC}=\widehat{CBM}$

Có : $\widehat{DCA}+\widehat{MBC}+\widehat{ACB}=180^o \to \widehat{MBC}+ \widehat{ACD}=90^o$

$\to \widehat{MBC}+ \widehat{ACD}= \widehat{DAC}+ \widehat{BAC}=90^o \to \widehat{MAC}=\widehat{BAC} \to $ cung AM = cung MC = cung BC.

c) Chứng minh tam giác ACD đều. Tính AC theo R bằng Pythagore ( chứng minh BC = OB ).Tính tiếp diện tích nửa hình tròn, $3S_{AMO} \to$ phần tam giác ACD ở trong (O).

Bác Khoa vẽ hình bằng cái gì thế :3

 

[huynhbachkhoa23]

Vẽ bằng tay hết, giờ không vẽ bằng phần mềm nữa ) Trừ khi là đồ thị hàm số

Tiếp, bài dễ hơn nhiều theo yêu cầu của phuong_july:

Bài 1:

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$ và có $I$ là tâm nội tiếp. Đường thẳng $BI, CI$ cắt $(O)$ tại $E, F$. Gọi $K, D, M$ lần lượt là giao điểm của $AI$ với $EF, BC, (O)$

Biết $AB+AC=2BC$. Chứng minh $IK=ID$

Bài 2:

$\Delta ABC$ nhọn có $AD$ là đường cao. $O, H$ lần lượt là tâm ngoại tiếp và trực tâm của $\Delta ABC$. Qua $D$ dựng $d \bot OD$ cắt $AB$ tại $K$.

Chứng minh $\widehat{DHK}+\widehat{AHC}=180^{o}$

Nhìn đề thế thôi chứ dễ lắm

 

[huynhbachkhoa23]

Trước khi làm thì mình xin giới thiệu một định lý mới, rất hay và cũng rất quan trọng. Đó là định lý con bướm:

Định lý này phát biểu như sau:

Cho dây cung $AB$ và $I$ là trung điểm $AB$

Dây $CD, EF$ bất kỳ đi qua $I$

Giả sử $ED; CF$ lần lượt cắt $AB$ tại $P$ và $Q$

Khi đó, $IP=IQ$

Chứng minh có trong cách tài liệu trên mạng )

Các bạn hãy thử ứng dụng vào 2 bài trên

 

[phuong_july]

2.

Hình vẽ không mang tính chất chính xác chỉ mang t/c minh hoạ thôi. Đánh thiếu mất điểm K.
Kẻ thêm hình như hình vẽ.
Dễ chứng minh được $\bigtriangleup HIC$ cân (CD vừa là đường cao và phân giác)
\Rightarrow +$\widehat{HIC}=\widehat{IHC}$ \Leftrightarrow $\widehat{DIM}=\widehat{IHC}$ (1)
+ $KH=DI$
Áp dụng định lý con bướm ta có: $KD=KM$
Từ đó chứng minh được: $\bigtriangleup KDH=\bigtriangleup MDI(c.g.c)$
\Rightarrow $\widehat{DHK}=\widehat{DIM}$ (2)
Từ (1),(2) \Rightarrow $\widehat{DHK}=\widehat{IHC}$
\Rightarrow ĐPCM.
Chủ pic chữa bài 1 đi, được 2 ngày rồi.

 

[huynhbachkhoa23]

2.

Hình vẽ không mang tính chất chính xác chỉ mang t/c minh hoạ thôi. Đánh thiếu mất điểm K.
Kẻ thêm hình như hình vẽ.
Dễ chứng minh được $\bigtriangleup HIC$ cân (CD vừa là đường cao và phân giác)
\Rightarrow +$\widehat{HIC}=\widehat{IHC}$ \Leftrightarrow $\widehat{DIM}=\widehat{IHC}$ (1)
+ $KH=DI$
Áp dụng định lý con bướm ta có: $KD=KM$
Từ đó chứng minh được: $\bigtriangleup KDH=\bigtriangleup MDI(c.g.c)$
\Rightarrow $\widehat{DHK}=\widehat{DIM}$ (2)
Từ (1),(2) \Rightarrow $\widehat{DHK}=\widehat{IHC}$
\Rightarrow ĐPCM.
Chủ pic chữa bài 1 đi, được 2 ngày rồi.

Làm rõ hơn bài của em.

$\Delta HIC$ cân do $HI \bot CD$ và $DH=DI$

Có $OD \bot KM$ nên có $D$ là trung điểm dây đi qua $K,M$

$AI,BC$ là 2 dây qua $D$

Theo định lý con bướm thì $DM=DK$ không phải $DK=KM$

Phần còn lại thì dễ hiểu.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$ và có $I$ là tâm nội tiếp. Đường thẳng $BI, CI$ cắt $(O)$ tại $E, F$. Gọi $K, D, M$ lần lượt là giao điểm của $AI$ với $EF, BC, (O)$

Biết $AB+AC=2BC$. Chứng minh $IK=ID$

Bài toán đưa về chứng minh $IA=IM$

$\widehat{AMC}=\widehat{ABD}$

Suy ra $\Delta AMC \sim \Delta ABD$

Suy ra $\dfrac{MC}{MA}=\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{DC}{AD}= \dfrac{BC}{AB+AC}=\dfrac{1}{2}$

$\Delta MCI$ cân tại $M$ (Điều hiển nhiên) suy ra $IM=MC$

Suy ra $IM=\dfrac{1}{2}MA$

Suy ra $IA=IM$

 

[huynhbachkhoa23]

Cho đường tròn tâm $(O)$ và $(I)$ cắt nhau tại $A,B$ phân biệt. $OB$ cắt $(I)$ tại $F$, $IB$ cắt $(O)$ tại $E$

Qua $B$ kẻ $d$ song song với $EF$ cắt $(O)$ và $(I)$ lần lượt tại $M$ và $N$

Chứng minh:

(a) $AOEI$ nội tiếp.

(b) $AE+AF=MN$

 

[huynhbachkhoa23]

Cho nửa đừng tròn đường kính $BC$, tâm $O$.

Trên nửa đường tròn $(O)$ chọn $E, F$ sao cho $F$ nằm giữa $B,E$

$BF, CE$ giao nhau tại $A$

$BE$ cắt $CF$ tại $H$

Tiếp tuyến tại $E,F$ cắt nhau tại $I$

Chứng minh $I$ là tâm ngoại tiếp của tứ giác $AEHF$

 

[phuong_july]

Cho đường tròn tâm $(O)$ và $(I)$ cắt nhau tại $A,B$ phân biệt. $OB$ cắt $(I)$ tại $F$, $IB$ cắt $(O)$ tại $E$

Qua $B$ kẻ $d$ song song với $EF$ cắt $(O)$ và $(I)$ lần lượt tại $M$ và $N$

Chứng minh:

(a) $AOEI$ nội tiếp.

Ta có:$\widehat{OAI}=\widehat{OBI}=\widehat{EBF}$
mà
$\left\{\begin{matrix}
\widehat{EBF}=\widehat{BEO+BOE} & \\
\widehat{OEB}=\widehat{OBE} &
\end{matrix}\right.$
\Rightarrow $\widehat{OAI}+\widehat{OEB}$ $=\widehat{EBF}+\widehat{OBE}$ $=\widehat{OEB}+\widehat{BOE}$ $+\widehat{OBE}=180^o$
\Rightarrow đpcm.

 

[tathivanchung]

a/ Vì (O) cắt (I) tại A và B nên OI là đường trung trực của AB
[TEX]\Rightarrow \widehat{OAI}=\widehat{OBI}(1)[/TEX]
Xét (O) có [TEX]OE=OB(=bk) \Rightarrow \Delta OBE[/TEX] cân tại [TEX]O [/TEX]
[TEX]\Rightarrow \widehat{OBE}=\widehat{OEB}(2)[/TEX]
Từ [TEX](1)[/TEX] và [TEX](2)[/TEX] [TEX]\Rightarrow \widehat{OAI}+\widehat{OEB}=\widehat{OBI}+\widehat{OBE}=180^o[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] tg AOEI nội tiếp.
b/ DDCM [TEX]\widehat{AEB}=\widehat{AOI}(AOEI nt)=\widehat{BOI}(OEFI nt)=\widehat{IEF}(MN//EF)=\widehat{MBE}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow cung AB = cung ME[/TEX]
[TEX]\Rightarrow AB=ME \Rightarrow AE=MB.[/TEX]
CMTT [TEX]AF=BN \Rightarrow AE+AF=MN.[/TEX]

 

[tathivanchung]

Cho nửa đừng tròn đường kính $BC$, tâm $O$.

Trên nửa đường tròn $(O)$ chọn $E, F$ sao cho $F$ nằm giữa $B,E$

$BF, CE$ giao nhau tại $A$

$BE$ cắt $CF$ tại $H$

Tiếp tuyến tại $E,F$ cắt nhau tại $I$

Chứng minh $I$ là tâm ngoại tiếp của tứ giác $AEHF$

Trước hết ta dễ dàng có được tứ giác AEHF nội tiếp.
Ta cần c/m: [TEX]IA=IE=IH=IF.[/TEX]
Vì IE và IF là 2 tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên [TEX]IE=IF[/TEX].(1)
Lại có: [TEX]\widehat{IEB}=\widehat{BCE}=\widehat{AFE}=\widehat{AHE}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \Delta IHE[/TEX] cân tại I [TEX]\Rightarrow IH=IE.[/TEX](2)
Kéo dài AH cắt BC tại D [TEX]\Rightarrow AH \per BC.[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \widehat{IAF}+\widehat{IFC}=90^o.[/TEX]
Mà [TEX]\widehat {IFA}+\widehat{ABD}=90^o.[/TEX]
Lại có: [TEX]\widehat{ABD}=\widehat{IFC}[/TEX] (góc nt và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung FC)
[TEX]\Rightarrow \widehat{IAF}=\widehat{IFA}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \Delta IAF[/TEX] cân tại I
[TEX]\Rightarrow IA=IF(3)[/TEX]
Từ (1); (2) và (3) [TEX]\Rightarrow IA=IE=IH=IF[/TEX]

 

[tin9a12123]

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B lên AC, M,N lần lượt là trung điểm của CD,AH. CMR: tam giác BMN vuông

 

[tkkgn]

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AH, BD, CE cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) ED.IC=ID.BC
b) I là giao điểm 3 đường phân giác tam giác HDE.
c) sin AHE. Sin BDH . sin CED <=1/8