[toán 9] Bất đẳng thức.

V

vipboycodon

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hỏi tí :
Chứng minh bất đẳng thức nesbitt mình làm kiểu này có được không :
$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} = \dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ab}+\dfrac{c^2}{ac+bc} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)}$ (theo bất đẳng thức schwarz)
Ta có : $(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ac)$ => đpcm
 
Last edited by a moderator:
C

congchuaanhsang

Thật ra thì khi đi thi sẽ phải chứng minh bđt phụ mà cách làm trên của bạn (là đúng) sẽ

phải chứng minh cả Cauchy - Schwarz lẫn Cauchy - Schwarz phân thức (2 bđt này ko có

trong chương trình) nên sẽ khá dài.

Ta có thể cm bằng bđt Cauchy:

A=$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}$

A+3=$(a+b+c)(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b})$

$2(A+3)=[(a+b)+(b+c)+(c+a)](\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a})$

Theo Cauchy dễ cm $(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})$ \geq 9

\Rightarrow$2(A+3)$\geq9\RightarrowA\geq$\dfrac{3}{2}$
 
V

vipboycodon

Mình biết sẽ phải chứng minh bất đẳng thức phụ nhưng cauchy (AM-GM) không phải chứng minh hả bạn.Và nếu chứng minh bất đẳng thức thì phải chứng minh công thức tổng quát của nó hay đơn giản chỉ là như thế này.
Ta chứng minh :
$\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y} \ge \dfrac{(a+b)^2}{x+y}$
Xong áp dụng vào bài .
 
Last edited by a moderator:
B

baochauhn1999

vipboycodon said:
Mình biết sẽ phải chứng minh bất đẳng thức phụ nhưng cauchy (AM-GM) không phải chứng minh hả bạn.Và nếu chứng minh bất đẳng thức thì phải chứng minh công thức tổng quát của nó hay đơn giản chỉ là như thế này.
Ta chứng minh :
$\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y} \ge \dfrac{(a+b)^2}{x+y}$
Xong áp dụng vào bài .
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

K0 cần CM bdt AM-GM đâu bạn........
bdt ấy được công nhận mà bạn........................
(*)(*)(*)
 
Last edited by a moderator:
C

congchuaanhsang

Chỉ có các bđt trong SGK mới ko phải cm (như Cauchy và Bunyakovsky cho 2 số) còn lại đều phải cm).
 
V

vipboycodon

Vậy công chúa làm giúp mình bài này :
Chứng minh bất đẳng thức nesbitt 3 biến .(trình bày cách làm bằng bdt Cauchy - Schwarz nha..như đầu mình làm ý).
Thank nhiều.
 
Last edited by a moderator:
C

congchuaanhsang

baochauhn1999 said:
nhưng BDT Cauchy hay là AM-GM được thế giới công nhận rồi mà********************************************************???????
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Trong chương trình sgk chỉ có các bđt Cauchy và Bunyakovsky cho 2 SỐ, tức là chỉ được công nhận trong cm các bđt đó cho 2 SỐ thôi!
Nếu dùng cho 3 số trở lên cũng như Bunyakovsky dạng phân thức thì sẽ phải cm.
@vipbor: Nesbitt cho 3 số bạn làm ở trên rồi còn gì
 
C

congchuaanhsang

A=$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}$

=$\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ca}+\dfrac{c^2}{ac+bc}$

\geq$\dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$ (*)

Có $a^2+b^2+c^2$\geq$ab+bc+ca$\Leftrightarrow$(a+b+c)^2$\geq$3(ab+bc+ca)$

\RightarrowA\geq$\dfrac{3}{2}$

Hoặc đến (*) bạn có thể biến đổi tương đương
 
V

vipboycodon

congchuaanhsang said:
A=$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}$

=$\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ca}+\dfrac{c^2}{ac+bc}$

\geq$\dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$ (*)

Có $a^2+b^2+c^2$\geq$ab+bc+ca$\Leftrightarrow$(a+b+c)^2$\geq$3(ab+bc+ca)$

\RightarrowA\geq$\dfrac{3}{2}$

Hoặc đến (*) bạn có thể biến đổi tương đương
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ủa ... bạn chưa chứng minh bất đẳng thức cauchy - schwarz cho bài này à.
 
C

congchuaanhsang

Hóa ra ý bạn là cm Cauchy - Schwarz

Thứ nhất cm Cauchy - Schwarz cho 3 số

$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)$\geq$(ax+by+cz)^2$ (1)

Cái này cm dễ dàng = biến đổi tương đương

Thứ hai cm dạng phân thức

Áp dụng (1)

$[(\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2+(\sqrt{z})^2][( \dfrac{a}{\sqrt{x}} )^2+( \dfrac{b}{\sqrt{y}} )^2+( \dfrac{c}{\sqrt{z}} )^2]$

\geq$(a+b+c)^2$

\Rightarrow........................
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom