[Nhóm tự học] Lượng giác

[nguoianhtinhthan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I.CÁC HỆ THỨC-CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
1.CÁC HỆ THỨC CƠ BẢN:
1/ $\sin ^2 x+\cos ^2 x = 1$
2/ $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \left( x \ne \dfrac{\pi}{2} + k \pi \right)$
3/ $\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x} \left( x \ne k \pi \right)$
4/ $\dfrac{1}{\cos ^2 x} = 1+\tan ^2 x$
5/ $\dfrac{1}{\sin ^2 x} = 1+\cot ^2 x$
6/ $\tan x.\cot x = 1$
2.ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC:

$\rightarrow$ Từ đường tròn lượng giác có thể suy ra giá trị các hàm lượng giác của góc (cung) đặc biệt và dấu của chúng trên các góc phần tư.

 

[delta_epsilon]

Đóng góp cho pic

x | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$
$\sin x$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$
$\cos x$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$
$\tan x$ | $0$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | $KXĐ$
$\cot x$ | $KXĐ$ | $\sqrt{3}$ | $1$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $0$

Hàm lượng giác | Cung I | Cung II | Cung III | Cung IV
$\sin x$ | + | + | - | -
$\cos x$ | + | - | - | +
$\tan x$ | + | - | + | -
$\cot x$ | + | - | + | -

 

[mitomchuacay_97]

Đóng góp tí những gì mà mình còn nhớ năm lớp 10 b-(

a) Hai cung đối nhau:
$cos(-x)=cos(x)$
$sin(-x)=-sin(x)$
$tan(-x)=-tan(x)$
$cot(-x)=-cot(x)$
b) Hai cung bù nhau:
$cos(\pi - x) = -cos(x)$
$sin(\pi -x) = sin(x)$
$tan(\pi -x) = -tan(x) $
$ cot(\pi -x) = -cot(x) $

p.s: cuối cùng cũng gửi được rồi, không hiểu sao công thức toán cứ dính chùm với nhau như thế :-?

 

[quocthinh_psi]

$\bullet$ Hai cung phụ nhau:
$\begin{array}{l}
\cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x\\
\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\\
\tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \cot x\\
\cot \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \tan x
\end{array}$
$\bullet$ Hai cung hơn kém nhau $\dfrac{\pi}{2}$:
$\begin{array}{l}
\cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + x} \right) = - \sin x\\
\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + x} \right) = \cos x\\
\tan \left( {\dfrac{\pi }{2} + x} \right) = - \cot x\\
\cot \left( {\dfrac{\pi }{2} + x} \right) = - \tan x
\end{array}$
$\bullet$ Hai cung hơn kém nhau $\pi$:
$\begin{array}{l}
\cos \left( {\pi + x} \right) = - \cos x\\
\sin \left( {\pi + x} \right) = - \sin x\\
\tan \left( {\pi + x} \right) = \tan x\\
\cot \left( {\pi + x} \right) = \cot x
\end{array}$
$\bullet$ Hệ quả:
$\begin{array}{l}
\cos \left( {k\pi + x} \right) = {\left( { - 1} \right)^k}.\cos x\\
\sin \left( {k\pi + x} \right) = {\left( { - 1} \right)^k}\sin x\\
\tan \left( {k\pi + x} \right) = \tan x\\
\cot \left( {k\pi + x} \right) = \cot x\\
\cos \left( {k2\pi + x} \right) = \cos x\\
\sin \left( {k2\pi + x} \right) = \sin x
\end{array}$
Từ đây ta biết được chu kì của các hàm số $\sin x$ và $\cos x$ là $2\pi$, của các hàm số $\tan x$ và $\cot x$ là $\pi$ và vì sao khi giải các phương trình lượng giác cơ bản sau này người ta lại cộng thêm $2\pi$ và $\pi$ vào công thức nghiệm

 

[nguoianhtinhthan]

3.CÔNG THỨC CỘNG:
1/ $\sin (a+b)=\sin a.\cos b+\sin b.\cos a$
2/ $\sin (a-b)=\sin a.\cos b-\sin b.\cos a$
3/ $\cos (a+b)=\cos a.\cos b-\sin a.\sin b$
4/ $\cos (a-b)=\cos a.\cos b+\sin a.\sin b$
5/ $\tan (a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a.\tan b}$
6/ $\tan (a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a.\tan b}$
7/ $\cot (a+b)=\dfrac{\cot a.\cot b-1}{\cot a+\cot b}$
8/ $\cot (a-b)=\dfrac{\cot a.\cot b+1}{\cot a-\cot b}$
4.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI:
1/ $\cos 2a=\cos ^2a-\sin ^2a=2\cos ^2a-1=1-2\sin ^2a$
2/ $\sin 2a = 2\sin a.\cos a$
3/ $\tan 2a = \dfrac{2\tan a}{1-\tan ^2a} = \dfrac{2}{\cot a - \tan a}$
4/ $\cot 2a = \dfrac{\cot ^2a-1}{2\cot a} = \dfrac{1}{2} \left( \cot a - \tan a \right)$
5.CÔNG THỨC NHÂN BA:
1/ $\sin 3a = 3\sin a-4\sin ^3a$
2/ $\cos 3a = 4\cos ^3a-3\cos a$
3/ $\tan 3a = \dfrac{3\tan a-\tan ^3a}{1-3\tan ^3a}$
4/ $\cot 3a = \dfrac{\cot ^3a-3\cot a}{3\cot ^2-1}$
6.CÔNG THỨC HẠ BẬC HAI:
1/ $\sin ^2a=\dfrac{1-\cos 2a}{2}=\dfrac{\tan ^2a}{1+\tan ^2a}$
2/ $\cos ^2a=\dfrac{1+\cos 2a}{2}=\dfrac{\cot ^2a}{1+\cot ^2a}$
3/ $\tan ^2a=\dfrac{1-\cos 2a}{1+\cos 2a}$
4/ $\cot ^2a=\dfrac{1+\cos 2a}{1-\cos 2a}$
5/ $\sin a.\cos a = \dfrac{1}{2}\sin 2a$

 

[nguoianhtinhthan]

Các bạn kiểm tra giúp mình một số công thức ở trên nhé:
$\bullet$ Công thức nhân đôi với $\cot 2a$
$\bullet$ Công thức nhân ba với $\tan 3a$ và $\cot 3a$
$\bullet$ Công thức hạ bậc hai với $\sin ^2 x$ và $\cos ^2 x$

 

[ngtgt97]

$\cot 2a = \dfrac{1}{{\tan 2a}} = \dfrac{{1 - {{\tan }^2}a}}{{2\tan a}} = \dfrac{1}{{2\tan a}} - \dfrac{{{{\tan }^2}a}}{{2\tan a}} = \dfrac{1}{2}\left( {\cot a - \tan a} \right)$
$\dfrac{{{{\cot }^2}a - 1}}{{2\cot a}} = \dfrac{{{{\cot }^2}a}}{{2\cot a}} - \dfrac{1}{{2\cot a}} = \dfrac{1}{2}\left( {\cot a - \tan a} \right) = \cot 2a$
Vậy công thức nhân đôi với $\cot 2a$ của bạn đúng.

 

[quocthinh_psi]

$\begin{array}{l}
\tan 3a = \dfrac{{\sin 3a}}{{\cos 3a}} = \dfrac{{3\sin x - 4{{\sin }^3}x}}{{4{{\cos }^3}x - 3\cos x}} = \dfrac{{{{\sin }^3}x\left( {\dfrac{{3\sin x - 4{{\sin }^3}x}}{{{{\sin }^3}x}}} \right)}}{{{{\cos }^3}x\left( {\dfrac{{4{{\cos }^3}x - 3\cos x}}{{{{\cos }^3}x}}} \right)}}\\
= \dfrac{{{{\sin }^3}x\left( {\dfrac{3}{{{{\sin }^2}x}} - 4} \right)}}{{{{\cos }^3}x\left( {4 - \dfrac{3}{{{{\cos }^2}x}}} \right)}} = \dfrac{{{{\tan }^3}x\left( {3 + 3{{\cot }^2}x - 4} \right)}}{{4 - 3{{\tan }^2}x - 3}} = \dfrac{{3\tan x - {{\tan }^3}x}}{{1 - 3{{\tan }^2}x}}
\end{array}$
Vậy công thức nhân ba với $\tan 3a$ của bạn đúng.

 

[mitomchuacay_97]

$\begin{array}{l}
\cot 3x = \dfrac{1}{{\tan 3x}} = \dfrac{{1 - 3{{\tan }^2}x}}{{3\tan x - {{\tan }^3}x}} = \dfrac{{{{\tan }^2}x\left( {\dfrac{1}{{{{\tan }^2}x}} - 3} \right)}}{{{{\tan }^3}x\left( {\dfrac{3}{{{{\tan }^2}x}} - 1} \right)}}\\
= \dfrac{{{{\cot }^2}x - 3}}{{\tan x\left( {3{{\cot }^2}x - 1} \right)}} = \dfrac{{{{\cot }^3}x - 3\cot x}}{{3{{\cot }^2}x - 1}}
\end{array}$
Vậy công thức nhân ba đối với $\cot 3a$ của bạn đúng.

 

[connhikhuc]

thêm này:

+) [TEX]tanx-tany= \frac{sin(x-y)}{cosx.cosy}[/TEX]

+) [TEX]tanx+tany= \frac{sin(x+y)}{cosx.cosy}[/TEX]

+) cosx.cosy = (1/2) [cos(x+y) + cos(x-y)]
+) sinx.sinny= (1/2) [ cos(x+y)-cos(x-y)]

+) sinx.cosy= (1/2)[ sin(x+y)+sin(x-y)]

+) [TEX]tanx+coty = \frac{cos(x-y)}{cosx.cosy}[/TEX]

+) [TEX]tanx-coty= - \frac{cos(x+y)}{cosx.cosy}[/TEX]

+) [TEX]sinx+cosx= \sqrt[]{2}sin(x+\frac{pi}{4}[/TEX]

+)[TEX] cosx.sinny= \frac{1}{2}[sin(x+y)-sin(x-y)][/TEX]

+) [TEX]cos4x= 8cos^4 x-8cos^2 x+1[/TEX]
+)[TEX] cos5x= 16cos^5 x-20cos^3 x+5cosx[/TEX]
+) [TEX]cos6x= 32cos^6 x-48cos^4 x+18cos^2 x[/TEX]
+) [TEX]cos7x= 64cos^7 x-112cos^5 x+56cos^3 x-7cosx[/TEX]
+) [TEX]cos^4 x= \frac{1}{8}cos4x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{3}{8}[/TEX]

+) [TEX]cos^5 x= \frac{1}{16}cos5x+\frac{5}{16}cos3x+\frac{5}{8}cosx[/TEX]

+) [TEX]sin^4 x= \frac{1}{8}cos4x-\frac{1}{2}cos2x+\frac{3}{8}[/TEX]

 

[connhikhuc]

tiếp tục:

+) [TEX]cos4x = 8cos^4 x-8cos^2+1[/TEX]
+) [TEX]cos5x= 16cos^5 x-20cos^3 x+5cosx[/TEX]
+) [TEX]cos6x= 32cos^6 x-48cos^4 x+18cos^2 x-1[/TEX]
+) [TEX] cos7x= 64cos^7 x - 112cos^5 x+56cos^3 x-7cosx[/TEX]

+) [TEX]cos^4 x=\frac{1}{8}cos4x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{3}{8}[/TEX]

+) [TEX] cos^5 x= \frac{1}{16}cos5x+\frac{5}{16}cos3x+\frac{5}{8}cosx[/TEX]

+) [TEX] cos^6 x=\frac{1}{32}cos6x+\frac{3}{16}cos4x+\frac{5}{12}cos2x+\frac{5}{16}[/TEX]

+) [TEX]sin^4 x= \frac{1}{8}cos4x-\frac{1}{2}cos2x+\frac{3}{8}[/TEX]

+) [TEX]sin^5 x= \frac{1}{16}sin5x-\frac{5}{16}sin3x+\frac{5}{8}sinx[/TEX]

+) [TEX]sin^6 x= -\frac{1}{32}cos6x+\frac{3}{16}cos4x-\frac{15}{32}cos2x+\frac{5}{16}[/TEX]

 

[connhikhuc]

+) [TEX]cos4x= 8cos^4 x- 8cos^2 x+1[/TEX]
+) [TEX]cos5x=16cos^5 x-20cos^3 x+5cosx[/TEX]
+) [TEX]cos6x= 32cos^6 x-48cos^4 x+18cos^2-1[/TEX]
+) [TEX]cos7x= 64cos^7 x-112cos^5 x+56cos^3 x-7cosx[/TEX]

+) [TEX]cos^4 x=\frac{1}{8}cos4x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{3}{8}[/TEX]

+) [TEX]cos^5 x=\frac{1}{16}cos5x+\frac{5}{16}cos3x+\frac{5}{8}cosx[/TEX]

+) [TEX]cos^6 x=\frac{1}{32}cos6x+\frac{3}{16}cos4x+\frac{15}{32}cos2x+\frac{5}{16}[/TEX]

+) [TEX]sin^4 x= \frac{1}{8}cos4x-\frac{1}{2}cos2x+\frac{3}{8}[/TEX]

+) [TEX]sin^5 x = \frac{1}{16}sin5x-\frac{5}{16}sin3x+\frac{5}{8}sinx[/TEX]

+) [TEX]sin^6 x= - \frac{1}{32}cos6x+\frac{3}{16}cos4x-\frac{15}{32}cos2x+\frac{5}{16}[/TEX]

 

[connhikhuc]

+) cotgx-cotgy =[TEX]\frac{-sin(x-y)}{sinx.siny}[/TEX]= 2cotg2x
+) cotgx-coty=[TEX] \frac{cos(x+y)}{sinx.siny}[/TEX]







>-

 

[connhikhuc]

có rất nhiều công thức nhưng mình chỉ nhớ có vậy thôi









>-

 

[nguoianhtinhthan]

có rất nhiều công thức nhưng mình chỉ nhớ có vậy thôi









>-

Cám ơn bạn đã có những đóng góp tích cực cho topic
Bạn nhớ để mã latex trong thẻ đô la nha, công thức nhìn sẽ đẹp hơn.
Mình biết một số bạn vẫn dùng tex cũ vì mathjax load công thức toán mới chậm lắm, có khi làm treo máy một vài giây . Mình đã tìm được cách khắc phục vấn đề này và sẽ post lên vào ngày mai

 

[happy.swan]

Bạn ơi, bạn có bài tập hay không?
Post lên cho cả nhà cùng chém đi.

Phần công thức nếu là để thi ĐH thôi chỉ cần trong SGK còn cao hơn thì học thêm những CT nâng cao.

 

[nguoianhtinhthan]

Bạn ơi, bạn có bài tập hay không?
Post lên cho cả nhà cùng chém đi.

Phần công thức nếu là để thi ĐH thôi chỉ cần trong SGK còn cao hơn thì học thêm những CT nâng cao.

Chờ mình khoảng 10 phút nữa là có liền
Từ nãy đến giờ mình đang bận với 2 nhóm tự học kia nên chưa cập nhật tình hình pic

 

[nguoianhtinhthan]

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

$\bullet$ Là công đoạn bắt buộc và là con đường duy nhất để có thể tìm ra được ẩn.
$\bullet$ Không được cộng độ và rađian với nhau.
$\bullet$ Cần phải sử dụng thành thạo công cụ đường tròn lượng giác.

$\begin{array}{l}
1)\sin 2x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\
2)\cos (2x + {25^0}) = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\
3)\cot (4x + 2) = - \sqrt 3 \\
4)\tan (x + {15^0}) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\\
5)\sin 3x = \sin x\\
6)\sin \left( {x - \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = \cos 2x\\
7)\sin 2x = \cos 3x\\
8)\sin 4x = - \cos x\\
9)\sin 5x = - \sin 2x\\
10){\sin ^2}2x = {\sin ^2}3x
\end{array}$

 

[nguoianhtinhthan]

$\begin{array}{l}
11)\tan (3x + 2) + \cot 2x = 0\\
12)\sin 4x + \cos 5x = 0\\
13)2\sin x + \sqrt 2 \sin 2x = 0\\
14){\sin ^2}2x + {\cos ^2}3x = 1\\
15)\sin 5x.\cos 3x = \sin 6x.\cos 2x\\
16)\cos x - 2{\sin ^2}\dfrac{x}{2} = 0\\
17)\tan \left( {3x + \dfrac{\pi }{2}} \right)\cot (5x - \pi ) = 1\\
18)\tan 5x.\tan 3x = 1\\
19)\tan \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\sin (3x + \pi ) = - \sin \left( {3x + \dfrac{\pi }{2}} \right)\\
20){\sin ^4}x + {\cos ^4}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{4}
\end{array}$

 

[quocthinh_psi]

Đóng góp cho topic vài bài

1) Giải phương trình lượng giác:
a) $$\sin x = \sqrt 3 \cos x$$
b) $$\sin \left( {\frac{\pi }{4}\cos x} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$
2) Tìm $x \in \left( -\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right)$ sao cho $\tan (3x+2) = \sqrt{3}$.
3) Tìm $x \in (0;3\pi)$ sao cho: $$\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) + 2\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = 0$$