Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[i_lov3_english]

Mấy bợn giải giùm mik mấy bài này vs, mik đang cố để học BĐT đây (

B1. Cho a,b,c > 1 và [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = 2[/tex]
Chứng minh [tex]\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1} \leq \sqrt{a+b+c}[/tex]

B2. Cho a,b,c là các số thực dương t/m
[tex]\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1} \geq 1[/tex]
C/m [tex]a+b+c \geq ab+bc+ca[/tex]

B3. Cho a,b,c>0 và a+b+c = 3. C/m
[tex]\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{2c^2+a^2)(2c^2+b^2)} \leq \frac{1}{3}[/tex]

Tạm thời thế đã tớ còn nhìu bài lắm )

B1:
[TEX]\sum \sqrt{a-1} \leq \sqrt{ (\sum \frac{a-1}{a} )(\sum a)} =\sqrt{ (3- \sum \frac{1}{a} )(\sum a) }=\sqrt{\sum a}[/TEX]

B3:
[TEX]\sum \frac{a^3}{(a^2+a^2+b^2)(a^2+c^2+a^2)} \leq \sum \frac{a^3}{(a^2+ac+ab)^2} =\sum \frac{a}{(a+b+c)^2} =\frac{\sum a}{(\sum a)^2} =\frac{1}{3}[/TEX] /

 

[zotahoc]

Mình cũng xin gửi 1 bài nhé,không khó lắm đâu:
Cho 3 số a,b,c dương c/m:
[TEX]1 < \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} < 2[/TEX]

Chú ý: Tên Pic, không đưa bài trong sách
@move sang topic này

 

[maikhaiok]

Mình cũng xin gửi 1 bài nhé,không khó lắm đâu:
Cho 3 số a,b,c dương c/m:
[TEX]1 < \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} < 2[/TEX]

Do a,b,c là các số dương nên ta có:

[TEX]\frac{a}{{a + b + c}} < \frac{a}{{a + b}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}}[/TEX]

[TEX]\frac{b}{{a + b + c}} < \frac{b}{{b + c}} < \frac{{b + c}}{{a + b + c}}[/TEX]

[TEX]\frac{c}{{a + b + c}} < \frac{c}{{c + a}} < \frac{{c + b}}{{a + b + c}}[/TEX]

Cộng vế theo vế của BĐT trên ta được đpcm
@move sang topic này

 

[haibara4869]

Cho hỏi 2 bài này cái

Bài 1: Cho a, b, c> 0 \\ a+b+c \leq 1.
Tìm Min của $X=\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} $

Bài 2: Cho a, b > 0 \\ a+b \leq 1.
Tìm Min của $S=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{ab^2}$

P/S: Xin hậu tạ

Nếu muốn nhờ giải bài bạn nên đặt ở 1 pic cũ hoặc trong của anh bboy. Đây là không gian dành cho sự sáng tạo. Chú ý tên pic. Dù sao cũng cảm ơn bạn.

@move sang topic này

 

[linhhuyenvuong]

Bài 1: Cho a, b, c> 0 \\ a+b+c \leq 1.
Tìm Min của $X=\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} $

[TEX]X \geq \frac{6^2}{a^2+bc+b^2+ac+c^2+ab+ab+bc+ac}=\frac{36}{(a+b+c)^2} \geq36[/TEX]

''='' \Leftrightarrow [TEX]a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX]

 

[bboy114crew]

Mấy bợn giải giùm mik mấy bài này vs, mik đang cố để học BĐT đây (


B2. Cho a,b,c là các số thực dương t/m
[tex]\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1} \geq 1[/tex]
C/m [tex]a+b+c \geq ab+bc+ca[/tex]


Tạm thời thế đã tớ còn nhìu bài lắm )

Ở ngay trang đầu topic này!
..........................................

 

[thienlong_cuong]

Bài 1: Cho a, b, c> 0 \\ a+b+c \leq 1.
Tìm Min của $X=\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} $

Bài 2: Cho a, b > 0 \\ a+b \leq 1.
Tìm Min của $S=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{ab^2}$

P/S: Xin hậu tạ


@move sang topic này

Ta có

[TEX]S=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{ab^2} \geq \frac{1}{a^2 + b^2} + \frac{a + b}{a^2b} + \frac{a + b}{ab^2} = \frac{1}{a^2 + b^2} + \frac{2}{ab} + \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \geq \frac{4}{(a + b)^2} + \frac{3}{2ab} + \frac{a + b}{a^2} + \frac{a + b}{b^2} \geq 4 + 6 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{b}{a^2} + \frac{a}{b^2} \geq 10 + \frac{4}{a + b} + \frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} \geq 10 + 4(a + b) + \frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} \geq 18 [/TEX]

 

[01263812493]

Bài 2: Cho a, b > 0 \\ a+b \leq 1.
Tìm Min của $S=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{ab^2}$

P/S: Xin hậu tạ


@move sang topic này

[TEX]\blue \huge VT \ge \frac{1}{a^2+b^2} + \frac{4}{ab(a+b)} \geq \frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{7}{2ab} \geq \frac{4}{(a+b)^2}+\frac{7}{\frac{(a+b)^2}{2}}\geq18[/TEX]

Ta có

[TEX]S=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{ab^2} \geq \frac{1}{a^2 + b^2} + \frac{a + b}{a^2b} + \frac{a + b}{ab^2} = \frac{1}{a^2 + b^2} + \frac{2}{ab} + \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \geq \frac{4}{(a + b)^2} + \frac{3}{2ab} + \frac{a + b}{a^2} + \frac{a + b}{b^2} \geq 4 + 6 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{b}{a^2} + \frac{a}{b^2} \geq 10 + \frac{4}{a + b} + \frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} \geq 10 + 4(a + b) + \frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} \geq 18 [/TEX]

Những công cụ bình thường nhất là những cách tốt nhất đấy anh bạn

 

[bboy114crew]

Bài 1: Cho a, b, c> 0 \\ a+b+c \leq 1.
Tìm Min của $X=\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} $


P/S: Xin hậu tạ

$ \geq $
@move sang topic này

Bài này cũng dùng những công cụ bình thường thui!
Ta có:

$X=\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} $
$= \frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2bc}+\frac{1}{2ca}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2bc}+\frac{1}{2ca}$
$ \geq \frac{36}{(a+b+c)^2+ab+bc+ac} + \frac{9}{2(ab+bc+ac)}$

Tới đây dùng BĐT:

$ab+bc+ac \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}$

 

[bboy114crew]

Cho các số thực dương thỏa mãn a\geqb\geqc>0 CMR
[TEX]\frac{(a-c)^2}{2.(a+c)} \leq a+b+c-3\sqrt[3]{abc} \leq \frac{2.(a-c)^2}{a+c}[/TEX]

Ta có:
[TEX]\frac{(a-c)^2}{2(a+c)} \leq a+b+c-3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow b-3\sqrt[3]{abc}+2\sqrt{ac}+a+c-2\sqrt{ac}\geq\frac{(a-c)^2}{2(a+c)}[/TEX].

Ta lại có: [TEX]b+2\sqrt{ac}=b+\sqrt{ac}+\sqrt{ac}\geq3\sqrt[3]{abc}[/TEX].
khi đó ta cần chứng minh:[TEX]a+c-2\sqrt{ac}\geq\frac{(a-c)^2}{2(a+c)}[/TEX],
Đặt [TEX]a=x^2,c=y^2[/TEX] :
[TEX](x-y)^2\geq\frac{(x^2-y^2)^2}{2(x^2+y^2)}[/TEX], mà [TEX](x-y)^4\geq0[/TEX].
Vế phải:
Đặt [TEX]f(b)=a+b+c-3\sqrt[3]{abc}- \frac{2(a-c)^2}{a+c}[/TEX]. Ta thấy: [TEX]f''(b)>0[/TEX].
Khi đó, [TEX]f[/TEX] là hàm lồi và ta chỉ cần có: [TEX]f(a)\leq0[/TEX] và [TEX]f(c)\leq0[/TEX], điều này luôn đúng

 

[ariespisces]

&gt;-các bạn giúp mình bài này với!!!
cho x;y thay đổi nhưng không nhỏ hơn 1 và cũng không lớn hơn 2
tìm GTLN của [TEX](x+y) (\frac{1}{x}+ \frac{1}{y})[/TEX]

Move sang đây, khi nào cụng post nhờ làm là sao nhỉ, STBĐT mà

 

[bosjeunhan]

Cho $a+b+c=3$ (số thực dương)
CMR:

[TEX]\frac{a}{a+\sqrt[]{3a+bc}} + \frac{b}{b+\sqrt[]{3b+ac}} + \frac{c}{c+\sqrt[]{3c+ab}} \leq 1 [/TEX]

 

[son9701]

&gt;-các bạn giúp mình bài này với!!!
cho x;y thay đổi nhưng không nhỏ hơn 1 và cũng không lớn hơn 2
tìm GTLN của [TEX](x+y) (\frac{1}{x}+ \frac{1}{y})[/TEX]

Sao lại đánh loạn xì ngậu đề bài thế: Chuyển đề thành:
Cho $x;y \in [1;2]$ tìm max $(x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$
Chuyển tiếp về tìm max của (khi phá ngoặc trừ đi hằng số) :
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$
Do x;y thuộc đoạn 1;2 nên :
$(x-2y)(2x-y)$ \leq $0$ hay $2x^2+2y^2$ \leq $5xy$ hay $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ \leq $\frac{5}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi x=1;y=2 hoặc x=2;y=1

 

[bboy114crew]

Cho $a+b+c=3$ (số thực dương)
CMR:

[TEX]\frac{a}{a+\sqrt[]{3a+bc}} + \frac{b}{b+\sqrt[]{3b+ac}} + \frac{c}{c+\sqrt[]{3c+ab}} \leq 1 [/TEX]

Bài này thế này nhé!
Ta có:
[TEX]\sum \frac{a}{a+\sqrt{3a+bc}}[/TEX]
[TEX]= \sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}[/TEX]
[TEX] \leq \sum \frac{a}{2a+\sqrt{bc}}[/TEX]
Ta chỉ cần chứng minh:
[TEX]\sum \frac{a}{2a+\sqrt{bc}} \leq 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{\sqrt{bc}}{2a+\sqrt{bc}} \geq 1[/TEX]
Điều này luôn đúng theo Cauchy -Schwarz !

 

[bboy114crew]

Một bài khá hay các em giải thử xem!
Cho a,b,c là các thực dương chứng minh rằng:
[TEX](\frac{a+2b}{a+2c})^3+ (\frac{b+2a}{b+2c})^3+(\frac{c+2b}{c+2a})^3 \geq 3[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

Một bài khá hay các em giải thử xem!
Cho a,b,c là các thực dương chứng minh rằng:
[TEX](\frac{a+2b}{a+2c})^3+ (\frac{b+2a}{b+2c})^3+(\frac{c+2b}{c+2a})^3 \geq 3[/TEX]

Chắc bị ảnh hưởng nặng của ảnh Nguyễn Thành Văn về phần schur nên thấy chi cũng quy đồng ! :-S

AM - GM
[TEX](\frac{a+2b}{a+2c})^3+ (\frac{b+2a}{b+2c})^3+(\frac{c+2b}{c+2a})^3 \geq 3.\frac{(a + 2b)(b + 2c)(c + 2b)}{(a + 2c)(b + 2c)(c + 2a)}[/TEX]

CHỉ cần chứng minh
[TEX](a + 2b)(b + 2a)(c + 2b) \geq (a + 2c)(b + 2c)(c + 2a)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (b -c)(2ab + 2ac + 2a^2 + 2bc + 4b^2 - 4bc + 4c^2 + 8ab + 8ac) \geq 0[/TEX]

:-S ! Em phân tích ko chắc lắm mừ ! Lỡ sai các bác thông cảm
p/s : Cách làm thiên về p/t ! :O)

 

[thienlong_cuong]

Một bài khá hay các em giải thử xem!
Cho a,b,c là các thực dương chứng minh rằng:
[TEX](\frac{a+2b}{a+2c})^3+ (\frac{b+2a}{b+2c})^3+(\frac{c+2b}{c+2a})^3 \geq 3[/TEX]

Cho em hỏi là cái bài ni chuẩn hóa đc ko! ?
Vì ko biết VT vs VP nó đồng bậc hay ko !
Chuẩn hóa a + b + c = 3
Chỉ cần thêm bớt AM_GM là đc
[TEX](\frac{a+2b}{a+2c})^3 + \frac{a + 2c}{3} + \frac{a + 2c}{3} + \frac{(a + 2c)(a + 2b)}{9} \geq \frac{4(a + 2b)}{3}[/TEX]

Chuyển sang là ra ! cái chuẩn hóa ni em nghe đồn thg thì đồng bậc là chuẩn hóa đc hết !

 

[son9701]

Anh em xem hộ bài này,vừa nghĩ ra thấy đúng 1 số trường hợp nên hỏi han cái:

Kiểm nghiệm tính đúng sai của bđt sau trên tập số thực dương:

$$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{c^2+d^2} \ge \frac{8}{(a+c)^2+(b+d)^2}$$

K biết có trong sách nào k nhỉ .haizz

 

[bat.nap.quan.tai.hon.em.lan.cuoi]

Anh em xem hộ bài này,vừa nghĩ ra thấy đúng 1 số trường hợp nên hỏi han cái:

Kiểm nghiệm tính đúng sai của bđt sau trên tập số thực dương:

$$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{c^2+d^2} \ge \frac{8}{(a+c)^2+(b+d)^2}$$

K biết có trong sách nào k nhỉ .haizz

thử 1 vài trg hợp thấy sai :|


:-S~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 

[01263812493]

Một bài khá hay các em giải thử xem!
Cho a,b,c là các thực dương chứng minh rằng:
[TEX](\frac{a+2b}{a+2c})^3+ (\frac{b+2a}{b+2c})^3+(\frac{c+2b}{c+2a})^3 \geq 3[/TEX]

Với $x,y,z >0$ thì ta có BDT dễ chứng minh này nhé:$$9(x^3+y^3+z^3) \ge (x+y+z)^3$$
Áp dụng ngay vào bài toàn này, ta có:
[TEX]\blue \huge VT \geq \frac{1}{9}(\frac{a+2b}{a+2c}+ \frac{b+2a}{b+2c}+ \frac{c+2b}{c+2a})^3[/TEX]
Do đó ta cần chừng minh:
[tex]\blue \huge \frac{a+2b}{a+2c}+\frac{b+2a}{b+2c}+\frac{c+2b}{c+2a} \geq 3[/tex]

Hay:
[tex]\blue \huge \frac{a+2b}{a+2c}+1+\frac{b+2a}{b+2c}+1+\frac{c+2b}{c+2a}+1 \geq 6[/tex]
Tương đương:
[TEX]\blue \huge 2(a+b+c)(\frac{1}{a+2c}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}) \geq 6[/TEX]
Hiển nhiên đúng. Có dpcm!

Chắc bị ảnh hưởng nặng của ảnh Nguyễn Thành Văn về phần schur nên thấy chi cũng quy đồng ! :-S

AM - GM
[TEX](\frac{a+2b}{a+2c})^3+ (\frac{b+2a}{b+2c})^3+(\frac{c+2b}{c+2a})^3 \geq 3.\frac{(a + 2b)(b + 2c)(c + 2b)}{(a + 2c)(b + 2c)(c + 2a)}[/TEX]

CHỉ cần chứng minh
[TEX](a + 2b)(b + 2a)(c + 2b) \geq (a + 2c)(b + 2c)(c + 2a)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (b -c)(2ab + 2ac + 2a^2 + 2bc + 4b^2 - 4bc + 4c^2 + 8ab + 8ac) \geq 0[/TEX]

:-S ! Em phân tích ko chắc lắm mừ ! Lỡ sai các bác thông cảm
p/s : Cách làm thiên về p/t ! :O)

Em đã thử BDT trên với $a=1;b=2;c=3$ chưa