Toán 10 [Đại số 10]PT và HPT Nhóm thảo luận-Starlove

[jelouis]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Topic thảo luận về đại số 10 của nhóm Star Love. Chỉ có các thành viên của nhóm mới được hoạt động trong pic này , các mem khác thông cảm nhé
Các vấn đề thảo luận:
-Phương trình
-Hệ phương trình


Các bài tập được post lên yêu cầu đánh số thứ tự rõ ràng các cậu nhé =.=!
Bắt đầu với những bài đầu tiên nhé
Bài 1: $$(x^2+1)^2+3x(x^2+1)+2x^2=0$$
Bài 2 : $$x(x-1)(x+1)(x+2)=3$$

 

[thanhtruc3101]

Các bài tập được post lên yêu cầu đánh số thứ tự rõ ràng các cậu nhé =.=!
Bắt đầu với những bài đầu tiên nhé
Bài 1: $$(x^2+1)^2+3x(x^2+1)+2x^2=0$$
Bài 2 : $$x(x-1)(x+1)(x+2)=3$$ (2)

mở đầu nhé!
bài 1: đặt[TEX] (x^2+1)^2=t (1)[/TEX] với t\geq0, ta có:
[TEX]t^2+3xt+2x^2=0[/TEX] (trở thành PT bậc 2 1 ẩn với ẩn là t nhá)
denta=[TEX] 9x^2-8x^2=x^2[/TEX]
ta có: t1=-x; t2=-2x
thay t1; t2 vào (1) tìm x sau đó thế x lại vào (1), nếu với x=.... mà t<0 thì loại

bài 2: (2)<=> [TEX](x^2+x)(x^2+x-2)=3[/TEX]
đặt[TEX] t=x^2+x (**)[/TEX], ta có:
t(t-2)=3 <=>[TEX] t^2-2t-3=0 [/TEX]=> t1=3; t2=-1
thay t1,t2 vào(**) tìm x

 

[muathu1111]

Ồ đây có pic đại nữa .............. ta cùng làm bài hệ đề năm 2011 nhé
Bài 3
[tex]\left\{ \begin{array}{l} 5x^2y-4xy^2+3y^3-2(x+y)=0 \\ xy(x^2+y^2)+2=(x+y)^2 \end{array} \right.[/tex]

 

[jelouis]

Bài 3:
$\left\{\begin{matrix}
5x^2y-4xy^2+3y^3-2(x+y)=0(1)\\xy(x^2+y^2)+2=(x+y)^2(2)
\end{matrix}\right.$

Từ phương trình 2 ta có :
$$(x^3y-x^2)+(y^3x-y^2)+(2-2xy)=0$$
$$\Longleftrightarrow (xy-1)(x^2+y^2-2)=0$$
$\ast$ Với $xy=1$ Phương trình $(1)$ tương đương :
$$y^3+x-2y=0$$
$$\Longleftrightarrow y^4-2y^2+1=0$$
$$\Longleftrightarrow y=+-1 \Longrightarrow x=....$$
$\ast$ Với $x^2+y^2=2$ Phương trình $(1)$ tương đương :
$$2y+x^2y-2xy^2-x=0$$
$$\Longleftrightarrow (xy-1)(x-2y)=0$$
$$\Longleftrightarrow.....$$

Bài 4: $$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}=\sqrt{2}+\sqrt{2\sqrt{2}}$$
Bài 5: $$x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=2$$

p/s:muathu1111 cậu đánh số thứ tự bài Bài 3 lại dùm tớ nhé

 

[wagashi.13]

Bài 4: $$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}=\sqrt{2}+\sqrt{2\sqrt{2}}$$
Bài 5: $$x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=2$$

Bài 4: $\sqrt{x}+\sqrt{1-x} \le \sqrt{2}$
$\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x} \le \sqrt{2(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})} \le \sqrt{2\sqrt{2}}$

$"=" \leftrightarrow x=\frac{1}{2}$

Bài 5: $ x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}=(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2 $

 

[jelouis]

Đang rỗi , post lên luôn cho tiện

Bài 6:
$$\sqrt[3]{2-x}=1-\sqrt{x-1}$$
Bài 7:
$$\sqrt{2-x^2}+\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}=4-x-\frac{1}{x}$$
Bài 8:
$$\sqrt[3]{x^2+26}+3\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=8$$
p/s:mọi người ai có bài thì post lên nhé .

 

[wagashi.13]

Đang rỗi , post lên luôn cho tiện

Bài 6:
$$\sqrt[3]{2-x}=1-\sqrt{x-1}$$
Bài 7:
$$\sqrt{2-x^2}+\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}=4-x-\frac{1}{x}$$
Bài 8:
$$\sqrt[3]{x^2+26}+3\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=8$$
p/s:mọi người ai có bài thì post lên nhé .

Bài 6

[TEX]\left{ \sqrt[3]{2-x} =a \\ \sqrt{x-1}=b \right. \Rightarrow \left{ a+b=1 \\ a^3+b^2=1[/TEX]

xong thế vào

bài 7

[TEX]\sqrt{2-x^2}+x \leq \sqrt{2-x^2}+|x| \leq \sqrt{2(2-x^2+x^2)}=2[/TEX]

[TEX]\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x} \leq \sqrt{2-\frac{1}{x^2}}+|\frac{1}{x}| \leq \sqrt{2(2-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2})}=2[/TEX]

[TEX]"=" \Leftrightarrow x=1[/TEX]

baif 8

[TEX]\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2+26}-3+3\sqrt{x}-3+\sqrt{x+3}-2=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{x^2-1}{\sqrt[3]{(x^2+26)^2}+3\sqrt[3]{x^2+26}+9}+\frac{3(x-1)}{\sqrt{x}+1}+\frac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}=0 \Leftrightarrow x=1[/TEX]

cái còn lại vô ng do đkxđ [TEX] x \geq 0[/TEX]

 

[heroineladung]

Mình cũng có mấy bài để góp nè!

%%- Bài 9:

[TEX]\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{2 - x} = x^2 - 2x + 3[/TEX]


%%- Bài 10:

[TEX]\sqrt{x} + \sqrt{2 - x} + \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{2 - x} = 4[/TEX]


%%- Bài 11:

[TEX]\sqrt{x^2 + 2} + \mid x \mid = \sqrt{2}[/TEX]


%%- Bài 12:

[TEX]2\sqrt[4]{27x^2 + 24x + \frac{28}{3}} = 1 + \sqrt{\frac{27x}{2} + 6}[/TEX]


%%- Bài 13:

[TEX]2x + 1 + x\sqrt{x^2 + 2} + (x + 1)\sqrt{x^2 + 2x + 3} = 0[/TEX]

 

[jelouis]

Bài 9: $\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{2-x}=x^2-2x+3$

$\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{2-x}$ \leq $2$

$x^2-2x+3=(x-1)^2+2$ \geq $2$

$"=" \Longleftrightarrow x=1$

Bài 10:$\sqrt{x}+\sqrt{2-x}+\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{2-x}=4$

$\sqrt{x}+\sqrt{2-x}$ \leq 2

$\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{2-x}$ \leq 2

$\Longrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{2-x}+\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{2-x}$ \leq 4

$"=" \Longleftrightarrow x=1$

Bài 11:$\sqrt{x^2+2}+|x|=\sqrt{2}$

$\sqrt{x^2+2}+|x|$ \geq $\sqrt{2}$

$"=" \Longleftrightarrow x=0$


Bài 12: $2\sqrt[4]{27x^2+24x+\frac{28}{3}}=1+\sqrt{\frac{27x}{2}+6}$

Đặt $\sqrt[4]{27x^2+24x+\frac{28}{3}}=a$,$\sqrt{\frac{27x}{2}+6}=b$

Ta có hệ phương trình :
$$\left\{\begin{matrix}
2a=1+b\\ 27a^4-4b^4=108
\end{matrix}\right.$$

 

[jelouis]

Bài 13:
$$2x+1+x\sqrt{x^2+2}+(x+1)\sqrt{x^2+2x+3}=0$$
$$\Longleftrightarrow 2x+1+x\sqrt{x^2+2}+x\sqrt{x^2+2x+3}+\sqrt{x^2+2x+3}=0$$
$$\Longleftrightarrow (2x+1)+(x\sqrt{x^2+2}+\frac{3}{4})+(x\sqrt{x^2+2x+3}+\frac{3}{4})+(\sqrt{x^2+2x+3}-\frac{3}{2})=0$$
$$\Longleftrightarrow 2x+1+\frac{x^4+2x^2-\frac{9}{16}}{x\sqrt{x^2+2}-\frac{3}{4}}+\frac{x^4+2x^3+3x^2-\frac{9}{16}}{x\sqrt{x^2+2x+3}-\frac{3}{4}}+\frac{x^2+2x+\frac{3}{4}}{\sqrt{x^2+2x+3}+\frac{3}{2}}=0$$
$$\Longleftrightarrow 2x+1\frac{(x^2-\frac{1}{4})(x^2+\frac{9}{4})}{x\sqrt{x^2+2}-\frac{3}{4}}+\frac{(x+\frac{1}{2})(x^3+\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{4}x-\frac{9}{8})}{x\sqrt{x^2+2x+3}-\frac{3}{4}}+\frac{(x+\frac{1}{2})(x+\frac{3}{2})}{\sqrt{x^2+2x+3}+\frac{3}{2}}=0$$
$$\Longleftrightarrow (x+\frac{1}{2})(2+\frac{(x-\frac{1}{2})(x^2+\frac{9}{4})}{x\sqrt{x^2+2}-\frac{3}{4}}+\frac{x^3+\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{4}x-\frac{9}{8}}{x\sqrt{x^2+2x+3}-\frac{3}{4}}+\frac{x+\frac{3}{2}}{\sqrt{x^2+2x+3}+\frac{3}{2}})=0$$
Đến đây ta biện luận như sau :
Phương trình đã cho ban đầu :
$$2x+1+x\sqrt{x^2+2}+(x+1)\sqrt{x^2+2x+3}=0$$
$$\Longleftrightarrow (x+1)(1+\sqrt{x^2+2x+3})+x(1+\sqrt{x^2+2})=0$$
$\Longrightarrow$ Với x lớn hơn hoặc bằng 0 hoặc x bé hơn hoặc bằng -1 phương trình vô nghiệm. Do đó $x \in (-1;0)$
$\ast x \in (-1;0) \Longrightarrow \left\{\begin{matrix}
x-\frac{1}{2}<0\\ x\sqrt{x^2+2}-\frac{3}{4}<0
\end{matrix}\right.$ $\Longrightarrow \frac{(x-\frac{1}{2})(x^2+\frac{9}{4})}{x\sqrt{x^2+2}-\frac{3}{4}}>0$

$$x \in (-1;0) \Longrightarrow x+\frac{3}{2} >0 \Longrightarrow \frac{x+\frac{3}{2}}{\sqrt{x^2+2x+3}+\frac{3}{2}} >0$$
Đặt $f(x)=x^3+\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{4}x-\frac{9}{8} , x \in (-1;0)$
$f'(x)=3x^2+3x+\frac{9}{4} >0$ $\Longrightarrow$ hàm đồng biến trên R
mà $f(0)=\frac{-9}{8} < 0$ nên $\Longrightarrow$ $x^3+\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{4}x-\frac{9}{8} < 0$ $x \in (-1;0)$
Đồng thời $\sqrt{x^2+2x+3}-\frac{3}{4}<0 (cmt)$
$$\Longrightarrow \frac{x^3+\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{4}x-\frac{9}{8}}{x\sqrt{x^2+2x+3}-\frac{3}{4}} >0$$
Từ đây suy ra ta có :
$$\frac{(x-\frac{1}{2})(x^2+\frac{9}{4})}{x\sqrt{x^2+2}-\frac{3}{4}}+\frac{x^3+\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{4}x-\frac{9}{8}}{x\sqrt{x^2+2x+3}-\frac{3}{4}}+\frac{x+\frac{3}{2}}{\sqrt{x^2+2x+3}+\frac{3}{2}} > 0$$
Vậy $x=\frac{-1}{2}$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Cậu nào có cách khác post lên với nhé

 

[jelouis]

Bài 14:
$$\sqrt{3x^2-7x+3}-\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3x^2-5x-1}-\sqrt{x^2-3x+4}$$
Bài 15:
$$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x}+\sqrt{2-y}=\sqrt{2}\\\sqrt{y}+\sqrt{2-x}=\sqrt{2}
\end{matrix}\right.$$
Bài 16:
$$\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2=\frac{1}{2}\\4x(x^3-x^2+x-1)=y^2+2xy-2
\end{matrix}\right.$$
Bài 17:
$$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}-2\sqrt{x(1-x)}-2\sqrt[4]{x(1-x)}+1=0$$

 

[jelouis]

Một số bài sử dụng hằng đẳng thức

Bài 18:
$$\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}-\sqrt{x+3+4\sqrt{x-1}}+5=0$$
Bài 19:
$$\sqrt{2x-4-2\sqrt{2x-5}}-\sqrt{2x+4+6\sqrt{2x-5}}+4=0$$
Bài 20:
$$\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\frac{x+3}{2}$$

 

[hocmaitlh]

chào cả nhà mình là thành viên mới.

Bài 14:
[TEX]\sqrt[]{3x^2-7x+3}-\sqrt[]{x^2-2}=\sqrt[]{3x^2-5x-1}-\sqrt[]{x^2-3x+4}[/TEX]

đk : [TEX]x\geq\frac{5+\sqrt[]{37}}{6}[/TEX] hoặc [TEX]x\leq\frac{5-\sqrt[]{37}}{6}[/TEX]
pt \Leftrightarrow[TEX] \sqrt[]{3x^2-7x+3}-\sqrt[]{3x^2-5x-1}=\sqrt[]{x^2-2}-\sqrt[]{x^2-3x+4}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\frac{2(2-x)}{\sqrt[]{3x^2-7x+3}+\sqrt[]{3x^2-5x-1}}=\frac{3(x-2)}{\sqrt[]{x^2-2}+\sqrt[]{x^2-3x+4}}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](x-2)(\frac{3}{\sqrt[]{x^2-2}+\sqrt[]{x^2-3x+4}}+\frac{2}{\sqrt[]{3x^2-7x+3}+\sqrt[]{3x^2-5x-1}}=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]x=2[/TEX] ( phần trong ngoặc dương)
vậy pt có nghiệm là [TEX]x=2[/TEX]

 

[starlove_maknae_kyuhyun]

Chào các bạn !

solution :
Bài 15 : Chúng ta sẽ bình phương 2 vế sau đó rút gọn và bình phương 2 vế một lần nữa ta sẽ thu được phương trình $ x=y $
sau đó thế vào phương trình của hệ giải ra kết quả !

Bài 17: Đặt

phương trình bài cho có dạng :
$ a^2 + b^2 -2a^2b^2-2ab +1=0 $ (1)
đồng thời ta có $ a^4 + b^4 =1 $
(1) $ <=> a^2 + b^2 -2a^2b^2-2ab +a^4 + b^4=0$
$<=> (a-b)^2 + (a^2-b^2)^2=0$
$ <=> a= b $

tới đây ta thay để được ẩn x và giải ra kết quả

Bài 18 , 19 , 20 sử dụng hằng đẳng thức 1 và 2

Chúc các bạn học tốt (*)

 

[hocmaitlh]

bài 15:[TEX] \sqrt[]{x}+\sqrt[]{2-y}=\sqrt[]{2}[/TEX] và [TEX]\sqrt[]{y}+\sqrt[]{2-x}=\sqrt[]{2}[/TEX]

đk :2\geq x;y\geq0
trừ 2 pt cho nhau ta được :[TEX]\sqrt[]{x}-\sqrt[]{y}+\sqrt[]{2-y}-\sqrt[]{2-x}=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX] \frac{x-y}{\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}}+\frac{x-y}{\sqrt[]{2-y}+\sqrt[]{2-x}}=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](x-y)(\frac{1}{\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}}+\frac{1}{\sqrt[]{2-y}+\sqrt[]{2-x}}=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]x=y[/TEX] (do trong ngoặc dương)
thế vào trên : ta được [TEX]x=y=0 [/TEX]và [TEX]x=y=2[/TEX]
vậy hpt có nghiệm là[TEX] x=y=0 [/TEX]và [TEX]x=y=2[/TEX]

 

[hocmaitlh]

bạn nhìn nhầm rùi : bài 17 :đặt [TEX]a=\sqrt[]{x}[/TEX] và [TEX]b=\sqrt[4]{1-x}[/TEX]
ta được [TEX]a^2+b^2-2a^2.b^2-2ab+1=0[/TEX] và [TEX]a^4+b^4=1[/TEX]
đến đây là ok. sr cậu mình nhìn nhầm

 

[starlove_maknae_kyuhyun]

chào bạn hocmaitlh

bạn nhìn nhầm rùi : bài 17 :đặt $ a=\sqrt{x} $ và $ b=\sqrt{1-x} $

Bạn có thể chỉ rõ giúp mình lỗi sai được không ? cảm ơn bạn rất nhiều !

 

[hocmaitlh]

bài 16:[TEX] x^2+y^2=\frac{1}{2} (1)[/TEX] và [TEX]4x(x^3-x^2+x-1)=y^2+2xy-2 (2)[/TEX]
(1)\Leftrightarrow [TEX]2x^2+2y^2=1 [/TEX] (3)
(2)\Leftrightarrow [TEX]4x^4-4x^3+5x^2-4x+2=(x+y)^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX] (2x-1)^2(x^2+1)+1=(x-y)^2 [/TEX] (4)
thế (3) vào (4) ta đk: [TEX](2x-1)^2(x^2+1)+(x+y)^2=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX] (2x-1)^2(x^2+1)=0 [/TEX]và[TEX] (x+y)^2=0[/TEX]
đến đó là ok rùi

 

[heroineladung]

Bài 13:
$$2x+1+x\sqrt{x^2+2}+(x+1)\sqrt{x^2+2x+3}=0$$
$$\Longleftrightarrow 2x+1+x\sqrt{x^2+2}+x\sqrt{x^2+2x+3}+\sqrt{x^2+2x+3}=0$$
$$\Longleftrightarrow (2x+1)+(x\sqrt{x^2+2}+\frac{3}{4})+(x\sqrt{x^2+2x+3}+\frac{3}{4})+(\sqrt{x^2+2x+3}-\frac{3}{2})=0$$
$$\Longleftrightarrow 2x+1+\frac{x^4+2x^2-\frac{9}{16}}{x\sqrt{x^2+2}-\frac{3}{4}}+\frac{x^4+2x^3+3x^2-\frac{9}{16}}{x\sqrt{x^2+2x+3}-\frac{3}{4}}+\frac{x^2+2x+\frac{3}{4}}{\sqrt{x^2+2x+3}+\frac{3}{2}}=0$$
$$\Longleftrightarrow 2x+1\frac{(x^2-\frac{1}{4})(x^2+\frac{9}{4})}{x\sqrt{x^2+2}-\frac{3}{4}}+\frac{(x+\frac{1}{2})(x^3+\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{4}x-\frac{9}{8})}{x\sqrt{x^2+2x+3}-\frac{3}{4}}+\frac{(x+\frac{1}{2})(x+\frac{3}{2})}{\sqrt{x^2+2x+3}+\frac{3}{2}}=0$$
$$\Longleftrightarrow (x+\frac{1}{2})(2+\frac{(x-\frac{1}{2})(x^2+\frac{9}{4})}{x\sqrt{x^2+2}-\frac{3}{4}}+\frac{x^3+\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{4}x-\frac{9}{8}}{x\sqrt{x^2+2x+3}-\frac{3}{4}}+\frac{x+\frac{3}{2}}{\sqrt{x^2+2x+3}+\frac{3}{2}})=0$$
Đến đây ta biện luận như sau :
Phương trình đã cho ban đầu :
$$2x+1+x\sqrt{x^2+2}+(x+1)\sqrt{x^2+2x+3}=0$$
$$\Longleftrightarrow (x+1)(1+\sqrt{x^2+2x+3})+x(1+\sqrt{x^2+2})=0$$
$\Longrightarrow$ Với x lớn hơn hoặc bằng 0 hoặc x bé hơn hoặc bằng -1 phương trình vô nghiệm. Do đó $x \in (-1;0)$
$\ast x \in (-1;0) \Longrightarrow \left\{\begin{matrix}
x-\frac{1}{2}<0\\ x\sqrt{x^2+2}-\frac{3}{4}<0
\end{matrix}\right.$ $\Longrightarrow \frac{(x-\frac{1}{2})(x^2+\frac{9}{4})}{x\sqrt{x^2+2}-\frac{3}{4}}>0$

$$x \in (-1;0) \Longrightarrow x+\frac{3}{2} >0 \Longrightarrow \frac{x+\frac{3}{2}}{\sqrt{x^2+2x+3}+\frac{3}{2}} >0$$
Đặt $f(x)=x^3+\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{4}x-\frac{9}{8} , x \in (-1;0)$
$f'(x)=3x^2+3x+\frac{9}{4} >0$ $\Longrightarrow$ hàm đồng biến trên R
mà $f(0)=\frac{-9}{8} < 0$ nên $\Longrightarrow$ $x^3+\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{4}x-\frac{9}{8} < 0$ $x \in (-1;0)$
Đồng thời $\sqrt{x^2+2x+3}-\frac{3}{4}<0 (cmt)$
$$\Longrightarrow \frac{x^3+\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{4}x-\frac{9}{8}}{x\sqrt{x^2+2x+3}-\frac{3}{4}} >0$$
Từ đây suy ra ta có :
$$\frac{(x-\frac{1}{2})(x^2+\frac{9}{4})}{x\sqrt{x^2+2}-\frac{3}{4}}+\frac{x^3+\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{4}x-\frac{9}{8}}{x\sqrt{x^2+2x+3}-\frac{3}{4}}+\frac{x+\frac{3}{2}}{\sqrt{x^2+2x+3}+\frac{3}{2}} > 0$$
Vậy $x=\frac{-1}{2}$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Cậu nào có cách khác post lên với nhé

Khả năng tính toán của bạn Jelouis thật giỏi, mình nhìn cách bạn làm bài 13 này thì rất đúng rồi nhưng mà dài quá và hơi rắc rối. Mình làm như thế này nè!

Bài 13:
TXĐ: D = R.
[TEX]2x + 1 + x\sqrt{x^2 + 2} + (x + 1)\sqrt{x^2 + 2x + 3} = 0[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX](x + x\sqrt{x^2 + 2}) + (x + 1) + (x + 1)\sqrt{(x + 1)^2 + 2} = 0[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]x(1 + \sqrt{x^2 + 2}) + (x + 1)(1 + \sqrt{(x + 1)^2 + 2}) = 0[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]x(1 + \sqrt{x^2 + 2}) = -(x + 1)(1 + \sqrt{[-(x + 1)^2] + 2}[/TEX]

Xét [TEX]f(t) = t(1 + \sqrt{t^2 + 2}), t \in R.[/TEX]
CM: f(t) đồng biến với [TEX]\forall t \in R.[/TEX]
Có [TEX]t1, t2 \in R; t1 < t2.[/TEX]
[TEX]\Rightarrow f(t2) - f(t1) = t2(1 + \sqrt{t2^2 + 2}) - t1(1 + \sqrt{t1^2 + 2}) [/TEX]
[TEX]= t2 - t1 + t2\sqrt{t2^2 + 2} - t1\sqrt{t1^2 + 2} [/TEX]

(*) Nếu 0 [TEX]\leq[/TEX] t1 [TEX]\leq[/TEX] t2 [TEX]\Rightarrow[/TEX] [TEX]\left\{\ t2 - t1 > 0 \\{t2\sqrt{t2^2 + 2} - t1\sqrt{t1^2 + 2}> 0}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow f(t2) - f(t1) > 0 \Rightarrow f(t2) > f(t1) [/TEX]


(*) Nếu t1 < t2 < 0 [TEX]\Rightarrow t2 - t1 < 0 (1')[/TEX]
Có [TEX]t1 < t2 < 0 \Rightarrow t1^2 > t2^2 > 0 \Rightarrow \sqrt{t1^2 +2} > \sqrt{t2^2 +2} > 0.[/TEX]

Do [TEX] t1 < t2 < 0 \Rightarrow - t1 > - t2 > 0 \Rightarrow -t1\sqrt{t1^2 + 2} > -t2\sqrt{t2^2 + 2} \Rightarrow t2\sqrt{t2^2 + 2} - t1\sqrt{t1^2 + 2} > 0 (2') [/TEX]

Từ (1') và (2') [TEX]\Rightarrow f(t2) - f(t1) > 0 ; \forall t1,t2 vs t1 < t2 < 0.[/TEX]


(*) Nếu [TEX]t1 < 0 < t2 \Rightarrow f(t2) - f(t1) > 0.[/TEX]

Từ các kết quả trên [TEX]\Rightarrow f(t) [/TEX]đồng biến với [TEX]\forall t \in R[/TEX]

Phương trình
\Leftrightarrow[TEX] f(x) = f(-(x + 1))[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX] x = -x - 1 \Leftrightarrow 2x = -1 \Leftrightarrow x = \frac{-1}{2}[/TEX]

Vậy PT có 1 no duy nhất là [TEX]x = \frac{-1}{2}[/TEX]

 

[jelouis]

chào bạn hocmaitlh


Bạn có thể chỉ rõ giúp mình lỗi sai được không ? cảm ơn bạn rất nhiều !

Bài của cậu hoàn toàn đúng nhé.
Hoặc ta có thể tính thẳng như sau :
$$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}-2\sqrt{x(1-x)}-2\sqrt[4]{x(1-x)}+1=0$$
$$\Longleftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{1-x}-2\sqrt{x(1-x)}-2\sqrt[4]{x(1-x)}+x+1-x=0$$
$$\Longleftrightarrow (\sqrt{x}-\sqrt{1-x})^2+(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{1-x})^2=0$$
$$\Longleftrightarrow x=1-x \Longleftrightarrow x=\frac{1}{2}$$