Toán Bất đẳng thức

[bosjeunhan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bất đẳng thức là một mảng vô cùng lí thú của toán học. Nếu như số học được coi là bà chúa thì (đối với mình thôi) bất đẳng thức được xem là ông "vương gia" của toán học. Chắc ai trong chúng ta cũng đã từng nghe, thậm chí là được đọc đến quyển sách: SÁNG TẠO BẤT ĐẲNG THỨC của anh Phạm Kim Hùng (ĐHKHTN-ĐHQGHN). Cuối của tác phầm, anh có nói tới cách để sáng tạo ra những ông "vương gia" mà theo tôi hiểu đó là cách ngụy trang, làm chặt nó từ những BĐT rất quen thuộc. Topic này sẽ làm nơi các bạn có thể đưa lên đây những BĐT các bạn sáng tạo nên. Và tôi xin đề nghị không đưa những bài mang tính sưu tầm
(Để tránh loãng bài trong pic, các bài đó xin cho vào pic BĐT của anh bboy114crew)

Tôi kết cái loại này lắm, làm được bài nào là đem ra chế liền, chế lị. Nhưng rất nhiều lần, từ BĐT siêu khó (Cứ nghĩ chế ra sễ gớm lắm đây) nhưng kết quả là chỉ cần cauchy hai số là ra ) hay là rõ ràng nó luôn đúng mà chẳng thèm chứng minh. Thật là ngớ ngần phải không !!!(VD bài 3). Tôi cũng muốn box toán 9 chúng ta cũng có 1 pic để nâng cao kiến thức cho anh em.(Lớp 9 bất đầu được nâng cao vê BĐT sau khi học cơ bản ở lớp 8)

Mong các bạn ủng hộ. Các bạn nếu có thể làm chặt những BĐT ở đây nữa thi lại càng tốt, rất đáng hoan nghênh
P/s: Trách spam, trách vào pic để "quậy phá lung tung"
Thank các bạn



Một số bài đầu tiên này là 1 số đã từng có trên diễn dàn nhưng chưa được giải. Nhưng nó cũng khá bình thường thôi các bạn ak:

Bài 1: Thienlong_cuong: Cho các số thực dương x ; y ; z thõa mãn [TEX]xyz = 1[/TEX]
Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{1 + x^2 + y^2} + \frac{1}{1 + y^2 + z^2} + \frac{1}{1 + z^2 + x^2} \leq \frac{1}{1 + x + x^2} + \frac{1}{1 + y + y^2} + \frac{1}{1 + z + z^2}[/TEX]
Bài 2: Thienlong_cuong: Gửi 1 bài chế này
Cho các số thực dương a, b , c
Thõa mãn[TEX] a^2 + b^2 + c^2 = 1[/TEX]
Chứng minh rằng

[TEX]\sum \frac{a}{1 - a^2} \geq \frac{9}{2(a + b + c)}[/TEX]

|Ko biết có sai đề ko biết !
Bài 3: Bài này tôi chế từ 1 bài trên diễn đàn
Cho các số thực dương thỏa mãn: [TEX]a+b=4ab[/TEX]
Chứng minh:
[TEX]\frac{a}{4b} + \frac{b}{4a^2+1} \geq \frac{1}{2}[/TEX]

(Như tôi đã nói trên bài này lúc đầu tôi chế thành
$ \frac{a}{4b} + \frac{b}{4a} \ge \frac{1}{2}$ ---siêu không nào )

 

[son9701]

Có 1 kĩ thuật t rất mộ đấy là kĩ thuật phân tích bình phương S.O.S .Trong cuốn sáng tạo bất đẳng thức,Phạm Kim Hùng đã khẳng định : Kĩ thuật này có thể giải quyết mọi bất đẳng thức đối xứng 3 biến.

Tuy nhiên, mình k có nhiều kĩ năng sử dụng phương pháp này,liệu có cách nào để rèn luyện và trở nên thuần thục pp này k nhỉ,mong bạn giúp đỡ

Thân

 

[bosjeunhan]

Có 1 kĩ thuật t rất mộ đấy là kĩ thuật phân tích bình phương S.O.S .Trong cuốn sáng tạo bất đẳng thức,Phạm Kim Hùng đã khẳng định : Kĩ thuật này có thể giải quyết mọi bất đẳng thức đối xứng 3 biến.

Tuy nhiên, mình k có nhiều kĩ năng sử dụng phương pháp này,liệu có cách nào để rèn luyện và trở nên thuần thục pp này k nhỉ,mong bạn giúp đỡ

Thân

Cảm ơn bạn! Cũng có thể đây là pic để trao đổi thêm về kinh nghiệm giải BĐT
Như thế này bạn ạ! S.O.S là một kỹ thuật khá là khó để mình có thể thức hiện cho nhuần nhuyễn. Lúc mới học, mình nhìn thấy cái đề như thế thì không hiểu phân tích theo cái kiểu gì đây, nhưng lời giả của nó lại vô cùng đơn giản. Để thuần thục loại này, mình nghĩ bạn sẽ cần luyện tập và nhớ những bước đi của phương pháp này trong từng bài

PP này mình cũng chỉ biết tới bữa đầu năm, nên kinh nghiệm về loại này là không nhiều. Các bạn có thể cho thêm ý kiến...

Một điều rất hay là mình thường đi ngược so với PP này để chế BĐT, cứ đưa những tổng bình phương phức tạp thành BĐT, điều đó khá thú vị

Đây là pic STBĐT nên mình nghĩ bạn có thể dùng S.O.S đê chứng minh BĐT và sẽ tạo ra nhiều BĐT từ PP này để ủng hộ cho pic.
Thân.

Đây là tài liệu về S.O.S của mình, các bạn có thể tham khảo thêm.

 

[nthoangcute]

Nâng cao S.O.S

S.O.S là một phương pháp chứng minh BĐT khá khó !!!
Nếu bạn muốn thuần thục nó, trước tiên hãy thử làm bài này:
Bài 4:
[TEX]2x^{3}y+2y^{3}z+2z^{3}x+4y^{3}x+4z^{3}y+4x^{3}z+4xyz(x+y+z%20)%20\leq%20x^{4}+y^{4}+z^{4}+9x^2y^2+9x^{2}z^{2}+9y^{2}z^{2}[/TEX]

 

[minhtuyb]

Bài 2: Thienlong_cuong: Gửi 1 bài chế này
Cho các số thực dương a, b , c
Thõa mãn[TEX] a^2 + b^2 + c^2 = 1[/TEX]
Chứng minh rằng

[TEX]\sum \frac{a}{1 - a^2} \geq \frac{9}{2(a + b + c)}[/TEX]

|Ko biết có sai đề ko biết !

Cm thử xem nào :-?
Chắc nó được chế từ bài này hở :-S:
"Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR:
$$\displaystyle{\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}}$$"
Nhưng mà $1-a^2=b^2+c^2\geq \frac{(b+c)^2}{2}\Rightarrow$ dấu thế nào thế :-w

 

[thienlong_cuong]

Không hề ! Lấy từ bài khác ! Thấy nó cũng đẹp đấy chứ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

1 bài ngớ ngẩn chế nè

Bài 5: Chứng minh rằng với các số thực dương a, b , c thì

[TEX]\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{a}{a + c} + \frac{b}{a + b} + \frac{c}{b + c}[/TEX]

 

[asroma11235]

1 bài ngớ ngẩn chế nè

Chứng minh rằng với các số thực dương a, b , c thì

[TEX]\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{a}{a + c} + \frac{b}{a + b} + \frac{c}{b + c}[/TEX]

Tương đương với:[TEX]\frac{a-c}{b+c}+\frac{b-a}{a+c}+\frac{c-b}{a+b} \geq 0[/TEX]
[TEX]<=> \sum \frac{a+b}{b+c} \geq 3[/TEX]
Hiển nhiên đúng theo AM-GM.

 

[bat.nap.quan.tai.hon.em.lan.cuoi]

1 bài ngớ ngẩn chế nè

Chứng minh rằng với các số thực dương a, b , c thì

[TEX]\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{a}{a + c} + \frac{b}{a + b} + \frac{c}{b + c}[/TEX]

gs [TEX]b = min {a;b;c} [/TEX]

bđt cần c/m <=>

[TEX]\frac{(a-c)^2}{(b+c)(a+b)}+\frac{(b-a)(b-c)}{(a+c)(a+b)} \geq 0[/TEX]

( đúng )

 

[son9701]

Em gửi 1 bài chế hơi xấu xí nè (Xấu nhưng là của em ^^):
Bài 6:
Cmr: Với x;y;z > 0 thì

[tex](\frac{x}{y^3x+z^2y^2}+\frac{y}{z^3y+x^2z^2}+\frac{z}{x^3z+x^2y^2})(x+y)(y+z)(z+x) \geq 12 [/tex]

(Định đăng là tìm min nhưng để thế này cho chất

 

[linhhuyenvuong]

1 bài ngớ ngẩn chế nè

Chứng minh rằng với các số thực dương a, b , c thì

[TEX]\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{a}{a + c} + \frac{b}{a + b} + \frac{c}{b + c}[/TEX]

[TEX] (\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b})+ (\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c})=\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+c}+\frac{a+c}{a+b} \geq3(1)[/TEX]

[TEX](\frac{a}{a + c} + \frac{b}{a + b} + \frac{c}{b + c})+(\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c})=3(2)[/TEX]

[TEX](1)(2) \Rightarrow dpcm[/TEX]

 

[braga]

Bài 7:Chứng minh nếu $a,b,c\geq 0$ Thì:

$$\frac{1}{c(c+b)}+\frac{1}{b(b+a)}+\frac{1}{a(a+c)} \geq \frac{9}{2(ab+bc+ac)}$$

 

[lequangnam97]

ai huong dan minh ve cai S.O.S VỚI, cái này quan trọng vì hay có ở câu 5 đề thi, cái tập tin mình down về nhưng toàn tiếng anh thui. tim mua quyển sách này khó khăn quá

 

[thienlong_cuong]

[TEX] (\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b})+ (\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c})=\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+c}+\frac{a+c}{a+b} \geq3(1)[/TEX]

[TEX](\frac{a}{a + c} + \frac{b}{a + b} + \frac{c}{b + c})+(\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c})=3(2)[/TEX]

[TEX](1)(2) \Rightarrow dpcm[/TEX]

&gt;- cách này hay đấy

p/s : anh em mô thích làm Toán theo tiếng việt thì xem cách ni

BĐT đúng theo BĐT hoán vị ! )

 

[thienlong_cuong]

Chứng minh nếu $a,b,c\geq 0$ Thì:

$$\frac{1}{c(c+b)}+\frac{1}{b(b+a)}+\frac{1}{a(a+c)} \geq \frac{9}{2(ab+bc+ac)}$$

BĐT tương đương với

[TEX]\sum \frac{a}{c} + \frac{b}{b + c} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

Ghép cặp

[TEX]\frac{b}{b + c} + \frac{b + c}{4b} \geq 1[/TEX]

Với AM - Gm cho các bô lão [TEX] \sum \frac{3c}{4b}[/TEX]

Xây dựng tương tự => đpcm

các huynh đệ nếu tại hạ mần sai thông cảm nhé ! Chớ dùng \sum thế chứ có biết chi về nó đâu ! Nhác đánh text

 

[son9701]

Chứng minh nếu $a,b,c\geq 0$ Thì:

$$\frac{1}{c(c+b)}+\frac{1}{b(b+a)}+\frac{1}{a(a+c)} \geq \frac{9}{2(ab+bc+ac)}$$

Ham hố bất đẳng thức tẹo :

Nhân 2(ab+bc+ca) vào 2 vế ta đc bđt tg đg:

[TEX]\frac{2a}{c}+\frac{2b}{b+c}+\frac{2c}{b}+\frac{2a}{a+b}+\frac{2b}{a}+\frac{2c}{a+c} \geq 9[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow a(\frac{1}{2c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b}) + b(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+c}) + c(\frac{1}{2b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+c}) + \frac{3}{2}(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}) \geq 9[/TEX]

Ta có bất đẳng thức này đúng vì:

[TEX] a(\frac{1}{2c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b}) \geq \frac{9a}{2(a+b+c)}; b(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+c}) \geq \frac{9b}{2(a+b+c)}; c(\frac{1}{2b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+c}) \geq \frac{9a}{2(a+b+c)} [/TEX]

[tex]\Rightarrow a(\frac{1}{2c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b})+ b (\frac{1}{2a}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+c})+c(\frac{1}{2b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+c}) \geq \frac{9(a+b+c)}{2(a+b+c)}=\frac{9}{2}[/tex]

Và áp dụng cô-si: [TEX]\frac{3}{2}(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}) \geq \frac{3}{2}.3 =\frac{9}{2}[/TEX]

Cộng theo vế ta đc đpcm

P/s: Nhìn ban đầu tg dùng schwardz thì quá chặt .

 

[son9701]

Gửi thêm 1 trái tim mang đầy tình yêu :

Bài 8:Tìm hằng số k nhỏ nhất để :

[tex]k(ab+bc+ca) > a^2+b^2+c^2 [/tex]

Đúng với mọi a;b;c là 3 cạnh tam giác

P/s: Các bác có thể giúp em bài này nữa ko :

Bài 9: CMR vs mọi k tự nhiên và x+y=2 thì

[tex]x^ky^k(x^k+y^k) \leq 2 [/tex]

(Bài này em bí từ lớp 8.Bây h ms dám hỏi,thông cảm.Có gợi ý là dùng quy nạp (Võ QB Cẩn)

 

[thienlong_cuong]

1 cái sáng tối
invented by Thienlong_cuong )

Bài 10:
Cho các số thức dương a , b , c thõa mãn
[TEX]ab + bc + ac \geq \frac{1}{3}[/TEX]

Tìm MIN

[TEX]C = \frac{a}{b(3a + 2)} + \frac{b}{c(3b + 2)} + \frac{c}{a(3c + 2)} [/TEX]

|-):-*

 

[bosjeunhan]

Vì thấy cái BĐT chỗ chữ kí của Thienlong_Cuong thấy ngưa ngứa mắt mà cấy mà cây nớ cũng liên quan tới bài 1(bài đầu tiên) nên nói luôn.

Phân tích đa thức thành nhân tử thành [TEX] (c-a).(c-b).(a-b) [/TEX]
Thì hs luôn đúng còn chi.
Mà đề nghị là post mấy bài tự chế nha. Thấy vài bài trong sách rồi đó )
Dùng phương pháp hình học

 

[son9701]

Vì thấy cái BĐT chỗ chữ kí của Thienlong_Cuong thấy ngưa ngứa mắt mà cấy mà cây nớ cũng liên quan tới bài 1 nên nói luôn.

Phân tích đa thức thành nhân tử thành [TEX] (c-a).(c-b).(a-b) [/TEX]
Thì hs luôn đúng còn chi.
Mà đề nghị là post mấy bài tự chế nha. Thấy vài bài trong sách rồi đó )

Em nghĩ cái bất đẳng thức của bác thienlong_cuong không đúng trong 1 số trường hợp vì ta có:

[TEX]\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
thì nếu ta chọn x=a;y=b;z=c thì hiển nhiên nó là bđt giả sử tức là:
[TEX]\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
nhưng nếu chọn x=b;y=a;z=c thì:
[TEX]\frac{b}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{c}{b+c} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

cũng đúng.Nhưng khi cộng lại thì hỡi ôi:...............tan nát cõi lòng.

Bosjeunhan: Cộng lại thì sao bạn. Mình vẫn chưa hiểu

 

[son9701]

Em chế thêm 1 bài nữa gửi các bác ) :

Bài 11:
Cho a;b;c thực thỏa mãn [TEX]a^2c^2+ab^2c+bc^3 < 0[/TEX]
Chứng minh rằng
[TEX]\frac{b^3}{16c^3} > \frac{(a-b)(b-c)}{(a-c)^2}[/TEX]

Created by son9701

(created chứ bác TLC nhỉ ) )