Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[minhtuyb]

Hờ còn cho cả S.O.S nữa ="=':
Bài 1: Cho [tex]a+b\leq 2[/tex]. Tìm GTLN của biếu thức:
[tex]P=\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(a+1)}[/tex]

Bài 2: Với [tex]a\leq b\leq 3;a+b\leq 5[/tex]. Tìm max:
[tex]Q=a^2(b+1)+b^2(a+1)[/tex]
---Đề thi thử năm năy ---

Bài 3: Cho ba số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{x^4}{y^2(z+x)}+\frac{y^4}{z^2(x+y)}+\frac{z^4}{x^2(y+z)}\geq \frac{x+y+z}{2}[/tex]

 

[bat.nap.quan.tai.hon.em.lan.cuoi]

Hờ còn cho cả S.O.S nữa ="=':
Bài 1: Cho [tex]a+b\leq 2[/tex]. Tìm GTLN của biếu thức:
[tex]P=\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(a+1)}[/tex]


Bài 3: Cho ba số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{x^4}{y^2(z+x)}+\frac{y^4}{z^2(x+y)}+\frac{z^4}{x^2(y+z)}\geq \frac{x+y+z}{2}[/tex]

1. [TEX]P \leq \sqrt{(a+b)(b+1+a+1)} \leq \sqrt{8}[/TEX]

3. [TEX]\frac{x^4}{y^2(z+x)}+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z+x}{4} \geq 2x[/TEX]

bài 2 có cho a, b>0 k nhỉ)

 

[hermes_legend]

1. [TEX]P \leq \sqrt{(a+b)(b+1+a+1)} \leq \sqrt{8}[/TEX]

3. [TEX]\frac{x^4}{y^2(z+x)}+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z+x}{4} \geq 2x[/TEX]

bài 2 có cho a, b>0 k nhỉ)

Khoan, mình còn cùi bđt, cho mình thắc mắc chút:

Bài 1 bạn sử dụng bđt này khá hay:
[TEX]\sqrt{(a+b)(c+d)} \geq \sqrt{ac}+\sqrt{bd}[/TEX] là 1 bđt ít sử dụng
Nhưng mà hình như bđt áp dụng cho a,b,c,d dương.

Còn từ đề bài chưa chắc a,b dương mà chúng chỉ cùng dấu mà thôi.@-)

 

[linhhuyenvuong]

Khoan, mình còn cùi bđt, cho mình thắc mắc chút:

Bài 1 bạn sử dụng bđt này khá hay:
[TEX]\sqrt{(a+b)(c+d)} \geq \sqrt{ac}+\sqrt{bd}[/TEX] là 1 bđt ít sử dụng
Nhưng mà hình như bđt áp dụng cho a,b,c,d dương.

Còn từ đề bài chưa chắc a,b dương mà chúng chỉ cùng dấu mà thôi.@-)

1, Bu-nhi-a.
[TEX](\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(a+1)})^2 \leq [(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2][(\sqrt{b+1})^2+(\sqrt{a+1})^2]=(a+b)(a+1+b+1)[/TEX]

\Rightarrow....

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

1, Bu-nhi-a.
[TEX](\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(a+1)})^2 \leq [(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2][(\sqrt{b+1})^2+(\sqrt{a+1})^2]=(a+b)(a+1+b+1)[/TEX]

\Rightarrow....

nhầm rồi m ơi

chưa cho a, b k âm làm sao đưa ra khỏi căn đc

 

[minhtuyb]

nhầm rồi m ơi

chưa cho a, b k âm làm sao đưa ra khỏi căn đc

Chết thật đề lỗi quá ~.~. Thôi cho cả 3 bài không âm hết cho nó lành )
--> Hermes: Tên BĐT đó là gì đó, trông hay phết :x
Ai cho thêm vài bài đi . Các bạn chém nhanh quá chưa kịp kiếm @-)

 

[hermes_legend]

Chết thật đề lỗi quá ~.~. Thôi cho cả 3 bài không âm hết cho nó lành )
--> Hermes: Tên BĐT đó là gì đó, trông hay phết :x
Ai cho thêm vài bài đi . Các bạn chém nhanh quá chưa kịp kiếm @-)

Cho 2 bài trong đề thi hsg tp Hà Nội mấy năm trước:
BĐT ở Hà Nội những năm qua thường không quá khó. Năm 04-05 còn cho bài min cốc ki cơ bản. 2`. Mong năm nay các bác bên sở cứ dễ rãi chút, HN thi muộn nhất trong các tỉnh, thành hay sao ý nhỉ.?

Tìm min A= [TEX]\sqrt{x-1}+\sqrt{2x^2-5x+7}[/TEX]

@: bđt đấy hình như chưa có tên. @-)

 

[bat.nap.quan.tai.hon.em.lan.cuoi]

Tìm min A= [TEX]\sqrt{x-1}+\sqrt{2x^2-5x+7}[/TEX]

[TEX]A \geq \sqrt{2x^2-4x+6} \geq2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow A=2 \Leftrightarrow x=1[/TEX]

 

[minhtuyb]

1/Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
[tex]A= \sqrt{\frac{ab}{c+ab}} + \sqrt{\frac{bc}{a+bc}} +\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}[/tex]
Dễ nhỉ :-?
P/s: Thêm bài nữa

2/ Cho [tex]x,y,z>0[/tex] t/m: [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz[/tex]
CMR: [tex]xy+yz+xz+9\geq 4(x+y+z)[/tex]

 

[nhokpq_ine]

1/Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
[tex]A= \sqrt{\frac{ab}{c+ab}} + \sqrt{\frac{bc}{a+bc}} +\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}[/tex]
Dễ nhỉ :-?
P/s: Thêm bài nữa

2/ Cho [tex]x,y,z>0[/tex] t/m: [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz[/tex]
CMR: [tex]xy+yz+xz+9\geq 4(x+y+z)[/tex]

1/ Để ý :[TEX]c(a+b+c)+ab=(c+a)(c+b)[/TEX] rồi dùng Cauchy-Schwarz là ra luôn.
2/ [TEX]xyz=x^2+y^2+z^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x+y+z \leq \sqrt{3xyz}[/TEX]
Vậy, ta quy bài toán về chứng minh: [TEX]xy+yz+xz + 9 \geq 4 \sqrt{3xyz}[/TEX]
Ta có: [TEX] \sum xy+3 \geq \sum 4 \sqrt[4]{xy}[/TEX]
-Chỉ cần chứng minh: [TEX]\sum \sqrt[4]{xy} \geq \sqrt{3xyz}[/TEX] nữa là xong.
[TEX]VT=\sum \sqrt[4]{\frac{xyz}{z}}=\sqrt[4]{x^2+y^2+z^2} \sum \frac{1}{\sqrt[4]{z}} = \sqrt[4]{x^2+y^2+z^2} \sum (\frac{\sum \sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{xyz}})= \sum \sqrt[4]{xy} \geq \sqrt{3xyz}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow Q.E.D[/TEX]

 

[nhokpq_ine]

-Góp 1 bài nữa )
Cho a,b,c dương và có tích bằng 1. Chứng minh:
[TEX]\frac{b+c}{\sqrt{a}} + \frac{c+a}{\sqrt{b}}+ \frac{a+b}{\sqrt{c}} \geq \sqrt{a}+ \sqrt{b}+\sqrt{c} +3[/TEX]

 

[nhokpq_ine]

Cho 2 bài trong đề thi hsg tp Hà Nội mấy năm trước:
BĐT ở Hà Nội những năm qua thường không quá khó. Năm 04-05 còn cho bài min cốc ki cơ bản. 2`. Mong năm nay các bác bên sở cứ dễ rãi chút, HN thi muộn nhất trong các tỉnh, thành hay sao ý nhỉ.?

Tìm min A= [TEX]\sqrt{x-1}+\sqrt{2x^2-5x+7}[/TEX]

@: bđt đấy hình như chưa có tên. @-)

-Nó chính là bdt Bunhia-copxki thôi mà. )

[TEX]A \geq \sqrt{2x^2-4x+6} \geq2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow A=2 \Leftrightarrow x=1[/TEX]

-Bạn này giải ẩu quá, thi mà làm thế này thì ăn ngay cái gạch đỏ hoặc bị trừ nửa điểm. Ít ra bạn cũng phải để những người không giỏi bằng mình có thể hiểu được chứ X(

Bổ đề cơ bản: [TEX] a+b \leq \sqrt{2(a^2+b^2)} \forall a,b \geq 0[/TEX]

 

[shayneward_1997]

-Góp 1 bài nữa )
Cho a,b,c dương và có tích bằng 1. Chứng minh:
[TEX]\frac{b+c}{\sqrt{a}} + \frac{c+a}{\sqrt{b}}+ \frac{a+b}{\sqrt{c}} \geq \sqrt{a}+ \sqrt{b}+\sqrt{c} +3[/TEX]

Có lẽ hơi dài:
Đặt vế trái bằng P.
ta có:[TEX]\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\geq 2\sqrt{b}[/TEX]
Hoàn toàn tương tự ta được:
P\geq[TEX]2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})[/TEX]
Mặt khác:[TEX]\frac{b+c}{\sqrt{a}}\geq \frac{2\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}[/TEX]
Tương tự sau đó sd AM-GM ta được P\geq6
\Rightarrow đpcm

 

[asroma11235]

-Cho [TEX]a,b,c \geq 0[/TEX]
Chứng minh: [TEX]\frac{1}{b(b+a)}+ \frac{1}{c(c+b)} + \frac{1}{a(a+c)} \geq \frac{9}{2(ab+bc+ca)}[/TEX]

 

[quyenuy0241]

-Cho [TEX]a,b,c \geq 0[/TEX]
Chứng minh: [TEX]\frac{1}{b(b+a)}+ \frac{1}{c(c+b)} + \frac{1}{a(a+c)} \geq \frac{9}{2(ab+bc+ca)}[/TEX]

[tex]\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+ \frac{\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}} +\frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{c}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \ge 3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}[/tex]

 

[minhtuyb]

Khoan, mình còn cùi bđt, cho mình thắc mắc chút:

Bài 1 bạn sử dụng bđt này khá hay:
[TEX]\sqrt{(a+b)(c+d)} \geq \sqrt{ac}+\sqrt{bd}[/TEX] là 1 bđt ít sử dụng
Nhưng mà hình như bđt áp dụng cho a,b,c,d dương.

Còn từ đề bài chưa chắc a,b dương mà chúng chỉ cùng dấu mà thôi.@-)

Một bài áp dụng BĐT này . P/s: Mincop bậc 1 đúng ko nhỉ :-?

Cho các số dương [TEX]a,b,c[/TEX]. CMR:
[TEX]\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{b+\sqrt{(b+a)(b+c)}}+\frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq 1[/TEX]

P/s: Đối xứng rồi đó ạ

 

[quyenuy0241]

Một bài áp dụng BĐT này . P/s: Mincop bậc 1 đúng ko nhỉ :-?

Cho các số dương [TEX]a,b,c[/TEX]. CMR:
[TEX]\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{a+\sqrt{(b+a)(b+c)}}+\frac{c}{a+\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq 1[/TEX]

chuẩn .

mà... k đối xứng kìa nh0k. có nhầm đề k? .

 

[thienlong_cuong]

Cho các số dương [TEX]a,b,c[/TEX]. CMR:
[TEX]\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{b+\sqrt{(b+a)(b+c)}}+\frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq 1[/TEX]

P/s: Đối xứng rồi đó ạ

Lão tú ra bài ni ác quá ! Ác dã man :-SS

Áp dụng BĐT cauchy-schwarz thì ta có
[TEX]\sqrt{(a + b)(a + c} \geq \sqrt{ab} + \sqrt{ac}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow VT \leq \sum \frac{a}{\sqrt{a}(\sum \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{\sum \sqrt{a}} = 1 \Rightarrow QED[/TEX]

Lão Long quay lại ! thêm pic spam ! >-

 

[linhhuyenvuong]

Tìm k lớn nhất thoả mãn BDT:
[TEX] a^3+b^3+c^3+kabc \geq \frac{1}{9} +\frac{k}{27}[/TEX]
a,b,c \geq 0; a+b+c=1

 

[minhtuyb]

Tìm k lớn nhất thoả mãn BDT:
[TEX] a^3+b^3+c^3+kabc \geq \frac{1}{9} +\frac{k}{27}[/TEX]
a,b,c \geq 0; a+b+c=1

Cái này dài ="='

Cho [tex]a=b=\frac{1}{2},c=0[/tex] ta được [tex]k\leq\frac{15}{4}[/tex]
Để giá trị k lớn nhất là [tex]\frac{15}{4}[/tex] thỏa [tex](1)[/tex] ta cần chứng minh:
[tex]a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc \geq \frac{1}{4} \\ \Leftrightarrow 4(a^3+b^3+c^3) + 15abc \geq 1 (2) [/tex]
Trước hết , ta chứng minh bất đẳng thức sau :
[tex](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\leq abc (3)[/tex]
Nếu vế trái của (3) ko dương thì (3) luôn đúng.
Nếu vế trái của (3) dương thì các thừa số [tex]a+b-c,a+c-b,b+c-a[/tex] đều dương vì nếu có hai thừa số âm chẳng hạn [tex]a+b-c<0[/tex] và [tex]a+c-b<0 thì [tex]2a<0[/tex] (vô lí).Khi đó áp dụng bất đẵng thức Cô-si ta có:
[tex](a+b-c)(a+c-b)\leq (\frac{a+b-c+a+c-b}{2})^2=a^2[/tex]
Tương tự : [tex](a+c-b)(b+c-a) \leq c^2 ; (b+c-a)(a+b-c) \leq b^2[/tex]
Nhân các bất đẵng thức trên ta được (3).
Từ (3) suy ra:
[tex](1-2a)(1-2b)(1-2c) \leq abc \\ \Rightarrow 1-2(a+b+c) +4(ab+bc+ca)-9abc \leq 0 \\ \Rightarrow 9abc-4(ab+bc+ca) \geq -1 (4)[/tex]
Vế trái của [tex](2)[/tex] bằng :
[tex]4(a^3+b^3+c^3) +15abc \\ = 4(a^3+b^3+c^3-3abc)+27abc \\ = 4[1-3(ab+bc+ca)] +27abc \\ =4-12(ab+bc+ca)+27abc \geq 4-3=1 (theo (4))[/tex]
(vì
[tex]a^3+b^3+c^3-abc\\=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\=(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)\\=1-3(ab+bc+ca)[/tex]
Vậy ta có (2) tức là đpcm.
Kết luận : [tex]k=\frac{15}{4}[/tex].

Đoán k đã khó, c/m còn khó hơn :khi (2): (Schur =(()
Bây giờ ai tình nguyện c/m cái BĐT ở chữ kí mình ko (Mới update hôm nay )):
[tex]\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}\geq^{(1)} \frac{\left ( a^{2}+b^{2} +c^{2}\right )\left ( a+b+c \right )}{3^{2}}\geq^{(2)} \frac{(a+b+c)^{3}}{3^{3}}\geq^{(3)} \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}\geq^{(4)} \frac{(ab+bc+ca)(a+b+c)}{9}\geq^{(5} \sqrt{\left ( \frac{ab+bc+ca}{3} \right )^{3}}\geq^{(6)} abc\geq^{(7)} \frac{3}{\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}}[/tex]
Chúng ta cùng nhau c/m từng cái một nhé, đừng ai dại ôm 7 cái BĐT một mình để rồi "nhồi tím cơ mau" :khi (131)::khi (131)::khi (131):