Phương pháp giải giới hạn của hàm số!

[tramngan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bản chất khử dạng không xác định [tex]\frac{0}{0}[/tex] là làm xuất hiện nhân tử chung để :
_ Họăc là khử nhân tử chung về dạng xác định
_ Họăc là đưa giới hạn về các giới hạn cơ bản quen thuộc đã biết rõ cách giải .
Trong các bài tập khó , trong các đề thi tuyển vaò các trường đại học , các hạng tử để câú thành nhân tử chung thường thiêú vắng . Để giải quyết bài toán điểm mâú chốt là khôi phục các hạng tử thiêú vắng . Việc khôi phục , gọi lại các hạng tử đó như thế naò , bằng cách naò đó là nội dung cuả bài viết này .
A.Nội dung phương pháp
Xin nêu ba phương pháp để gọi số hạng vắng và trình bày thông qua một số ví dụ .
I.Phương pháp 1 : Phương pháp hệ số bất định
Ví dụ 1 :
Tìm A = [tex]\lim\limits_{x \rightarrow 1}F(x)[/tex]
với F(x) = [tex]\frac{\sqrt{5 - x^{3}} - \sqrt[3]{x^{2} + 7} }{x^{2} - 1}[/tex]
Lời giải :
A = [tex]\lim\limits_{x\rightarrow 1}(\frac{\sqrt{5 - x^{3}} - 2}{x^2 - 1} - \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 7} - 2 }{x^{2} - 1})[/tex]
Mà :
[tex]\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{5 - x^{3}} - 2}{x^2 - 1} = \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1 - x^{3}}{(x^2 - 1)(\sqrt{5 - x^{3} + 2}) } = \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{-(x^{2} + x + 1)}{(x + 1)(\sqrt{5 - x^{3} + 2} } = - \frac{3}{8}[/tex] (*)
[tex]\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 7} - 2 }{x^{2} - 1} = \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2} - 1}{(x^{2} - 1)(\sqrt[3]{(x^{2} + 7)^{2}} + 2\sqrt[3]{x^{2} + 7 } + 4)} = \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{\sqrt[3]{(x^{2} + 7)^{2}} + 2\sqrt[3]{x^{2} + 7 } + 4} = \frac{1}{12} [/tex](**)
Từ (*)(**) :Rightarrow [tex]A = - \frac{3}{8} - \frac{1}{12} = - \frac{11}{24}[/tex]
Đáp số : [tex]A = - \frac{11}{24}[/tex]
Trong lời giải trên ta đã thêm bớt 2 vaò tử thức cuả F(x) . Ba câu hỏi đặt ra .
1 . Tại sao phải có số 2 ?
2 . Tại sao lại là số 2 ?
3 . Tìm số 2 như thế naò ?
Trả lời ba câu hỏi trên ta có phương pháp giải loại bài toán này .
Trả lời câu hỏi 3 : Để tìm ra số 2 ta đưa ra kỹ thuật gọi số hạng vắng .
Bước 1 : :forall c :in R ta có :
[tex]F(x) = \frac{\sqrt{5 - x^{3}} - c}{x^2 - 1} - \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 7} - c }{x^{2} - 1}[/tex]
Bước 2 : Trong các số c đó ta tìm số c sao cho [tex]x^{2} - 1[/tex] cùng có nhân tử chung với [tex]f_{1}(x) = \sqrt{5 - x^{3}} - c [/tex] và [tex]f_{2}(x) = \sqrt[3]{x^{2} + 7} - c[/tex]
Điêù đó xãy ra khi và chỉ khi c là nghiệm hệ :
[tex]\large\left\{f_{1}(\pm 1) = 0\\{f_{2}(\pm 1) = 0} \Leftrightarrow \large\left\{{\large\left\[{c = \sqrt{6}}\\{c = 2} }\\{c = 2} \Leftrightarrow c = 2 [/tex]
Đáp số : c = 2 là câu trả lời cho câu hỏi 1 và câu hỏi 2 .
Tổng quát : [tex]F(x) = \frac{f(x)}{g(x)} [/tex]
Thuật toán tìm số hạng vắng trong bài toán tìm giới hạn dạng [tex]\frac{0}{0}[/tex] cuả hàm chưá căn thức gồm hai bước :
Bước 1 : Phân tích [tex]F(x) = \frac{f_{1}x + c}{g(x)} + \frac{f_{2}(x) - c}{g(x)} [/tex]
Bước 2 :Tìm c : Gọi [tex]x_{1}[/tex] , [tex]x_{2} [/tex] là nghiệm cuả [tex]g(x) = 0 [/tex]. Khi đó c là nghiệm hệ :
[tex]\large\left\{{\large\left\[{f_{1}(x_{1}) + c = 0}\\{f_{1}(x_{2}} + c = 0}\\{\large\left\[{f_{2}(x_{1}) - c = 0}\\{f_{2}(x_{2}} - c = 0} [/tex]
Với c tìm được thì :
[tex]\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{f_{1}(x) + c}{g(x)} [/tex] ; [tex]\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{f_{2}(x) + c}{g(x)}[/tex]
họăc là dạng xác định họăc là dạng quen thuộc . Việc tìm giới hạn này khá đơn giản .
Sau khi tìm được số c , trình bày lời giải như đã làm .
Ta thử áp dụng phương pháp trên để xét :
Ví dụ 2 : Tìm A = [tex]\lim\limits_{x\rightarrow 0}F(x)[/tex]
Với [tex]F(x) = \frac{2\sqrt{x + 1} - \sqrt[3]{8 - x} }{x} [/tex]
Bước 1 : Phân tích .
[tex]F(x) = \frac{2\sqrt{x + 1} - c}{x} - \frac{\sqrt[3]{8 - x} - c}{x}[/tex] với c :in R .
Bước 2 : Tìm c : Nghiệm cuả mâũ thức x = 0 suy ra x là nghiệm hệ :
[tex]\large\left\{{2\sqrt{x + 1} - c = 0}\\{\sqrt[3]{8 - x} - c = 0} \Leftrightarrow c = 2 [/tex]
Vậy [tex]\lim\limits_{x\rightarrow 0}F(x)[/tex]
[tex]= 2 (\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2\sqrt{x + 1} - 1}{x} - \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{1 - x/8} - 1}{x}) [/tex]
[tex] = 2(\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1 } + \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1/8}{\sqrt[3]{(1 - x/8)^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x/8)} + 1 }) [/tex][tex] = 2 (\frac{1}{2} + \frac{1}{24}) = \frac{13}{12}[/tex]
Đáp số : [tex]A = \frac{13}{12}[/tex]

www.toanthpt.net

 

[tramngan]

II.Phương pháp 2 . Ta xét bài toán sau :
Bài toán 1 :
Cho a :neq 0 . Chứng minh rằng : [tex]L = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[n]{1 + ax} - 1}{x} = \frac{a}{n}[/tex]
Lời giải :
Đặt [tex]y = \sqrt[n]{1 + ax}[/tex] , khi đó từ [tex]x \Rightarrow 0[/tex] , ta có [tex]y \Rightarrow 1[/tex] . Vậy :
[tex]L = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[n]{1 + ax} - 1}{x} = \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{y - 1}{\frac{y^{n} - 1}{a}} = a.\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{y - 1}{y^{n} - 1} = a. \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{y - 1}{(y - 1)(y^{n - 1} + . . . + y + 1)} = \frac{a}{n}[/tex] (ĐPCM)
Ví dụ 3 : Tìm [tex]A = \lim\limits_{x\rightarrow 0}F(x)[/tex]
với [tex]F(x) = \frac{(x^{2} + 2006)\sqrt[7]{1 - 2x} - 2006 }{x}[/tex]
Lời giải :
[tex]F(x) = (x^{2} + 2006)\frac{\sqrt[7]{1 - 2x} - 1}{x}[/tex] + x :Rightarrow [tex]A = \lim\limits_{x\rightarrow 0}(x^{2} + 2006)\frac{\sqrt[7]{1 - 2x} - 1}{x}[/tex] + [tex]\lim\limits_{x\rightarrow 0}x [/tex]
[tex] = \frac{- 4012}{7}[/tex]
Trong ví dụ trên ta thêm bớt [tex]P(x) = x^{2} + 2006 [/tex]
vaò tử thức làm xuất hiện dạng
[tex]\frac{\sqrt[n]{1 + ax} - 1}{x}[/tex] , đây là điểm mâú chốt cuả lời giải .
Như vậy ta có phương pháp 2 là :
Để tìm [tex]\lim\limits_{x\rightarrow 0}F(x)[/tex] ta thêm bớt P(x) vaò F(x) xuất hiện dạng [tex]\frac{\sqrt[n]{1 + ax} - 1}{x}[/tex] . Hạng tử vắng ở đât là P(x) đã xưng danh trong biêủ thức giới hạn . Nhân tử chung trong phương pháp này không giản ước .
Khi tìm giới hạn thì [tex]\lim\limits_{x\rightarrow 0}P(x)[/tex] là một số xác định .
Ví dụ 4 :
Tìm [tex]\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + x}\sqrt[3]{1 + x/2}\sqrt[4]{1 + x/3} - \sqrt[4]{1 - x} }{\frac{3}{2} \sqrt{4 + x} - \sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[4]{1 + x} }[/tex]
Lời giải :
Gọi tử thức là T , mâũ thức là M ta có :
T = [tex]\sqrt{1 + x}\sqrt[3]{1 + x/2}\sqrt[4]{1 + x/3} - \sqrt[3]{1 + x/2}\sqrt[4]{1 + x/3} + \sqrt[3]{1 + x/2}\sqrt[4]{1 + x/3} - \sqrt[4]{1 + x/3} + \sqrt[4]{1 + x/3} - 1 - \sqrt[4]{1 - x} + 1[/tex]
[tex] = \sqrt[3]{1 + x/2}\sqrt[4]{1 + x/3}(\sqrt{1 + x} - 1) + \sqrt[4]{1 + x/3}(\sqrt[3]{1 + x/2} - 1) + (\sqrt[4]{1 + x/3} - 1) - (\sqrt[4]{1 - x} - 1) [/tex]
Áp dụng (Bài toán 1) Ta có :
[tex]\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{T}{x} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \frac{1}{4} = 1 [/tex]
[tex]M = \frac{3}{2} .2\sqrt{1 + x/4} - 2\sqrt[3]{1 - x/8} - \sqrt[4]{1 + x} = 3( \sqrt{1 + x/4} - 1) - 2(\sqrt[3]{1 - x/8} - 1) - (\sqrt[4]{1 + x} - 1)[/tex]
Áp dụng (Bài toán 1) ta có :
[tex]lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{M}{x} = \frac{3}{8} + \frac{2}{24} - \frac{1}{4} = \frac{5}{24}[/tex]
Cuối cùng :
[tex]A = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{T}{M} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{T/x}{M/x} = \frac{24}{5}[/tex]
Bây giờ các bạn hãy thử làm một số bài tập sau :
Bài 1 : Tìm [tex]\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt[3]{x + 20} }{\sqrt[4]{x + 9} - 2 }[/tex]
HD : Đặt x = y + 7
Bài 2 : Tìm [tex] \lim\limits_{x\rightarrow + \infty }[\sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} - \sqrt{x^{2} - 2x}][/tex]
HD : Đặt [tex]x = \frac{1}{y}[/tex]
Bài 3 : Tìm [tex]\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{cosx} - \sqrt[3]{cosx} }{sin^{2}x} [/tex]
HD : Đặt [tex]sin^{2}x = y[/tex]
Bài 4 : Tìm [tex]\lim\limits_{x\rightarrow + \infty }(\sqrt[3]{(x + a_{1})(x + a_{2})(x + a_{3})} - \sqrt{(x + b_{1})(x + b_{2}}) [/tex]
HD : Đặt [tex]x = \frac{1}{y}[/tex]

www.toanthpt.net

 

[tramngan]

III.Phương pháp 3 (Tách bộ phận kép)
1.Đôi điêù về PP : Muốn tìm giới hạn
[tex]A = \large\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt[m]{f(x)} - \sqrt[n]{g(x)} }{(x - a)^{k}}[/tex] (*) có dạng [tex]\frac{0}{0} [/tex] (n , m , k là các số tự nhiên , 1 :leq k :leq min{m , n}) ta biến biến đổi bằng cách thêm bớt biêủ thức [tex]\large\frac{h(x)}{(x - a)^{k}} [/tex]vaò phân thức phải tìm giới hạn :
[tex]\frac{\sqrt[m]{f(x)} - \sqrt[n]{g(x)} }{(x - a)^{k}} = \frac{\sqrt[m]{f_{1}(x) + [h(x)]^{m}} - h(x)}{(x - a)^{k}} + \frac{h(x) - \sqrt[m]{g_{1}(x) + [h(x)]^{m}} }{(x - a)^{k}} = \large\frac{f_{1}(x)}{(x - a)^{k}.Q_{f}(x)} + \large\frac{g_{1}(x)}{(x - a)^{k}.Q_{g}(x)}[/tex]
Trong đó [tex]Q_{f}(x)[/tex] và [tex]Q_{g}(x)[/tex] theo thứ tự là biêủ thức liên hợp cuả [tex] \sqrt[m]{f(x)} - h(x) [/tex] và [tex]h(x) - \sqrt[n]{g(x)}[/tex] .
Lúc đó :
[tex]A = \large\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f_{1}(x)}{(x - a)^{k}.Q_{f}(x)} + \lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{g_{1}(x)}{(x - a)^{k}.Q_{g}(x)}[/tex]
Điêù quan trọng là chọn được được h(x) sao cho các giới hạn :
[tex]\large\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f_{1}(x)}{(x - a)^{k}.Q_{f}(x)}[/tex] , [tex]\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{g_{1}(x)}{(x - a)^{k}.Q_{g}(x)}[/tex] có dạng xác định họăc dạng quen thuộc .
Dưới đây là các ví dụ minh hoạ .
Ví dụ 5 : Tìm giới hạn
[tex]A = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{8x^{3} + x^{2} + 6x + 9} - \sqrt[3]{9x^{2} + 27x + 27} }{x^{3}}[/tex]
Lời giải : Đặt [tex]f(x) = \sqrt{8x^{3} + x^{2} + 6x + 9 = 8x^{3} + (x + 3)^{2} [/tex]
[tex]g(x) = 9x^{2} + 27x + 27 = x^{3} - (x + 3)^{2}[/tex] , ở đây [tex]h(x) = x + 3[/tex]
Viết lại :
[tex]A = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\frac{\sqrt{f(x)} - (x + 3) }{x^{3}} + \frac{(x + 3) - \sqrt[3]{g(x)} }{x^{3}})[/tex] (1)
Ta có :
[tex]A_{1} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{f(x)} - (x + 3) }{x^{3}} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x) - (x + 30^{2}}{x^{3}(\sqrt{f(x)} + x + 3)} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{8x^{3}}{x^{3}(\sqrt{f(x)} + x + 3)} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{8}{f(x)} + x + 3 = \large\frac{4}{3}[/tex] (2)
[tex]A_{2} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(x + 3) - \sqrt[3]{g(x)} }{x^{3}} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(x + 3)^{3} - g(x)}{x^{3}[(x + 3)^{2} + (x + 3)\sqrt[3]{g(x)} + \sqrt[3]{g(x)^{2}}]} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1}{(x + 3)^{2} + (x + 3)\sqrt[3]{g(x)} + \sqrt[3]{g(x)^{2}}} = \frac{1}{27}[/tex] (3)
Từ (1)(2)(3) ta có [tex]A = \frac{4}{3} + \frac{1}{27} = \large\frac{37}{27}[/tex]
Lưu ý : - Biêủ thức h(x) được xác định từ biêủ thức f(x) , g(x) và được gọi là bộ phận kép trong bài toán tìm giới hạn (*) .
- Một vài số hạng cuả bộ phận kép h(x) có thể bị ẩn trong [tex]f_{1}(x) [/tex] , [tex]g_{1}(x)[/tex] , ta phải tìm chúng để xác định chính xác biêủ thức h(x) .
Ví dụ 6 : Tìm giới hạn
[tex]A = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{\sqrt{cos2x + \sqrt[3]{1 + 3x} } }{2} - \sqrt[3]{\frac{cos3x + 3cosx - ln(1 + x)^{4}}{4} } }{x}[/tex]
Lời giải : Đặt
[tex]f(x) = \large\frac{cos2x + \sqrt[3]{1 + 3x} }{2} = cos^{2}x + \frac{\sqrt[3]{1 + 3x} - 1}{2}[/tex] ;
[tex]g(x) = \large\frac{cos3x + 3cosx - ln(1 + x)^{4}}{4} = cos^{3}x - ln(1 + x)[/tex] ;
Ở đây [tex]h(x) = cosx[/tex].
Viết lại [tex]A = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{f(x)} - \sqrt[3]{g(x)} }{x} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\frac{\sqrt{f(x)} - cosx}{x} + \large\frac{cosx - \sqrt[3]{g(x)} }{x})[/tex] (4)
Ta có :
[tex]A_{1} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{f(x)} - cosx}{x} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\frac{{f(x)} - cos^{2}x}{x(\sqrt{f(x)} + cosx)} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\frac{\sqrt[3]{1 + 3x} - 1}{2x(\sqrt{f(x)} + cosx)} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\frac{\sqrt[3]{1 + 3x} - 1}{x} . \frac{1}{2(\sqrt{f(x)} + cosx)}) = \large\frac{1}{4}[/tex] (5)
[tex]A_{2} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{cosx - \sqrt[3]{g(x)}}{x} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{cos^{3}x - g(x)}{x(cos^{2}x + cosx\sqrt[3]{g(x)} + \sqrt[3]{g(x)^{2}})} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1 + x)}{x(cos^{2}x + cosx\sqrt[3]{g(x)} + \sqrt[3]{g(x)^{2}})} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\frac{ln(1 + x)}{x} . \frac{1}{cos^{2}x + cosx\sqrt[3]{g(x)} + \sqrt[3]{g(x)^{2}}}) = \large\frac{1}{3}[/tex] (6)
Từ (4), (5), (6) có [tex]A = \large\frac{7}{12}[/tex] .
Ví dụ 7 : Tìm giới hạn
[tex]A = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{cos2x - 2x} - \sqrt[4]{\sqrt{1 + 2x^{2}} - 4x } }{x^{2}} [/tex]
Lời giải : Đặt
[tex]f(x) = cos2x - 2x = (1 - x)^{2} - x^{2} - 2sin^{2}x[/tex]
hay [tex]f(x) - (1 - x)^{2} = - x^{2} - 2sin^{2}x[/tex]
[tex]g(x) = \sqrt{1 + 2x^{2}} - 4x = (1 - x)^{4} - x^{4} + 4x^{3} - 6x^{2} - 1 + \sqrt{1 + 2x^{2}} hay (1 - x)^{4} - g(x) = (x^{4} - 4x^{3} + 6x^{2} + 1) - \sqrt{1 + 2x^{2}}[/tex] .
Ở đây [tex]h(x) = 1 - x[/tex]
Viết lại
[tex]A = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\frac{\sqrt{f(x) - (1 - x)} }{x^{2}} + \frac{(1 - x) - \sqrt[4]{g(x)} }{x^{2}}[/tex] (7)
Ta có :
[tex]A_{1} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{f(x) - (1 - x)} }{x^{2}} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x) - (1 - x)^{2}} {x^{2}(\sqrt{f(x)} + 1 - x)} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{- x^{2} - 2sin^{2}x}{x^{2}(\sqrt{f(x)} + 1 - x)} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{- 1 - 2(\frac{sinx}{x})^{2} }{\sqrt{f(x)} + (1 - x)} = - \frac{3}{2}[/tex] (8)
[tex]A_{2} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(1 - x) - \sqrt[4]{g(x)} }{x^{2}} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(x^{4} - 4x^{3} + 6x^{2} + 1) - \sqrt{1 + 2x^{2}} }{x^{2}[(1 - x)^{3} + (1 - x)^{2}.\sqrt[4]{g(x)} + (1 - x)\sqrt{g(x)} + \sqrt[4]{g^{3}(x)}]} = \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2} - 4x + 6 - (\frac{\sqrt{1 + 2x^{2}} }{x^{2}} }{(1 - x)^{3} + (1 - x)^{2}.\sqrt[4]{g(x)} + (1 - x)\sqrt{g(x)} + \sqrt[4]{g^{3}(x)}} = \frac{5}{4}[/tex] (9)
Từ (7), (8), (9) có [tex]A = - \frac{3}{2} + \frac{5}{4} = - \frac{1}{4}[/tex]
Mời các bạn sử dụng PP tách bộ phận kép để tìm các giới hạn sau :
[tex]1) \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 + 3x} }{x^{2}}[/tex]
[tex]2) \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{3 + 2x + x^{2} - 2cos2x} - \sqrt[4]{2 + 4x + x^{3} - \sqrt{1 + 2x^{2}} } }{x^{2}}[/tex]
[tex]3) \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 52x} + x.ln(1 + x) - \sqrt[3]{1 + 3x} }{3x^{2}}[/tex]
[tex]4) \large\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^{3}}{\sqrt{(1 + 2x)(1 + x^{2})} - \sqrt[3]{(1 + 3x)(1 + 3x^{2})} }[/tex]

www.toanthpt.net

 

[clamp90]

ngân ơi thế còn phần đạo hàm thì sao
sao ko lập topic của phần này đi

 

[phuong23]

tớ thấy phần đạo hàm chỉ cần học thuộc công thức cơ bản, còn cái khó hình như chỉ là ứng dụng của đạo hàm. Như là tiệm cận chiều biến thiên của hàm số, khảo sát hàm số hay là biện luận số nghiệm của phương trình. Mà nghe phong thanh đấy là chương tình lớp 12!

 

[hang902007]

uh đó chính là chương trình của lớp 12 rùi

 

[cuocdoikhongchilamo]

bai` nay` hinh` nhu co' van' de`

lam sao ma`: 9x^3 +27x +27 lại = x^3 - (x+3)^2

 

[cuocdoikhongchilamo]

sao ko co dap an cho cac bai tap vay ngan ?

 

[nhockul]

e
sao kai na`y giong tren toan hoc va` tuoi tre zay?

 

[boydeptrai_1205]

phan gioi han nay to hoc hok hiu gi het ai co the giai thich ho minh phan nay minh cam on
nick chat cua minh la : boydeptrai_1205
Cam on truoc nha!

 

[duonganh1012]

III.Phương pháp 3 (Tách bộ phận kép)

Cho minh hỏi làm thế nào để tìm ra H(x) nhanh nhất hả bạn

 

[nguyenhoang140]

cho em hỏi lại ví dụ 5 của phần III ấy sao đang là X^2 mà = lại có X^3

 

[silvery21]

cho em hỏi lại ví dụ 5 của phần III ấy sao đang là X^2 mà = lại có X^3

có-thãy x^2-đâu-em)

 

[nguyenhoang140]

ở chỗ g(X) ấy chỉ có 9x^2 + 27x+27 mà sao khi phân tích = x^3 -(x+3)^2 em đọc mãi mà ko hiểu

 

[lovanphuong]

em chào chị Ngân .Chị ơi chi chỉ cho em các phương pháp tính giới hạn hàm số với ạ. Em cảm ơn

 

[suabo2010]

Bạn nào tính được kết quả rồi thì post lên cho cả nhà cùng so sánh nhá. okay?

 

[hocmai.toanhoc]

Ví dụ như
y= x^x
hêhheheheheheheuhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

Có người pro giải cho em cái này thì để làm gì? Em vào diễn đàn là để học hỏi, chia sẻ kinh nghiệm hay chỉ để chơi bời, đánh đố bạn khác?

 

[huy266]

[tex]y=[u(x)]^{v(x)}[/tex]
Tập xác định : tập hợp các giá trị của x làm cho u(x)>0
[tex]y=[u(x)]^{v(x)}=(e^{\ln u(x)})^{v(x)}=e^{v(x).\ln u(x)}[/tex]
[tex]\Rightarrow y'=[v(x).\ln u(x)]'.e^{v(x).\ln u(x)}[/tex]
[tex]y'=(v'.\ln u+v.\frac{u'}{u}).e^{v.\ln u}[/tex]
Trong đó u=u(x) và v= v(x)
Tất nhiên không nên post bài này vào phần của lớp 11 vì đây là hàm mũ mở rộng. Lên lớp 12 mới được học hàm mũ thì post vào đây làm gì???

 

[nangbanmai360]

tìm giới hạn vô cực của
lim(\sqrt{x^2 - 5x} - \sqrt{x^2 +3x + 3}

 

[maxqn]

tìm giới hạn vô cực của
lim(\sqrt{x^2 - 5x} - \sqrt{x^2 +3x + 3}

[TEX] lim(\sqrt{x^2 - 5x} - \sqrt{x^2 +3x + 3} = \lim{f(x)}[/TEX]
[TEX]f(x) = \sqrt{x^2 - 5x} - \sqrt{x^2 +3x + 3} = \frac{-x(3+\frac1{x})}{|x|[\sqrt{1-\frac5{x}}+\sqrt{1+\frac3{x} + \frac3{x^2}]}[/TEX]
R, tới âm vô cùng thì thay cái trị tuyệt đối ở dưới = -x --> [TEX]lim = \frac32[/TEX]
Tới dương vô cùng tương tự [TEX]lim = -\frac32[/TEX]