Bản chất khử dạng không xác định [tex]\frac{0}{0}[/tex] là làm xuất hiện nhân tử chung để :
_ Họăc là khử nhân tử chung về dạng xác định
_ Họăc là đưa giới hạn về các giới hạn cơ bản quen thuộc đã biết rõ cách giải .
Trong các bài tập khó , trong các đề thi tuyển vaò các trường đại học , các hạng tử để câú thành nhân tử chung thường thiêú vắng . Để giải quyết bài toán điểm mâú chốt là khôi phục các hạng tử thiêú vắng . Việc khôi phục , gọi lại các hạng tử đó như thế naò , bằng cách naò đó là nội dung cuả bài viết này .
A.Nội dung phương pháp
Xin nêu ba phương pháp để gọi số hạng vắng và trình bày thông qua một số ví dụ .
I.Phương pháp 1 : Phương pháp hệ số bất định
Ví dụ 1 :
Tìm A = [tex]\lim\limits_{x \rightarrow 1}F(x)[/tex]
với F(x) = [tex]\frac{\sqrt{5 - x^{3}} - \sqrt[3]{x^{2} + 7} }{x^{2} - 1}[/tex]
Lời giải :
A = [tex]\lim\limits_{x\rightarrow 1}(\frac{\sqrt{5 - x^{3}} - 2}{x^2 - 1} - \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 7} - 2 }{x^{2} - 1})[/tex]
Mà :
[tex]\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{5 - x^{3}} - 2}{x^2 - 1} = \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1 - x^{3}}{(x^2 - 1)(\sqrt{5 - x^{3} + 2}) } = \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{-(x^{2} + x + 1)}{(x + 1)(\sqrt{5 - x^{3} + 2} } = - \frac{3}{8}[/tex]
(*)
[tex]\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 7} - 2 }{x^{2} - 1} = \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2} - 1}{(x^{2} - 1)(\sqrt[3]{(x^{2} + 7)^{2}} + 2\sqrt[3]{x^{2} + 7 } + 4)} = \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{\sqrt[3]{(x^{2} + 7)^{2}} + 2\sqrt[3]{x^{2} + 7 } + 4} = \frac{1}{12} [/tex]
(**)
Từ (*)(**) :Rightarrow [tex]A = - \frac{3}{8} - \frac{1}{12} = - \frac{11}{24}[/tex]
Đáp số : [tex]A = - \frac{11}{24}[/tex]
Trong lời giải trên ta đã thêm bớt 2 vaò tử thức cuả F(x) . Ba câu hỏi đặt ra .
1 . Tại sao phải có số 2 ?
2 . Tại sao lại là số 2 ?
3 . Tìm số 2 như thế naò ?
Trả lời ba câu hỏi trên ta có phương pháp giải loại bài toán này .
Trả lời câu hỏi 3 : Để tìm ra số 2 ta đưa ra kỹ thuật gọi số hạng vắng .
Bước 1 : :forall c :in R ta có :
[tex]F(x) = \frac{\sqrt{5 - x^{3}} - c}{x^2 - 1} - \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 7} - c }{x^{2} - 1}[/tex]
Bước 2 : Trong các số c đó ta tìm số c sao cho [tex]x^{2} - 1[/tex] cùng có nhân tử chung với [tex]f_{1}(x) = \sqrt{5 - x^{3}} - c [/tex] và [tex]f_{2}(x) = \sqrt[3]{x^{2} + 7} - c[/tex]
Điêù đó xãy ra khi và chỉ khi c là nghiệm hệ :
[tex]\large\left\{f_{1}(\pm 1) = 0\\{f_{2}(\pm 1) = 0} \Leftrightarrow \large\left\{{\large\left\[{c = \sqrt{6}}\\{c = 2} }\\{c = 2} \Leftrightarrow c = 2 [/tex]
Đáp số : c = 2 là câu trả lời cho câu hỏi 1 và câu hỏi 2 .
Tổng quát : [tex]F(x) = \frac{f(x)}{g(x)} [/tex]
Thuật toán tìm số hạng vắng trong bài toán tìm giới hạn dạng [tex]\frac{0}{0}[/tex] cuả hàm chưá căn thức gồm hai bước :
Bước 1 : Phân tích [tex]F(x) = \frac{f_{1}x + c}{g(x)} + \frac{f_{2}(x) - c}{g(x)} [/tex]
Bước 2 :Tìm c : Gọi [tex]x_{1}[/tex] , [tex]x_{2} [/tex] là nghiệm cuả [tex]g(x) = 0 [/tex]. Khi đó c là nghiệm hệ :
[tex]\large\left\{{\large\left\[{f_{1}(x_{1}) + c = 0}\\{f_{1}(x_{2}} + c = 0}\\{\large\left\[{f_{2}(x_{1}) - c = 0}\\{f_{2}(x_{2}} - c = 0} [/tex]
Với c tìm được thì :
[tex]\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{f_{1}(x) + c}{g(x)} [/tex] ; [tex]\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{f_{2}(x) + c}{g(x)}[/tex]
họăc là dạng xác định họăc là dạng quen thuộc . Việc tìm giới hạn này khá đơn giản .
Sau khi tìm được số c , trình bày lời giải như đã làm .
Ta thử áp dụng phương pháp trên để xét :
Ví dụ 2 : Tìm A = [tex]\lim\limits_{x\rightarrow 0}F(x)[/tex]
Với [tex]F(x) = \frac{2\sqrt{x + 1} - \sqrt[3]{8 - x} }{x} [/tex]
Bước 1 : Phân tích .
[tex]F(x) = \frac{2\sqrt{x + 1} - c}{x} - \frac{\sqrt[3]{8 - x} - c}{x}[/tex] với c :in R .
Bước 2 : Tìm c : Nghiệm cuả mâũ thức x = 0 suy ra x là nghiệm hệ :
[tex]\large\left\{{2\sqrt{x + 1} - c = 0}\\{\sqrt[3]{8 - x} - c = 0} \Leftrightarrow c = 2 [/tex]
Vậy [tex]\lim\limits_{x\rightarrow 0}F(x)[/tex]
[tex]= 2 (\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2\sqrt{x + 1} - 1}{x} - \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{1 - x/8} - 1}{x}) [/tex]
[tex] = 2(\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1 } + \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1/8}{\sqrt[3]{(1 - x/8)^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x/8)} + 1 }) [/tex][tex] = 2 (\frac{1}{2} + \frac{1}{24}) = \frac{13}{12}[/tex]
Đáp số : [tex]A = \frac{13}{12}[/tex]
www.toanthpt.net
