Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

x, y, z>0 \ [TEX]x^3+y^3+z^3[/TEX]

Tìm GTLN của A=3(xy+yz+zx)-xyz

[TEX]A \geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)} = \frac{x+y+z}{2}[/TEX]

hì

hôm lâu post thiếu cái đề

 

[01263812493]

Tìm Min

[TEX]A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}[/TEX]

( x, y, z>0 \ [TEX]\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=3[/TEX])

[TEX]\blue (*) \ 3=\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}\geq \frac{x+y}{\sqrt{2}}+\frac{y+z}{\sqrt{2}}+\frac{z+x}{\sqrt{2}}[/TEX]
[TEX]\blue \rightarrow x+y+z \leq \frac{3}{\sqrt{2}}[/TEX]

[TEX]\blue (**) \ 9=(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2})^2 \leq 3[2(x^2+y^2+z^2)] \rightarrow x^2+y^2+z^2 \geq \frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]\blue Chebyshev \ (x \geq y \geq z) \ \rightarrow A \geq \frac{1}{3}(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}) \geq \frac{1}{3}\frac{9(x^2+y^2+z^2)}{2(x+y+z)} \geq \frac{1}{3}. 9 . \frac{3}{2}.\frac{1}{3\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}[/TEX]

 

[baoduy2011]

Tìm Min

[TEX]A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}[/TEX]

( x, y, z>0 \ [TEX]\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=3[/TEX])

ca'ch kha'c ne`

dat [TEX]\sqrt{x^2+y^2}=a, \sqrt{y^2+z^2}=b,\sqrt{z^2+x^2}=c \Rightarrow a+b+c=3[/TEX] va [TEX]2\sqrt{2}A \geq \frac{2x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{2y^2}{\sqrt{y^2+z^2}}+\frac{2z^2}{\sqrt{z^2+x^2}}=\frac{a^2+c^2-b^2}{b}+\frac{b^2+a^2-c^2}{c}+\frac{c^2+b^2-a^2}{a} [/TEX]

ta co'

[TEX]\frac{a^2+c^2-b^2}{b}=\frac{a^2}{b}+b+\frac{c^2}{b}+b-3b \geq 2a+2c-3b[/TEX]

tg tu ta dc 2 bdt nu~a ro^`i co^.ng la.i va` du`ng a+b+c=3

 

[bosjeunhan]

Nhìn lại mấy cái đề thi thấy bài này cũng đc nên đóng góp cho 2pic
Cho a,b,c là các số thực ko âm thỏa mãn a^2 + b^2 + c^2 +abc = 4
CMR [TEX]0 \leq ab + bc + ca - abc \leq 2[/TEX]
(Cố gắng cho đc 3 cách)

 

[hocmajthojnhj]

Hay nè
1)Cho x,y ko âm thỏa mãn [TEX]x+y\leq6[/TEX] .Tìm MIN,MAx của
B=[TEX]x^2y(4-x-y)[/TEX]
2)Chox,y,z>0.Tìm MIN
A=[TEX]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

Hay nè
1)Cho x,y ko âm thỏa mãn [TEX]x+y\leq6[/TEX] .Tìm MIN,MAx của
B=[TEX]x^2y(4-x-y)[/TEX]
2)Chox,y,z>0.Tìm MIN
A=[TEX]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}[/TEX]

Bài 2 á thì chơi kiểu điểm rơi

Cứ tách [TEX]\frac{x}{y + z} + \frac{y + z}{4x} \geq 1[/TEX]
Còn dư bao nhiêu thì áp dụng cô si dạng [TEX]\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

Hay nè
1)Cho x,y ko âm thỏa mãn [TEX]x+y\leq6[/TEX] .Tìm MIN,MAx của
B=[TEX]x^2y(4-x-y)[/TEX]
2)Chox,y,z>0.Tìm MIN
A=[TEX]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}[/TEX]

Côssi ta có

[TEX]\frac{1}{4}(x^2y(4 - x - y) \leq (\frac{\frac{x}{2} + \frac{x}{2} + y + 4 - x - y}{4})^4 = 1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (x^2y(4 - x - y) \leq 4[/TEX]

Còn với max thì chơi kiểu ăn gian hơn
[TEX]x^2y(4 -x - y) = x^2y(x + y - 4) \leq 2x^2y \leq 64[/TEX]
(dùng cô si cho bộ [TEX] \frac{x}{2}[/TEX] ; [TEX]\frac{x}{2}[/TEX] ;[TEX]y[/TEX])

[TEX]\Rightarrow x^2y(4 - x - y) \geq -64[/TEX]

Vậy [TEX]-64 \leq x^2y(4 - x - y) \leq 4[/TEX]

 

[baoduy2011]

Nhìn lại mấy cái đề thi thấy bài này cũng đc nên đóng góp cho 2pic
Cho a,b,c là các số thực ko âm thỏa mãn a^2 + b^2 + c^2 +abc = 4
CMR [TEX]0 \leq ab + bc + ca - abc \leq 2[/TEX]
(Cố gắng cho đc 3 cách)

USAMO 2000

tu` gt => a, b, c pha?i co' i't nh a^'t 1 so^' [TEX]\leq 1[/TEX]

gs [TEX]a \geq 1 \Rightarrow ab + bc + ca - abc =bc(1-a)+ab+ca \geq 0[/TEX]

theo dirichle ... gs [TEX](a-1)(b-1) \geq 0 \Rightarrow abc \geq ac+bc-c[/TEX]

ma` [TEX]4=a^2 + b^2 + c^2 +abc \geq 2ab+c^2+abc \Leftrightarrow (2-c-ab)(c+2) \geq 0 \Leftrightarrow ab \geq 2-c[/TEX]

va^.y [TEX]ab + bc + ca - abc \leq 2-c+bc+ca-ac-bc+c =2[/TEX]

hi

cho.n ca'ch nga'n nha^'t

co`n 2 ca'ch nu~a (cu?a a Ca^?n) nga.i post la'm

 

[thienlong_cuong]

USAMO 2000

tu` gt => a, b, c pha?i co' i't nh a^'t 1 so^' [TEX]\leq 1[/TEX]

gs [TEX]a \geq 1 \Rightarrow ab + bc + ca - abc =bc(1-a)+ab+ca \geq 0[/TEX]

theo dirichle ... gs [TEX](a-1)(b-1) \geq 0 \Rightarrow abc \geq ac+bc-c[/TEX]

ma` [TEX]4=a^2 + b^2 + c^2 +abc \geq 2ab+c^2+abc \Leftrightarrow (2-c-ab)(c+2) \geq 0 \Leftrightarrow ab \geq 2-c[/TEX]

va^.y [TEX]ab + bc + ca - abc \leq 2-c+bc+ca-ac-bc+c =2[/TEX]

hi

cho.n ca'ch nga'n nha^'t

co`n 2 ca'ch nu~a (cu?a a Ca^?n) nga.i post la'm

Đây có phải là bài tạp chí Toán học và tuổi trẻ tháng 12 không! ????????????
Cái bài nay hay và cùn nè
Tìm hằng số k tốt nhất vs các số thực a, b dương t/m
[TEX]\frac{k}{a^3 + b^3} + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} \geq \frac{16 + 4k}{(a + b)^3}[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

Cho [TEX]abc =1[/TEX] (a , b , c > 0)

Chứng minh

[TEX]\frac{1}{\sqrt{5x + 4}} + \frac{1}{\sqrt{5y +1}} + \frac{1}{\sqrt{5z +1}} \leq 1[/TEX]

 

[hocmajthojnhj]

Côssi ta có

[TEX]\frac{1}{4}(x^2y(4 - x - y) \leq (\frac{\frac{x}{2} + \frac{x}{2} + y + 4 - x - y}{4})^4 = 1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (x^2y(4 - x - y) \leq 4[/TEX]

Còn với max thì chơi kiểu ăn gian hơn
[TEX]x^2y(4 -x - y) = x^2y(x + y - 4) \leq 2x^2y \leq 64[/TEX]
(dùng cô si cho bộ [TEX] \frac{x}{2}[/TEX] ; [TEX]\frac{x}{2}[/TEX] ;[TEX]y[/TEX])

[TEX]\Rightarrow x^2y(4 - x - y) \geq -64[/TEX]

Vậy [TEX]-64 \leq x^2y(4 - x - y) \leq 4[/TEX]

cậu xem lại xem. nhung cam on ban nhieu nha ttttttttthhhhhhhhaaaaaaaannnnnnkkkkkkk

 

[linhhuyenvuong]

Cho [TEX]abc =1[/TEX] (a , b , c > 0)

Chứng minh

[TEX]\frac{1}{\sqrt{5x + 4}} + \frac{1}{\sqrt{5y +1}} + \frac{1}{\sqrt{5z +1}} \leq 1[/TEX]

Ghi lại đề cho rõ ràng:
- Thứ nhất: a,b,c; x,y,z -> cái nào?
-Thứ hai: Sao chỗ CM: lúc thì 1, lúc thì 4?
[TEX]\frac{1}{\sqrt{5x + 4}} + \frac{1}{\sqrt{5y +1}} + \frac{1}{\sqrt{5z +1}} \leq 1[/TEX]

--------------------------------------
1, Cho [TEX]a,b,c >0; a+b+c=1[/TEX]
CM: [TEX]\sqrt{\frac{ab}{c+ab}} +\sqrt{\frac{bc}{a+cb}}+\sqrt{\frac{ac}{b+ac}} \leq \frac{3}{2}[/TEX]

2, [TEX]a,b,c >0[/TEX]
CM:[TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1[/TEX]

 

[asroma11235]

Côssi ta có

[TEX]\frac{1}{4}(x^2y(4 - x - y) \leq (\frac{\frac{x}{2} + \frac{x}{2} + y + 4 - x - y}{4})^4 = 1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (x^2y(4 - x - y) \leq 4[/TEX]

Còn với max thì chơi kiểu ăn gian hơn
[TEX]x^2y(4 -x - y) = x^2y(x + y - 4) \leq 2x^2y \leq 64[/TEX]
(dùng cô si cho bộ [TEX] \frac{x}{2}[/TEX] ; [TEX]\frac{x}{2}[/TEX] ;[TEX]y[/TEX])

[TEX]\Rightarrow x^2y(4 - x - y) \geq -64[/TEX]

Vậy [TEX]-64 \leq x^2y(4 - x - y) \leq 4[/TEX]

Để ý thấy giả thiết là [TEX]x+y \leq 6[/TEX]
Vậy thì bạn đã xét thiếu 1 trường hợp => bị trừ điểm như chơi

 

[bboy114crew]

Ghi lại đề cho rõ ràng:

1, Cho [TEX]a,b,c >0; a+b+c=1[/TEX]
CM: [TEX]\sqrt{\frac{ab}{c+ab}} +\sqrt{\frac{bc}{a+cb}}+\sqrt{\frac{ac}{b+ac}} \leq \frac{3}{2}[/TEX]

Lâu lắm mới học BDT!
Chém một bài cho đỡ chán!
Theo AM-GM ta có:
[TEX]\sqrt{\frac{ab}{c+ab}} +\sqrt{\frac{bc}{a+cb}}+\sqrt{\frac{ac}{b+ac}}[/TEX]
[TEX]=\sum \frac{ab}{(c+a)(c+b)}[/TEX]
[TEX] \leq \frac{1}{2}\sum (\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}) = \frac{3}{2}[/TEX]
(Do a+b+c=1)

 

[baoduy2011]

1, Cho [TEX]a,b,c >0; a+b+c=1[/TEX]
CM: [TEX]\sqrt{\frac{ab}{c+ab}} +\sqrt{\frac{bc}{a+cb}}+\sqrt{\frac{ac}{b+ac}} \leq \frac{3}{2}[/TEX]

2, [TEX]a,b,c >0[/TEX]
CM:[TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1[/TEX]

1.

[TEX]\sqrt{\frac{ab}{c+ab}} +\sqrt{\frac{bc}{a+cb}}+\sqrt{\frac{ac}{b+ac}} = \sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}} +\sqrt{\frac{bc}{(a+b)(a+c)}}+\sqrt{\frac{ac}{(b+a)(b+c)}} \leq \frac{1}{2}(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{a}{b+a}+\frac{c}{b+c}) = \frac{3}{2}[/TEX]

2.

[TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1 \geq \frac{(a+b+b+c+b)^2}{ab+bc+ca+b^2} = \frac{(a+2b+c)^2}{(b+c)(b+a)}= \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+2 \Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1[/TEX]

 

[locxoaymgk]

Bài 1:Cho [TEX]a,b,c>0; abc=1[/TEX] .CMR:

[TEX] \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{3}{2}(a+b+c-1).[/TEX]

Bài 2: Cho[TEX] x,y,z >0, x+y+z=6[/TEX].CM:

[TEX] (1+\frac{1}{a^3})(1+\frac{1}{b^3}) (1+\frac{1}{c^3}) \geq \frac{729}{512}.[/TEX]

Bài 3:Cho [TEX]a,b,c>0;abc=1[/TEX].CMR:

[TEX] \frac{1}{a^4(a+b)}+ \frac{1}{b^4(b+c)}+\frac{1}{c^4(c+a)}\geq 3/2.[/TEX]

 

[asroma11235]

Bài 2: Cho[TEX] a,b,c >0, a+b+c=6[/TEX].CM:

[TEX] (1+\frac{1}{a^3})(1+\frac{1}{b^3}) (1+\frac{1}{c^3}) \geq \frac{729}{512}.[/TEX]

Từ giả thiết, suy ra: [TEX]abc \leq 8[/TEX]
Khai triển tương đương, ta được:
[TEX]1+ \sum \frac{1}{a^3}+ \sum \frac{1}{a^3b^3}+ \frac{1}{a^3+b^3+c^3} \geq 1+ \frac{3}{abc}+ \frac{3}{a^2b^2c^2} + \frac{1}{a^3b^3c^3}[/TEX]
Áp dụng giả thiết, suy ra đpcm
Đẳng thức xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a=b=c=2[/TEX]

 

[hocmajthojnhj]

2.

[TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1 \geq \frac{(a+b+b+c+b)^2}{ab+bc+ca+b^2} = \frac{(a+2b+c)^2}{(b+c)(b+a)}= \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+2 \Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1[/TEX][/QUOTE]
Nói lại cho mình cái BDT kia dc ko. Sao khó hiểu zậy:khi (2):
Giúp mình mấy câu này luôn:
1)Cho x,y > 0 TM xy=1 . Tìm MIN:A=[TEX]x^2+3x+y^2+3y+\frac{9}{x^2+y^2+1}[/TEX]
2)Cho [TEX]x\geqy\geqz\geq0 CM:\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geqx^2+y^2+z^2[/TEX]
3)Cho [TEX]xyz\geq1[/TEX] TM:[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2[/TEX]CM:[TEX]\sqrt[]{x+y+z}\geq\sqrt[]{x-1}+\sqrt[]{y-1}+\sqrt[]{z-1}[/TEX]
3)Cho các số thực dương a,b,c tm:a+b+c=1CM:[TEX]\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4c^2+1}\frac{c}{4a^2+1}\geq(a\sqrt[]{a}+b\sqrt[]{b}+c\sqrt[]{c})^2[/TEX]
4)Với mọi [TEX]x,y,z\geq0[/TEX]. CM:[TEX]\sqrt[]{x^2+1}+\sqrt[]{y^2+1}+\sqrt[]{z^2+1}\geq\sqrt[]{6}(x+y+z)[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

Từ giả thiết, suy ra: [TEX]abc \leq 8[/TEX]
Khai triển tương đương, ta được:
[TEX]1+ \sum \frac{1}{a^3}+ \sum \frac{1}{a^3b^3}+ \frac{1}{a^3+b^3+c^3} \geq 1+ \frac{3}{abc}+ \frac{3}{a^2b^2c^2} + \frac{1}{a^3b^3c^3}[/TEX]
Áp dụng giả thiết, suy ra đpcm
Đẳng thức xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a=b=c=2[/TEX]

Bài 2: Cho[TEX] x,y,z >0, x+y+z=6[/TEX].CM:

[TEX] (1+\frac{1}{a^3})(1+\frac{1}{b^3}) (1+\frac{1}{c^3}) \geq \frac{729}{512}.[/TEX]


Áp dụng BĐT holder ta có

[TEX]VT \geq (1 + \frac{1}{abc})^3 \geq (1 + \frac{1}{\frac{(a + b + c)^3}{27}} \geq (1 + \frac{1}{8})^3 = VP[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

2.

[TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1 \geq \frac{(a+b+b+c+b)^2}{ab+bc+ca+b^2} = \frac{(a+2b+c)^2}{(b+c)(b+a)}= \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+2 \Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1[/TEX]

Nói lại cho mình cái BDT kia dc ko. Sao khó hiểu zậy:khi (2):
Giúp mình mấy câu này luôn:
1)Cho x,y > 0 TM xy=1 . Tìm MIN:A=[TEX]x^2+3x+y^2+3y+\frac{9}{x^2+y^2+1}[/TEX]
2)Cho [TEX]x\geqy\geqz\geq0 CM:\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geqx^2+y^2+z^2[/TEX]
3)Cho [TEX]xyz\geq1[/TEX] TM:[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2[/TEX]CM:[TEX]\sqrt[]{x+y+z}\geq\sqrt[]{x-1}+\sqrt[]{y-1}+\sqrt[]{z-1}[/TEX]
3)Cho các số thực dương a,b,c tm:a+b+c=1CM:[TEX]\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4c^2+1}\frac{c}{4a^2+1}\geq(a\sqrt[]{a}+b\sqrt[]{b}+c\sqrt[]{c})^2[/TEX]
4)Với mọi [TEX]x,y,z\geq0[/TEX]. CM:[TEX]\sqrt[]{x^2+1}+\sqrt[]{y^2+1}+\sqrt[]{z^2+1}\geq\sqrt[]{6}(x+y+z)[/TEX][/QUOTE]


Thấy quen quá
Bài 1
[TEX][x^2 +y^2+ 1 +\frac{9}{x^2+y^2+1}] + 3(x + y) - 1[/TEX]

Dùng AM - GM sẽ ra !
Bài 4 thì dùng BĐT min coxki , sau đó có [TEX](x + y + z)^2 + 9 \geq 6(x + y + z)[/TEX] là ra
Bài 2 :
Từ gt \Rightarrow [TEX]\sum \frac{x -1}{x} = 1 [/TEX]

Áp dụng cauchy schwarz có

[TEX][\sum \frac{x -1}{x}].(x + y + z) \geq (\sum \sqrt{x - 1})^2[/TEX] \Rightarrow đpcm

Bài 3:
Ko hiểu cái đề ! Đánh text bị loạn mà tớ cũng ko biết sửa a răng cả !